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选修4-4公式

坐标系与参数方程 知识点

(2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设 点 P(x,y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变 换
? :?
? x? ? ? ?x ? y? ? ? ?y (? ? 0) 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y?) ,称 ? (? ? 0)

径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角 , 记为 ? . 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标 , 记作
M ( ? ,? ).

一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和 直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念
(1)极坐标系

如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯 一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确 定的.

如图所示

, 在平面内取一个定点 O , 叫做极

点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐 标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的 点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标 系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

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(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标 是 ( x, y ) , 极坐标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ), 于是极坐标与直角坐标的互化 公式如表: 直角坐标 点M
( x, y )

圆心为

(r , ) 2 ,
半径为 r 的圆 过 极 点,倾 斜角为 ? 的直 线 过 点

?

? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )


( ? ,? )





(1) ? ? ? (? ? R)或? ? ? ? ? (? ? R) (2) ? ? ? (? ? 0)和? ? ? ? ? (? ? 0)

? 2 ? x2 ? y 2

互化公式

? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ?

tan ? ?

y ( x ? 0) x

( a, 0) ,
与极轴 垂直的 直线 过 点

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最 小正角.

( a, ) 2 ,

?

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

4.常见曲线的极坐标方程
曲线
圆心在 极点, 半径为 r 的圆 圆心为

与极轴 平行的 直线

图形

极坐标方程 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
? ? r (0 ? ? ? 2? )
( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(?? , ? ? ? ),(?? , ?? ? ? ), 都表示同一点的坐标 , 这与

点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐
? ? 2r cos ? (? ?
2 ?? ?

( r , 0) ,
半径为 r 的圆

?
2

)

标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点
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M( , ) 4 4 可 以 表 示 为

? ?

? ? ? ? ? 5? ? ? ( , ? 2? )或( , ? 2? )或(- , ) ( , ) 4 4 4 4 4 4 等多种形式 , 其中 , 只有 4 4

必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。 应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用 的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

的极坐标满足方程 ? ? ? .

二、参数方程 1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
? x ? f (t ) ? x, y 都是某个变数 t 的函数 ? y ? g (t ) ① , 并且对于 t 的每一个允许

3.圆的参数
如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发, 按 逆 时 针 方 向 在 圆 O 上 作 匀 速 圆 周 运 动 , 设 M ( x, y) , 则
? ?x ? r c o s (? 为参数) ? ? y ? r sin ? 。

值,由方程组①所确定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上,那么方程① 就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程.

这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的 几何意义是 OM 0 转过的角度。
, , ) 半 径 为 r 的 圆 的 普 通 方 程 是 圆 心 为 (a b

2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一 般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f (t ) , 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y ? g (t ) ,那么
? x ? f (t ) ? ? y ? g (t ) 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

? x ? a ? r cos ? (? 为参数) ? y ? b ? r sin ? ? 它的参数方程为: 。

4.椭圆的参数方程
以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为
? x ? a cos ? x2 y 2 (?为参数) ? ? ? 1( a ? b ? 0), y ? b sin ? ? a 2 b2 其参数方程为 ,其中参数

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? 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是

? x ? b cos? y 2 x2 (?为参数), ? ? ? 1( a ? b ? 0), y ? a sin ? ? a 2 b2 其参数方程为 其中参数 ?

6.抛物线的参数方程
2 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参

仍为离心角,通常规定参数 ? 的范围为 ? ∈[0,2 ? ) 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一 点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区分开来,除了在四 个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围 内) , 在其他任何一点, 两个角的数值都不相等。 但当 相应地也有
0 ?? ? 0 ?? ?

? x ? 2 pt 2 (t为参数). ? y ? 2 pt ? 数方程为

7.直线的参数方程
经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为
? (? ? ?
) 2 的直线 l 的普通方程是

?
2 时,

?
2 ,在其他象限内类似。

y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ), 而过 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方

? x ? x0 ? t cos ? ? 程为 ? y ? y0 ? t sin ? (t为参数) 。

5.双曲线的参数方程
以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2 其参数方程为

注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点 M 0 ( x0 , y0 ) ,
? x ? x0 ? t cos ? ? 倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ? y ? y0 ? t sin ? (t为参数) ,其中 t

? ?x ? a s e c (?为参数) ? ? y ? b tan ? ,其中

表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ( x, y) 为终点的有向线
?????? ? M M 段 0 的数量,当点 M 在 M 0 上方时, t >0;当点 M 在 M 0 下方

? ?[ 0 , ? 2 且 )??

?
2

?, ?

3? 2

.

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 a b

时, t <0;当点 M 与 M 0 重合时, t =0。我们也可以把参数 t 理 解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

? x ? b cot ? (?为参数,其中? ? (0, 2? )e且? ? ? . ? y ? a csc ? ? 其参数方程为

以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。
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