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高中数学竞赛预赛训练试题5份合集

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1. 已知复数 m 满足 m ? 2. 设 f ( x) ? 为 . 3. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 的是 . 4. 已知 O 是锐角△ ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m . ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 6 4 2 2 S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15 2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC ? . 5. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是 棱 A1D1 和 CC1 的中点. 则四面体 O ? MNB1 的体积为 . 6. 设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件 的 ( A, B, C ) 共有 7. 为 设 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. ) y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 . 8. 设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 p p ?1 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的 和是 . 二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9. 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2 m, n ? N, m ? n . (1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009 10. 求不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的组数. 11. 已知抛物线 C: y ? 1 2 x 与直线 l: y ? kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动 2 点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; 12. 设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 . 证明: a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 参考答案 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) 1. 已知复数 m 满足 m ? 2. 设 f ( x) ? 1 1 ? 1 ,则 m 2008 ? 2009 ? m m 0 . ? ? 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 2 , x ? [ ? , ] , 则 f ( x) 的 值 域 为 6 4 2 2 3 [2, 2 ] 4 . 3. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15 的是 S8 . a8 4. 已知 O 是锐角△ ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC ? 1 . 3 5. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是 棱 A1D1 和 CC1 的中点. 则四面体 O ? MNB1 的体积为 7 . 48 6. 设 A ? B ? C ? {1,2,3,4,5,6} ,且 A ? B ? {1,2} , {1,2,3,4} ? B ? C ,则符合条件 的 ( A, B, C ) 共有 7. 1600 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. ) 设 y ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x , 则 | y | 的 最 小 值 为 . p p ?1 2 2 ?1 8. 设 p 是给定的正偶数,集合 Ap ? {x | 2 ? x ? 2 2 p ?1 ? 2 p ?1 . 和是 2 , x ? 3m, m ? N}的所有元素的 二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9. 设 数 列 {an }(n ? 0) 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? 1 (a 2 m ? a 2 n ) , 其 中 2 m, n ? N, m ? n . (1)证明:对一切 n ? N ,有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; (2)证明: 1 1 1 ? ??? ?1. a1 a2 a2009 1 (a 2 m ? a 2 n ) 中,令 m ? n ,可得 2 证明 ( 1 )在已知关系式 a m ? n ? a m ? n ? m ? n ? a0 ? 0 ; 令 n ? 0 ,可得 a2m ? 4am ? 2m 令 m ? n ? 2 ,可得