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高考大题攻破系列·解三角形


高考大题攻破系列·解三角形

1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 a b c = = =2R.(R 为△ABC sin A sin B sin C 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cos_A; b2=c2+a2-2ca·cos_B; c2=a2+b2-2ab·cos_C b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab (2)已知两边和它们的夹 个角

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin cos A= 变形 形式 C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a b c (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 2R 2R 2R

(1)已知两角和任一边,求另一角和其 (1)已知三边求各角; 解决 问题 他两条边; 一边和其他两角 (2)已知两边和其中一边的对角,求另 角,求第三边和其他两

2、三角形常用面积公式 1 (1)S= a·ha(ha 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 3、三角形内角和 A ? B ? C ? ? (两角可表示另一角) 。
sin( A ? B) ? sin ?? ? C ? ? sin C cos( A ? B) ? cos ?? ? C ? ? ? cos C

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题型一、利用正余弦定理解三角形 3π 【例题 1】在△ABC 中,∠BAC= ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上, 4 AD=BD,求 AD 的长.

【例题 2】(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC, △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. sin B (1)求 ; sin C 2 (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2

【例题 3】(2016·天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c.已知 asin 2B= 3bsin A. (1)求 B; 1 (2)若 cos A= ,求 sin C 的值. 3

2

题型二、求三角形面积 【例题 4】(2015·全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对 边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积.

【例题 5】(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 3 3 ,求△ABC 的周长. 2

题型三、三角恒等变换与解三角形的综合问题 【例题 6】(2017·东北三省四市一联)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,已知 cos B-2cos A cos C = . c 2a-b

a (1)求 的值; b (2)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围.

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π +A 【例题 7】 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 tan 4 =2. sin 2A 的值; sin 2A+cos2A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4 (1)求

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课时分层训练
A组 一、选择题 1.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B =asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ( ) B.直角三角形 D.不确定 基础达标

2.在△ABC 中,已知 b=40 ,c=20,C =60°,则此三角形的解的情况是 ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 3.(2016·天津高考)在△ABC 中,若 AB= 13,BC=3,∠C=120°,则 AC

=(

) A.1 C.3 B.2 D.4 )

4.(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 a2+b2-c2=ab= 3,则△ABC 的面积为( 3 4 3 C. 2 A. B. 3 4 3 D. 2 π 1 5.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sin A= 4 3 ) 3 10 A. B. 10 10 5 3 10 C. D. 5 10 二、填空题 6. (2017·郴州模拟)在△ABC 中, a=15, b=10, A=60°, 则 cos B=__________. 7.(2016·青岛模拟)如图 3?6?1 所示,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC,sin∠BAC= 2 2 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3

(

图 3?6?1
5

8.已知△ABC 中,AB= 3,BC=1,sin C= 3cos C,则△ABC 的面积为 ________. 三、解答题 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2,c=5, 3 cos B= . 5 (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值.

10.(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,m=(sin B,5sin A+5sin C)与 n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直. (1)求 sin A 的值; (2)若 a=2 2,求△ABC 的面积 S 的最大值.

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B组

能力提升

1.(2016·山东高考)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 已知 b= c,a2=2b2(1-sin A),则 A=( ) 3π π A. B. 4 3 π π C. D. 4 6 2.如图 3?6?2,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上的点,AD=5,AC= 7,DC=3,则 AB 的长为________.

图 3?6?2 3.在△ABC 中,cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根. (1)求角 C; (2)当 a+b=10 时,求△ABC 周长的最小值.

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