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二面角_图文

二面角

1

二面角及二面角的平面角

(1)半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分都叫做一个半平面。 (2)二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。

α

l

l
这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面

二面角的 画法与记法

2、二面角的画法:
(1)、平卧式

(2)、直立式

?

二面角的 画法与记法 3、二面角的记法: 面1-棱-面2 (1)、以直线l 为棱,以 ? , ? 为半平面的二面角记为:
二面角

?, ? (2)、以直线AB 为棱,以 为半平面的二面角记为:
二面角?

? ?l ? ?
?
l

? AB ? ?

?
B

?
A

?

二面角 二、二面角的平面角
1、定义

以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角

Pl P1 A

?
B B1

? A1

二面角的大小用它的平面角的大小来度量 ∠APB= ∠A1P1B1 二面角的平面角必须满足: 注意: 1)角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0??180?

二面角
2、作二面角的平面角的常用方法

①、点P在棱上

—定义法

②、点P在一个半平面上 —三垂线(逆)定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
?
A B P? A

?
B P

l
P

?
B

?
l
O

l

?
A

练习: 指出下列各图中的二面角的平面角:
D’

A, B ? l AC ? ? BD ? ?
AC⊥l BD ⊥l

?
C

C’ B’ O

Bl D

A’

?

D

C

A O 二面角?--l--?

A B 二面角B--B’C--A A

B 二面角A--BC--D
14

E

O

D C

二面角
练 习:
1、如图,AB是圆的直径,PA垂 直圆所在的平面,C是圆上任一点, 则二面角P-BC-A的平面角为: A A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 2、已知P为二面角 ? ? l ? ? 内一 点,且 P 到两个半平面的距离都 等于 P 到棱的距离的一半,则这 个二面角的度数是多少? 60?
P

C
B

β
B

P

O

l

A

?

二面角
例1.如图,已知P是二面角 ? ? AB ? ? 棱上一点,过 P 分别在?、?内引射线PM、PN,且∠MPN=600, ∠BPM =∠BPN =450,求此二面角的度数。 ①在PB上取不同于P 的一点O, C 解: M? 在?内过O作OC⊥AB交PM 于C, 在 ? 内作OD⊥AB交PN于D, A P O B 连结CD,可得: D N ② ∠COD是二面角? ? AB ? ? 的平面角 ? ③设PO = a ,∵∠BPM =∠BPN = 45? ∴CO=a,DO=a, PC ? 2 a , PD ? 2 a 又∵∠MPN=60?
∴CD=PC ? 2 a ∴∠COD=90? 因此,二面角的度数为90?

一“作” 二“证” 三“计算”

二面角
例2. A为二面角?-CD- ? 的棱CD上一点,AB在平 面?内且与棱CD成45? 角,又AB与平面? 成30? ,求二 面角?-CD- ? 的大小。
B ?
C

A

解:作BC??于C,连结AC

O C

D

过C作CO?CD于O,连结OB
由三垂线定理可得: BO?CD

?

则 ∠BOC是二面角? ? CD ? ? 的平面角 设AO =a 在Rt?AOB中,BO=a, AB= 2 a 2 在Rt?ACB中,?BAC= 30? , AB= 2a, BC= 2 a
在Rt?BCO中,sin ∠BOC= ∴所求二面角的大小为45?
BC ? OB 2 2

二面角
例3.如图P 为二面角 ? ? l ? ? 内一点,PA⊥?,PB⊥?, 且PA=5,PB=8,AB =7,求这二面角的度数。

解: 设过PA、PB 的平面PAB
与棱l 交于O 点 ? B ∵PA⊥? ∴PA⊥ l ∵PB⊥? ∴PB⊥ l lO ∴ l ⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角 ? ? l ? ? 的平面角 又∵PA=5,PB=8,AB=7

P A

?

AP 2 ? BP 2 ? AB 2 1 ? 由余弦定理得 cos?P ? 2 2 AP ? BP ∴∠P = 60? ∴∠AOB=120? ∴所求二面角的度数为120?

二面角
一、二面角的定义: 二、二面角的表示方法:

从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。
二 面 角 ?-AB- ? 二 面 角 C-AB- D 二 面 角 ?- l- ?




三、二面角的平面角:

1、二面角的平面角必须满足 三个条件 2、二面角的平面角的大小与 四、二面角的平面角的作法: 其顶点在棱上的位置无关 3、二面角的大小用它的平面 1、定义法 五、二面角的计算: 1、找到或作出二面角的平面角 角的大小来度量 2、三垂线(逆)定理法 2、证明 1中的角就是所求的角 3、垂面法 一“作”二“ 证”三“ 计算” 3、计算所求的角

二面角

3. 如图,已知A、B是120?的二面角?— l B ? l—?棱l上的两点,线段AC,BD分别在面 D C ?,?内,且AC⊥l,BD⊥l ,AC=2, BD=1,AB=3,求线段CD的长。 O A 解:在平面?内,过A作AO⊥l ,使 AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?—l—?的平面角,即 ∠OAC =120?, ∵BD⊥l ∴ AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l , AO=BD ∵ AC⊥l , AO⊥l , ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1,在△OAC中,AC=2, 2 2 2 ? ∴ CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7 在Rt △COD中,DO=AB=3

E ?

19

? CD ? CO 2 ? DO2 ? 7 ? 32 ? 4

二面角
作业1:已知Rt△ABC在平面?内,斜边AB在30? 的二面 角?-AB-? 的棱上,若AC=5,BC=12,求点C 到平面? 的距 离CO。

?ODC

B’ D C O

作 业

?
?
B A O B

?BOB’
C

A

D

作业 2 :在平面四边形 ABCD 中, AB=BC=2,AD=CD= 15 , ∠B=120? ;将三角形 ABC 沿四边形 ABCD 的对角线 AC 折 起来,使DB’= 7 ,求△AB’C所在平面与△ADC所在平面 所成二面角的平面角的度数。

下面图中有没有二面角的平面角? 为什么?
C

?
O a C

O1

a
O2 D

D

? <1>

?

?
?

<2>
C D

O

a
<3>

?


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