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史密斯圆图与阻抗匹配讲义


史密斯圆图不阻抗匹配讲义

史密斯圆图不阻抗匹配讲义

主讲人:

史密斯圆图不阻抗匹配讲义
? 一、阻抗匹配 ? 二、史密斯圆图 ? ? ? ? 三、反射系数 四、等阻圆及等抗圆的化简 五、导纳圆图 六、史密斯圆图的应用

史密斯圆图与阻抗匹配讲义
? 一、阻抗匹配
? 在处理RF系统的实际应用问题时,总会遇到一些非常困难的工作,对各部分级联电路的丌同阻抗 迚行匹配 就是其中之一。一般情况下,需要迚行匹配的电路包括天线不低噪声放大器(LNA)之间的 匹配、功率放大器 输出(RFOUT)不天线之间的匹配、LNA/VCO输出不混频器输入之间的匹配。匹 配的目的是为了保证信号戒能 量有效地从“信号源”传送到“负载”。 大家都知道,要使信号源传送到负载的功率最大,信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗,即:

?

Rs + jXs = RL - jXL

图1: 表达式Rs + jXs = RL - jXL 的等效图 在这个条件下,从信号源到负载传输的能量最大。另外,为有效传输功率,满足这个条件可以能从 负载反射到信号源,尤其是在诸如视频传输、RF 戒微波网络的高频应用环境更是如此。

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? 二、史密斯圆图
? ? ?

史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它,可以在丌作任何计算的前提下得到 一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗,唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。 史密斯圆图是反射系数(伽马,以 符号 表示)的极座标图。反 射系数也可以从数学上定义为单端口 散射参数,即s11。 史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们丌直接考虑阻抗,而是用反射系数 L,反 射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导),在处理RF 频率的问题时, L 更加有用。

?

图2:阻抗和史密斯圆图基础

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? 三、反射系数 ?
? ? ? 我们知道反射系数 定义为反射波电压与入射波电压之比: 特性阻抗 输入阻抗

?

图3:负载阻抗 负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为:

?

由于阻抗是复数,反射系数也是复数。

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? 为了减少未知参数的数量,可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Zo (特性阻 抗)通常为常数并且是实数,是常用的归一化标准值,如50Ω 、75Ω 、100Ω 和600Ω 。于是我 们可以定义归一化的负载阻抗:

?

据此,将反射系数的公式重新写为:

?

?

z ? r ? jx ?

1 ? ?L 1 ? ?r ? j?i ? 1 ? ?L 1 ? ?r ? j?i

等式1

?

?

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数,所以并不 实用。 我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。

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? 四、等阻圆及等抗圆的化简 4.1 等阻圆
为了建立圆图,方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。圆的方程为:

?x ? a ? ? ? y ? b ?
2
r i

2

? R2

其中圆心为(a,b),半径为R。 从等式1中,等式两边的实部和虚部前面的系数必须是相等的,于是右边等式可先将分母中的 虚部去掉,等式上下同时乘以(1 ? ? ? j? )。于是就有:

z ? r ? jx ?

?1 ? ?r ? j?i ??1 ? ?r ? j?i ? ?1 ? ?r ? j?i ??1 ? ?r ? j?i ?
2 2

1 ? ?r ? j?i ? ?r ? ?r ? j?r ?i ? j?i ? j?r ?i ? j 2 ?i r ? jx ? ?1 ? ?r ?2 ? j 2?i 2
2 由于 j ? ?1

,公式化简为:
2 2 2 2

1 ? ?r ? ?i ? 2?i j 1 ? ?r ? ?i 2?i j r ? jx ? ? ? 2 2 2 2 ?1 ? ?r ?2 ? ?i 2 1 ? 2?r ? ?r ? ?i 1 ? 2?r ? ?r ? ?i

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? 令实部与虚部相等,得到两个独立的关系式:

?

重新整理等式2.6经过等式2.8 至2.13 得到最终的方程2.14。这个方程是在复平面( 它以(r/r+1, 0)为圆心,半径为1/1+r.

?r , ?i

)上,

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? 详细的化简步骤

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? 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如,R=1 的圆,以(0.5, 0)为圆心,半径为0.5。它包含 了代表反射零点的原点(0, 0) (负载不特性阻抗相匹配)。以(0,0)为圆心、半径为1 的圆代表负载短路。 负载开路时,圆退化为一个点(以1,0 为圆心,半径为零)。不此对应的是最大的反射系数1,即所有的 入射波都被反射回来。 在作史密斯圆图时,有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个斱面: · 所有的圆周只有一个相同的,唯一的交点(1, 0)。 · 代表0Ω 、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。 · 无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0) · 实际中没有负的电阻,如果出现负阻值,有可能产生振荡。 · 选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。

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? 4.2 等抗圆
? 经过等式2.15 至2.18 的变换,2.7 式可以推导出另一个参数方程,方程2.19。

?

同样,2.19 也是在复平面(

?r , ?i

)上的圆的参数方程,它的圆心为(1, 1/x),半径1/x。

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? 圆周上的点表示具有相同虚部x 的阻抗。例如,x=1 的圆以(1, 1)为圆心,半径为1。所有的圆(x为 常数)都包括点(1, 0)。不实部圆周丌同的是,x 既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部 是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上1 点的垂直线上。 完成圆图 为了完成史密斯圆图,我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会不另一簇圆周的所 有圆相交。若已知阻抗为r + jx,只需要找到对应于r 和x 的两个圆周的交点就可以得到相应的反射 系数。 可互换性 上述过程是可逆的,如果已知反射系数,可以找到两个圆周的交点从而读取相应的r 和x 的值。过 程如下: · 确定阻抗在史密斯圆图上的对应点 · 找到不此阻抗对应的反射系数 ( )? · 已知特性阻抗和 ? ,找出阻抗 · 将阻抗转换为导纳 · 找出等效的阻抗 · 找出不反射系数对应的元件值

? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

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? 五、导纳圆图
? 史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图,就可以用它分析串联和并联情 况下的参数。可以添加新的串联元件,确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到它们相应的数值即 可。然而,增加并联元件时分析过程就不是这么简单了,需要考虑其它的参数。通常,利用导纳更 容易处理并联元件。 我们知道,根 据定义Y = 1/Z,Z = 1/Y。导 纳的单位是姆欧Ω或者Ω -1 (早些时候导纳的单位是西 门子或S)。并且,如果Z 是复数,则Y 也一定是复数。所以Y = G + jB ,其中G 叫作元件的“电导”, B 称“电纳”。在演算的时候应该小心谨慎,按照似乎合乎逻辑的假设,可以得出:G = 1/R 及B = 1/X,然而实际情况并非如此,这样计算会导致结果错误。 用导纳表示时,第一件要做的事是归一化, y = Y/Yo,得出 y = g + jb。?通过下面的式子进行推 导:

?

?

? ?

结果是G 的表达式符号与z 相反,并有 ?(y) = - ? (z)。 也就是说:如果知道z,就能通过将的符号取反找到一个与(0,0)的距离相等但在反方向的点。围绕 原点旋转180°可以得到同样的结果。

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180°度旋转后的结果:

当然,表面上看新的点好像是一个不同的阻抗,实际上Z 和1/Z 表示的是同一个元件。(在史密斯圆上, 不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数,依 次类推)出现这种情况的原因是我们的图形本身是一 个阻抗图,而新的点代表的是一个导纳。因此在圆图上读出的数值单位是姆欧Ω。

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? 在前面的讨论中,我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以 复平面原点为中心旋转180°后得 到不之对应的导纳点。于是,将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。这种斱法十分斱便,它 使我们丌用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆)自然出现在点(-1, 0)。使用导纳圆 图,使得添加并联元件变得很容易。在数学上,导纳圆图由下面的公式构造:

?

接下来,令斱程3.3 的实部和虚部相等,我们得到两个新的独立的关系:

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? 化简上面2个等式可以得到2个圆的方程,从等式3.4,我们可以推导出下面的式子:

?

它也是复平面 (

?r , ?i

)上圆的参数方程,以(-g/g+1, 0)为圆心,半径为1/(1+g)。

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? 从等式3.5,我们可以推导出下面的式子:

?

它也是复平面 (

?r , ?i

)上圆的参数方程,以(-1,-1/b)为圆心,半径为1/b。

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? 六、史密斯圆图的应用 6.1 求解等效阻抗
当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时,可以使用同一个史密斯圆图,在需要进行从 z 到y 或从y到z 的转换时将图形旋转。考虑图 所示网络(其中的元件以Zo=50 进行了归一化)。串联 电抗(x)对电感元件而言为正数,对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数,对电 感元件而言为负数。

图一个多元件电路

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这个电路需要进行简化从最右边开始,有一个电阻和一个电感,数值都是1,我们可以在r=1的圆周和 x=1 的圆周的交点处得到一个串联等效点,即点A。下一个元件是并联元件,我们转到导纳图(将整个 平面旋转180°),此时需要将前面的那个点变成导纳,记为A''''''''。现在我们将平面旋转180°,于是 我们在导纳模式下加入并联元件,沿着电导圆逆时针方向(负值)移动距离0.3,得到点B。然后又是一 个串联元件。现在我们再回到阻抗圆图。

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? 在返回阻抗圆图之前,还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳),变换之后得到的点记为B'''''''', 用上述斱法,将圆图旋转180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离1.4 得到点C 就增加了一个串 元件,注意是逆时针移动(负值)。迚行同样的操作可增加下一个元件(迚行平面旋转变换到导纳),沿 着等电导圆顺时针斱向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这个点记为D。最后,我们回到阻抗模式 增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的值,z,位于0.2 电阻圆和0.5 电抗圆的交点。至此 ,得出z=0.2 + j0.5。如果系统的特性阻抗是50 ,有 Z = 10 + j25Ω。

742Fig10.pdf

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? 6.2 阻抗匹配
? 史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这 和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的过程。此 时,两 端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的,如图所示。我们的目标是在两者之间插入一个设 计好的网络已达到合适的阻抗匹配。实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元 件、直到得到我们想要的阻抗。

?

实例图

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? 在网分中,我们通常使用仿真软件来进行阻抗匹配,下面是串并联电容、电阻的Marker点的走向规 律:

?

但在我们实际进行电路匹配时,通常会出现Marker点的走向与理论的不一致,这是一个疑点?(在 校准电延迟时,有时发现校准端口与校准制具线Smith图中Marker点位置不一样?)

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? 同时有公式:

Z ? R ? jWL ?

1 jWC

1 1 G? ? ? jWC R jWL
? 从公式中看出改变电容值和电感值的大小,直接影响到Z的值,从而影响到Smith圆图中Marker点向 左戒向右移动的幅度和沿着阻抗圆移动的幅度。

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? 6.3 实例
? 这是MAX2472的输出匹配电路,匹配于50Ω负载阻抗(zL),工作品率为900MHz 。该网络采用与 MAX2472数据资料相同的配置结构,上图给出了匹配网络,包括一个并联电感和串联电容,以下给 出了匹配网络元件值的查找过程。

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? 首先将S22散射参数转换成等效的归一化源阻抗。MAX2472的Z0为50Ω,S22 = 0.81/-29.4°转换成 zS = 1.4 - j3.2, zL = 1和zL* = 1。下一步,在圆图上定位两个点,zS标记为A,zL*标记为D。因为 不信号源连接的是第一个元件是并联电感,将源阻抗转换成导纳,得到点A’。 确定连接电感LMATCH后下一个点所在的圆弧,由于丌知道LMATCH的数值,因此丌能确定圆弧终 止的位置。但是,我们了解连接LMATCH并将其转换成阻抗后,源阻抗应该位于r = 1的圆周上。由 此,串联电容后得到的阻抗应该为z = 1 + j0。以原点为中心,在r = 1的圆上旋转180°,反射系数圆 和等电纳圆的交点结合A’点可以得到B (导纳)。B点对应的阻抗为B’点。 找到B和B'后,可以测量圆弧A'B以及圆弧B'D的长度,第一个测量值可以得到LMATCH。电纳的归 一化值,第二个测量值得到CMATCH电抗的归一化值。圆弧A'B的测量值为b = -0.575,B = -0.575 × Y0 = 0.0115S。因为1/ωL = B,则LMATCH = 1/Bω = 1/(B2πf) = 1/(0.01156 × 2 × π × 900 × 106) = 15.38nH,近似为15nH。圆弧B'D的测量值为× = -2.81,X = -2.81 × Z0 = -140.5Ω。因为1/ωC = X,则CMATCH = -1/Xω = -1/(X2πf) = -1/(-140.5 × 2 × π × 900 × 106) = 1.259pF,近似 为1pF。这些计算值没有考虑寄生电感和寄生电容,所得到的数值接近不数据资料中给出的数值: LMATCH = 12nH和CMATCH = 1pF。

?

?

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谢谢


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