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国内自产视频区:2019-2020年高中数学第二章概率3条件概率与独立事件教学案北师大版选修2-3

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2019-2020 年高中数学第二章概率 3 条件概率与独立事件教学案北师大版 选修 2-3
[对应学生用书P24]

条件概率

100 件产品中有 93 件产品的长度合格,90 件产品的质量合格,85 件产品的长度、质量

都合格.

令 A={产品的长度合格},B={产品的质量合格},A∩B={产品的长度、质量都合格}.

问题 1:试求 P(A),P(B),P(A∩B).

提示:P(A)=19030,P(B)=19000,P(A∩B)=18050.

问题 2:任取一件产品,已知其质量合格(即 B 发生),求它的长度(即 A 发生)也合格概

率.

提示:若用 A|B 表示上述事件,则 A|B 发生相当于从 90 件产品中任取 1 件长度合格,

其概率为 P(A|B)=8950.

问题 3:如何理解问题 2?

提示:在质量合格的情况下,长度又合格,即事件 B 发生的条件下事件 A 发生.

问题 4:试探求 P(B),P(A∩B),P(A|B)间的关系.

提示:P(A|B)=P

P

A∩B B

.

条件概率

(1)概念

事件 B 发生的条件下,A 发生的概率,称为 B 发生时 A 发生的条件概率,记为 P(A|B).

(2)公式

P(A|B)=P

P

A∩B B

(其中,A∩B 也可记成 AB).

(3)当 P(A)>0 时,A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)=PP

AB A

.

独立事件

有这样一项活动:甲箱里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱里装有 2 个白球,2 个黑球,

从这两个箱子里分别摸出 1 个球,记事件 A={从甲箱里摸出白球},B={从乙箱里摸出白球}.

问题 1:事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗?

提示:不影响.

问题 2:试求 P(A),P(B),P(AB).

提示:P(A)=35,P(B)=12,P(AB)=35× ×24=130.

问题 3:P(AB)与 P(A),P(B)有什么关系?

提示:P(AB)=P(A)·P(B)=35×12=130.

问题 4:P(B|A)与 P(B)相等吗?

提示:相等,由 P(B|A)=PP

AB A

=12,可得 P(B|A)=P(B).

独立事件 (1)概念:对两个事件 A,B,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称 A,B 相互独立. (2)推广:若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也相互独立. (3)拓展:若 A1,A2,…,An 相互独立,则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

1.由条件概率的定义知,P(B|A)与 P(A|B)是不同的;另外,在事件 A 发生的前提下, 事件 B 发生的概率为 P(B|A),其值不一定等于 P(B).
2.事件 A 与 B 相互独立就是事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率,事件 B 的发生不 影响事件 A 发生的概率.

[对应学生用书P25]

条件概率

[例 1] 盒中装有 5 个产品,其中 3 个一等品,2 个二等品,不放回地从中取产品,每

次取 1 个.

求:(1)取两次,两次都取得一等品的概率,

(2)取两次,第二次取得一等品的概率;

(3)取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得的是二等品的概率.

[思路点拨] 由于是不放回地从中取产品,所以第二次抽取受到第一次的影响,因而是

条件概率,应用条件概率中的乘法公式求解. [精解详析] 记 Ai 为第 i 次取到一等品,其中 i=1,2. (1)取两次,两次都取得一等品的概率,

P(A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)=35×24=130.

(2)取两次,第二次取得一等品,则第一次有可能取到一等品,也可能取到二等品,

则 P(A2)=P( A1 A2)+P(A1A2)=25×34+35×24=35.

(3)取两次,已知第二次取得一等品,

P A1 A2 则第一次取得二等品的概率为 P( A1 |A2)= P A2

23 =5×3 4=12.
5

[一点通] 求条件概率一般有两种方法:

一是对于古典概型类题目,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B|A)=nn

AB A



其中 n(AB)表示事件 AB 包含的基本事件个数,n(A)表示事件 A 包含的基本事件个数.

二是直接根据定义计算,P(B|A)=PP

AB A

,特别要注意 P(AB)的求法.

1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为 Ω ={1,2,3,4,5,6},记

事件 A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则 P(A|B)=( )

A.12

B.15

C.25

D.35

解析:P(B)=56,P(A∩B)=13,P(A|B)=PP

AB B

1 =53=25.
6

答案:C

2.已知 P(A|B)=12,P(B)=13,则 P(AB)=________.

解析:∵P(A|B)=PP

AB B



∴P(AB)=P(A|B)P(B)=12×13=16.

答案:16

3.甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨

天所占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问:

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B,由题意,得 P(A)=0.20,

P(B)=0.18,P(AB)=0.12.

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是

P(A|B)=PP

AB B

0.12 =0.18≈0.67.

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是

P(B|A)=PP

AB A

0.12 = 0.2 =0.60.

独立事件的判断

[例 2] 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A={一个家庭

中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩},对下述两种情形,讨论 A 与 B

的独立性:

(1)家庭中有两个小孩;

(2)家庭中有三个小孩.

[思路点拨] 先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形,需注意基本事件(男,女),(女, 男)是不同的,然后分别求出 A,B 所含的基本事件数,由于生男生女具有等可能性,故可借

助古典概型来求 P(A),P(B)及 P(AB)的概率,最后分析 P(AB)是否等于 P(A)P(B).

[精解详析] (1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为 Ω ={(男,男),(男,

女),(女,男),(女,女)},

它有 4 个基本事件,由等可能性知每个基本事件的概率都为14.

∵A={(男,女),(女,男)},

B={(男,男),(男,女),(女,男)},

AB={(男,女),(女,男)},

∴P(A)=12,P(B)=34,P(AB)=12.

∴P(A)P(B)=38≠P(AB).

∴事件 A,B 不相互独立.

(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ={(男,男,男),(男,

男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,

女,女)},由等可能性知这

8

1 个基本事件的概率均为8,这时

A

中含有

6

个基本事件,B



含有 4 个基本事件,AB 中含有 3 个基本事件.

于是 P(A)=68=34,P(B)=48=12,P(AB)=38,

显然有 P(AB)=38=P(A)P(B)成立,

从而事件 A 与 B 是相互独立的.

[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即 P(AB)=P(A)·P(B))可以准确地判定两个

事件是否相互独立,这是用定量计算方法判断,因此我们必须熟练掌握.

(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事

件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件;有影响就不是相互

独立事件.

4.若 A 与 B 相互独立,则下面不是相互独立事件的是( )

A.A 与 A

B.A 与 B

C. A 与 B

D. A 与 B

解析:当 A,B 相互独立时,A 与 B , A 与 B 以及 A 与 B 都是相互独立的,而 A 与 A 是对立事件,不相互独立.
答案:A

5.从一副扑克牌(52 张)中任抽一张,设 A=“抽得老 K”,B=“抽得红牌”,判断事 件 A 与 B 是否相互独立.
解:抽到老 K 的概率为 P(A)=542=113,抽到红牌的概率 P(B)=5226=12,故 P(A)P(B)=113 ×12=216,事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”,亦即“抽得红桃老 K 或方块老 K”,故 P(AB)=522=216,从而有 P(A)P(B)=P(AB),因此 A 与 B 互为独立事件.
独立事件的概率 [例 3] (10 分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲,乙,丙三人 100 m 跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为25,34,13,若对这三名短跑运 动员的 100 m 跑的成绩进行一次检测,则 (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大? [思路点拨] 若用 A,B,C 表示甲,乙,丙三人 100 米跑的成绩合格,则事件 A,B,C 相互独立. [精解详析] 记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格”分别为事件 A,B,C,显然事件 A,B,C 相互独立, 则 P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13. 分) 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率: P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110. 分) (2)三人都不合格的概率: P0=P(-A -B -C )=P(-A )P(-B )P(-C )=35×14×23=110. 分) (3)恰有两人合格的概率: P2=P(AB-C )+P(A-B C)+P(-A BC)

232211331 =5×4×3+5×4×3+5×4×3

=2630.

恰有一人合格的概率:

P1=1-P0-P2-P3=1-110-6203-110=6205=152.

结合(1)(2)可知 P1 最大.

所以出现恰有 1 人合格的概率最大.

分)

[一点通] (1)公式 P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即 P(A1A2…An) =P(A1)P(A2)…P(An).
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序:①首先确定各事件之间是相互独立的;②

确定这些事件可以同时发生;③求出每个事件发生的概率,再求其积.

6.先后抛掷一枚骰子两次,则两次都出现奇数点的概率为________.

1 答案:4

7.(北京高考改编)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独

立):

场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数

主场 1

22

12

客场 1

18

8

主场 2

15

12

客场 2

13

12

主场 3

12

8

客场 3

21

7

主场 4

23

8

客场 4

18

15

主场 5

24

20

客场 5

25

12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率;

(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,

一场不超过 0.6 的概率;

解:(1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,

分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4.

所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.

(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,

事件 B 为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”, 事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一 场不超过 0.6”. 则 C=A B ∪ A B,A,B 独立. 根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25. P(C)=(A B )+P( A B) =35×35+25×25 =1235. 所以在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超 过 0.6 的概率为1235. 8.一个袋子中有 3 个白球,2 个红球,每次从中任取 2 个球,取出后再放回,求: (1)第一次取出的 2 个球都是白球,第二次取出的 2 个球都是红球的概率; (2)第一次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球,第二次取出的 2 个球都是白球的概 率. 解:记“第一次取出的 2 个球都是白球”事件为 A,“第二次取出的 2 个球都是红球” 为事件 B,“第一次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球”为事件 C,很明显,由于每次 取出后再放回,A,B,C 都是相互独立事件. (1)P(AB)=P(A)P(B)=CC2523·CC2522=130·110=1030.
3 故第一次取出的 2 个球都是白球,第二次取出的 2 个球都是红球的概率是100. (2)P(CA)=P(C)P(A)=CC13C25 12·CC2523=160·130=590. 故第一次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球,第二次取出的 2 个球都是白球的概率 是590.
1.计算条件概率要明确: (1)准确理解条件概率的概念:条件概率中的两个事件是互相影响的,其结果受两个条

件的概率的制约;

(2)要正确求出条件概率,必须首先弄清楚“事件 A 发生”“事件 A 发生并且事件 B 也

发生”“事件 B 在事件 A 发生的条件下发生”的概率之间的关系.

2.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系

名称

区别 定义

事件个数

联系

在一次试验中不能同时 互斥事件
发生的事件

两个或两个 ①两事件互斥,但

以上

不一定对立;反之

在一次试验中不能同时

一定成立;

对立事件 发生但必有一个发生的

两个

②两事件独立,则

事件

不一定互斥(或对

独立事件

一个事件的发生与否对 另一个事件发生的概率 没有影响

两个或两个 以上

立); ③两事件互斥(或 对立),则不相互独 立

[对应课时跟踪训练 十一
1.抛掷一颗骰子一次,A 表示事件:“出现偶数点”,B 表示事件:“出现 3 点或 6 点”,则事件 A 与 B 的关系是( )
A.相互互斥事件 B.相互独立事件 C.既相互互斥又相互独立事件 D.既不互斥又不独立事件 解析:A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以 P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=16=12×13, 所以 A 与 B 是相互独立事件. 答案:B 2.设 A,B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为130,在事件 A 发生的条件下,

事件

B

1 发生的概率为2,则事件

A

发生的概率为(

)

A.25

B.35

C.45

D.130

解析:由题意知:P(AB)=130,P(B|A)=12,

∴P(A)=PP

AB B|A

3 10 3 = 1 =5. 2

答案:B

3.某农业科技站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为 0.8,出

芽后的幼苗成活率为 0.9,在这批水稻种子中,随机地取出一粒,则这粒水稻种子发芽能成

长为幼苗的概率为( )

A.0.02

B.0.08

C.0.18

D.0.72

解析:设“这粒水稻种子发芽”为事件 A,“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件 AB,“这粒种子能成长为幼苗”为事件 B|A,则 P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,由条件概率公式,



P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72.

答案:D

4.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格

1 的概率为4,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合

格与否相互之间没有影响)( )

A.1230

B.15

C.14

D.25

解析:设“儿童体型合格”为事件 A,“身体关节构造合格”为事件 B,则 P(A)=15,

P(B)=14.又 A,B 相互独立,则 A , B 也相互独立,则 P( A B )=P( A )P( B )=45×34=35,

故至少有一项合格的概率为 P=1-P( A

B

2 )=5.

答案:D

1

1

5.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是2,乙能解决的概率是3,两人试

图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为

________.

解析:甲、乙两人都未能解决为

???1-12??????1-13???=12×23=13,

问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题.

∴P=1-13=23.

答案:13

2 3

6.从编号为 1,2,…,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,已知选出 4 号球的条件下,

选出球的最大号码为 6 的概率为________.

解析:令事件 A={选出的 4 个球中含 4 号球},

B={选出的 4 个球中最大号码为 6},依题意可知

n(A)=C39=84,n(AB)=C24=6,

∴P(B|A)=nn

AB A

=864=114.

答案:114

7.1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1

号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱中随机取出一球,问:

(1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少?

(2)从 2 号箱取出红球的概率是多少?

解:“最后从 2 号箱中取出的是红球”为事件 A,“从 1 号箱中取出的是红球”为事件

B.

P(B)=2+4 4=23,

P( B )=1-P(B)=13,

(1)P(A|B)=38+ +11=49, (2)∵P(A| B )=8+3 1=13, ∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩ B )=P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B )=49×23+13×13=1217. 8.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个,某人在银行自 动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对密码的概率; (2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数,不超过 2 次就按对密码的概率. 解:(1)设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则事件 A=A1+( A 1A2)表示不超过 2 次就按对密码. 因为事件 A1 与 A A1 2 互斥,由概率加法公式,得 P(A)=P(A1)+P( A 1A2)=110+190××19=15. (2)用 B 表示“最后一位数字是偶数”这个事件, 则 A|B=A1|B+( A 1A2)|B.
∴P(A|B)=P(A1|B)+P(( A 1A2)|B) 1 4×1 2
=5+5×4=5.


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