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2019年人教A版必修五高中数学3.4 基本不等式(一) 导学案及答案

§3.4 基本不等式: ab≤ a+ b (一 ) 2 课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明; 2.能利用基本不等式证明简单不等式. 1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=” 号). 2.若 a,b 都为正数,那么 a+b 2 ≥ ab(当且仅当 a=b 时,等号 成立),称上述不等式为基本不等式,其中 数, ab称为 a,b 的几何平均数. 3.基本不等式的常用推论 ?a+b?2 a2+b2 ?≤ (1)ab≤? (a,b∈R); 2 ? 2 ? a+b 2 称为 a,b 的算术平均 1 1 (2)当 x>0 时,x+ ≥2;当 x<0 时,x+ ≤-2. x x (3)当 ab>0 时, + ≥2;当 ab<0 时, + ≤-2. (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R). b a a b b a a b 一、选择题 a2+b2 2ab 1. 已知 a>0, b>0, 则 , ab, , 中最小的是( 2 2 a+b a+b ) A. a+b 2 B. abC. D 方法一 a2+b2 2 D. 2ab a+b 答案 解析 特殊值法. 令 a=4,b=2,则 8 2ab .∴ 最小. 3 a+b 方法二 a+b 2 =3, ab= 8, a2+b2 2 = 10, 2ab = a+b 2ab 2 2 a+b = ,由 ≤ ab ≤ ≤ a+b 1 1 1 1 2 + + a2+b2 2 ,可知 a b a b 2ab 最小. a+b 2.已知 m=a+ 大小关系是( ) ?1? 1 (a>2),n=? ?x2-2 (x<0),则 m、n 之间的 a-2 ?2? A.m>n B.m<n C.m=nD.m≤n 答案 解析 A ∵m=(a-2)+ 1 +2≥2 a-2 a-2 1 +2=4, a-2 n=22-x2<22=4.∴m>n. 3.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( A.1≤ab≤ C.ab< 答案 ) a2+b2 2 B.ab<1< a2+b2 2 a2+b2 2 B <1D. a2+b2 2 <ab<1 解析 又∵ ∴ ∵ab≤? ?a+b?2 ? ,a≠b,∴ab<1, ? 2 ? a2+b2 a+b 2 2 > 2 >0, a2+b2 >1,∴ab<1< a2+b2 2 . 4.已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2 +b2,其中最大的一个是( ) A.a2+b2B.2 abC.2abD.a+b 答案 解析 D 因为 a、b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab, 所以,最大的只能是 a2+b2 与 a+b 之一.而 a2+b2-(a+b)=a(a- 1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a-1<0,b-1<0,因此 a2+b2<a +b,所以 a+b 最大. 5.设 0<a<b,且 a+b=1,在下列四个数中最大的是( 1 A. B.bC.2abD.a2+b2 2 答案 解析 ∵ B ∵ab<? > ?a+b?2 1 1 ? ,∴ab< ,∴2ab< . 4 2 ? 2 ? ) a2+b2 a+b 2 2 >0,∴ a2+b2 1 2 > , 2 1 ∴a2+b2> . 2 ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2 =ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b 最大. 6.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的最 小值为( ) 5 A.0B.-2C.- D.-3 2 答案 解析 B x2+ax+1≥0 在 x∈(0,1]上恒成立 ? ? ? ? 1?? ?ax≥-x2-1?a≥?-?x+ ??max. x?? ? 1? 1 ∵x+ ≥2,∴-?x+ ?≤-2,∴a≥-2. x ? x? 二、填空题 7.若 a<1,则 a+ 答案 解析 ? ? 1 有最______值,为________. a-1 大 -1 ∵a<1,∴a-1<0, 1 ? 1 ?=(1-a)+ ≥2(a=0 时取等号), a-1? 1-a ∴-?a-1+ ∴a-1+ 1 1 ≤-2,∴a+ ≤-1. a-1 a-1 2 5 8.若 lgx+lgy=1,则 + 的最小值为________. x y 答案 解析 2 ∵lgx+lgy=1,∴xy=10,x>0,y>0, 2 5 2 x ∴ + = + ≥2(x=2 时取等号). x y x 2 9.已知 x,y∈R+,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 答案 3 x y 解析 ∵x>0,y>0 且 1= + ≥2 3 4 x y xy , 12 ∴xy≤3.当且仅当 = 时取等号. 3 4 10.若对任意 x>0, ________. 答案 解析 ?1 ? ? ,+∞? ?5 ? x y x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围为 x +3x+1 2 ∵x>0,∴ x >0,易知 a>0. x +3x+1 2 x2+3x+1 1 ∴ ≥ , x a 1 1 ∴ ≤x+ +3. a x 1 ∵x>0,x+ +3≥2 x x· +3=5(x=1 时取等号), x 1 1 1 ∴ ≤5.∴a≥ . a 5 三、解答题 11.设 a、b、c 都是正数,求证: + + 证明 ∴ ∵a、b、c 都是正数,∴ 、 bc ca ab ≥a+b+c. a b c bc ca ab 、 也都是正数. a b c bc ca ca ab bc ab + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b, a b b c a c ?bc ?a 三式

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