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高中数学必修4人教A教案2.3.1平面向量基本定理


2. 3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实 际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表 达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念。 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。 教学难点:平面向量基本定理的运用. 教学过程 引子:在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解 的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展 到向量中来,会产生什么样的结论呢?

问题:如图,设 e1 、 e 2 是同一平面内两个不共线的向量, a 是这一平面内的任一向量,我们
通过作图研究 a 与 e1 、 e 2 之间的关系.

请完成:

e 请你作出向量 b =3 e1 +2 e 2 、 = e1 -2 e 2 . c ① 给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 2 , e1
e2

② 由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 e 2 来表示向量 b , c 那么 平面内的任一向量是否都可以用形如 λ1 e1 +λ2 e 2 的向量表示呢?

1

【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1 、e 2 表示 出来.当 e1 、 e 2 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大 的方便.】 由此可得: 【平面向量基本定理】:

e 如果 e1 、 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一
对实数 λ1、λ2,使 a =λ1 e1 +λ2 e 2 . 【定理说明】: (1)我们把不共线向量 e1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e 2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一.

提出问题 ① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?

已知两个非零向量 a 和 b (如图),作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b

的夹角.
显然,当 θ=0°时, a 与 b 同向;当 θ=180°时, a 与 b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间 [0° ,180° ]内. 如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b .

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示?

2

例 1、已知向量 e1 、 e 2 (如图),求作向量-2.5 e1 +3 e 2 .?

练习: 1.设 e1 、 e 2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A. e1 、 e 2 一定平行 λ e1 +μ e 2 (λ 、μ ∈R) D.若 e1 、 e 2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1 +u e 2 (λ 、u∈R)

B. e1 、 e 2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =

2.已知向量 a = e1 -2 e 2 ,b =2 e1 + e 2 , 其中 e1 、e 2 不共线, a + b 与 c =6 e1 -2 e 2 的 则 关系( ) A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知 λ 1>0, 2>0,e1 、e 2 是一组基底, a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 , a 与 e1 λ 且 则



a 与 e2

.(填“共线”或“不共线”).

4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面 内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量, 其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

5. 设 e1 与 e 2 是 两 个 不 共 线 向 量 , a =3 e1 +4 e 2 , b =-2 e1 +5 e 2 , 若 实 数 λ 、 μ 满 足

3

λ a +μ b =5 e1 - e 2 ,求 λ、μ 的值.

6.【能力提升题】已知 G 为△ ABC 的重心,设 AB = a , AC = b ,试用 a 、 b 表示向量 AG .

课堂小结 1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义, 2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.

作业布置 已知向量 e1 、 e 2 (如图),求作向量(1) e1 +2 e 2 .?(2)- e1 +3 e 2

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