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苏教版高一数学必修一函数的定义域和值域






函数的概念和图像

授课日期及时段 1.理解函数及其定义域、值域的概念,并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法,重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念,掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 教学目的 5.理解函数的单调性,掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性,求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义,明确函数与映射的异同之处 教学内容

1.函数概念是如何定义的,什么是映射?举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考:对于不同的函数如:① y = x 2 ? 2 x ② y = x ? 1 ③ y = 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有: 4. y = f ( x ) 的定义域为 A, x1 , x 2 ∈ A 。 函数是奇函数, 讲授新课: 讲授新课: 一、函数的判断 例 1.<1>下列对应是函数的是 注:检验函数的方法(对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应) ①x→ y: y = x ② x → x2 + x +1 函数是增函数, 函数是偶函数。 函数是减函数,
1 1 ④ y = lg(2 x + 5) ⑤ y = 1? x x +1

1

<2>下列函数中,表示同一个函数的是: (



注:定义域和对应法则必须都相同时,函数是同一函数 A. f ( x ) = x, g ( x ) =

( x)

2

B. f ( x ) = x, g ( x ) = x 2 D. f ( x ) = x, g ( x ) = 3 x 3

x2 ? 4 C. f ( x ) = x + 2, g ( x ) = x?2

练习: 练习: 1.设有函数组:① y = x, y = x 2 ② y = x, y = 3 x 3 ③ y = x , y =
x 10
x

x ? 1 (x > 0) ④y=? ,y = x x ?? 1 ( x < 0 )

⑤ y = lg x 2 , y = 2 lg x

⑥ y = lg x ? 1, y = lg

其中表示同一函数的是 二:函数的定义域 注:确定函数定义域的主要方法 (1)若 f ( x ) 为整式,则定义域为 R.



(2)若 f ( x ) 是分式,则其定义域是分母不为 0 的实数集合 (3)若 f ( x ) 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于 0 的实数的集合; (4)若 f ( x ) 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题 例:1.求下列函数的定义域: (1) y =
?x 2 x ? 3x ? 2
2

(2) y = x ? 1 ? 1 ? x

2

(3) y =

3 1? 1? x

(4) y = x 2 ? 3 + 5 ? x 2

? x ?1 ? (5) f ( x ) = ? 4 x ?3 ? 2x ?

(6)t 是时间,距离 f (t ) = 60 ? 3t

2.已知函数 f ( x ) 的定义域是[-3,0],求函数 f ( x + 1) 的定义域。

3.若函数 f ( x ) =

x ?1 的定义域是 R,求 m 的取值范围。 mx + mx + 3
3 2

练习: 练习: 1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) =
4 ? x2 ?1 ;

(2) f ( x ) =

x 2 ? 3x ? 4 x +1 ? 2

3

(3) f ( x ) =

1 1+ 1 1 1+ x



(4) f ( x ) =

(x + 1)0
x ?x

? 2.已知 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,求函数 y = f (x 2 ) + f ? x + ?

4? ? 的定义域。 3?

三、函数值和函数的值域 例 1、求下列函数的值域: (观察法)
5x ? 1 (1) y = 4x + 2

x 2 ? 4x + 3 (2) y = 2x 2 ? x ? 1

例 2.求函数 y =

2x 2 + 4x ? 7 的值域(反解法) x 2 + 2x + 3

例 3.求函数 y = 2 x ? x ? 1 的值域(配方换元法)

4

例 4.求函数 y =

5x ? 1 4x + 2

(x ≥ 2) 的值域(不等式法)

例 5.画出函数 y = x 2 ? 4 x + 6, x ∈ [1,5] 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。 (图像法)

练习: 1.求下列函数的值域: (1) y = 3 x + 2 (2) f ( x) = 2 + 4 ? x

(3) y =

x x +1

(4) y = x +

1 x

2.求下列函数的值域: (1) y = ? x + 4 x ? 2
2

(2) y = x + 2 x + 1

x2 ? x +1 (3) y = 2 2x ? 2x + 3

5

四、函数解析式:
? 1? 1 例 1、已知 f ?1 + ? = 2 ? 1 ,求 f ( x ) 的解析式。 (换元法) x? x ?

例 2.设二次函数 y = f ( x ) 的最小值等于 4,且 f (0 ) = f (2 ) = 6 ,求 f ( x ) 的解析式。 (待定系数法)

例 3.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km, 甲 10 时出发前往乙家。如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y (km ) 与时间 x(min ) 的关系。试写 出 y = f (x) 的函数表达式。

6

练习: 练习: 1.已知 f

(

x + 1 = x + 2 x ,求 f ( x ) 。

)

2、已知 f (x) 是一次函数,且 f ( f ( x )) = 4 x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式。

3、设 f ( x) 是 R 上的函数,且满足 f (0 ) = 1 ,并且对任意实数 x, y ,有 f ( x ? y ) = f ( x ) ? y (2 x ? y + 1) ,求
f ( x ) 的表达式。

4、求函数 y = x + 1 + x ? 2 的值域。

7

五、单调性: 例 1.证明: f ( x ) = ? x 3 + 1 在 (? ∞,+∞ ) 上是减函数。 (定义法)

2.证明:函数 f ( x ) = x +

1 在 (0,1] 上是减函数 x

例 2.画出函数 f ( x ) = x 2 ? 4 x + 3 的图像,并由图像写出函数 f (x) 的单调区间。

3、复合函数 注:定义域相同时:
f1 (x ) f 2 (x ) g ( x ) = f 1 (x ) ± f 2 ( x )







8







u = g (x )

y = f (u )

y = f ( g ( x ))

增 减 增 减

增 减 减 增

增 增 减 减

例:已知函数 f ( x ) = 8 + 2 x ? x 2 , g ( x ) = f 2 ? x 2 ,试求 g ( x ) 的单调区间。

(

)

练习: 练习: 1.确定函数 f ( x ) = 1 1 ? 2x 的单调性。

9

2.试判断函数 f ( x ) = log a log a x ( a > 0 且 a ≠ 1 )在区间 (1,+∞ ) 上的单调性。

3.已知 f ( x ) = x 2 + ax + 3 在区间 [? 1,1] 上的最小值为-3,求实数 a 的值。

单调性的应用 例:1.已知函数 f ( x ) 对任意的 x, y ∈ R ,总有 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) ,且当 x > 0 时, f ( x ) < 0, f (1) = ? (1)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (2)求 f (x) 在 [? 3,3] 上的最大值、最小值。
2 3

六、奇偶性 例.判断函数奇偶性: (1) f ( x ) = x ? 2 + 2 ? x ;
10

(2) f ( x ) = 1 ? x 2 + x 2 ? 1 ; (3) f ( x ) = x + a ? x ? a

(a ∈ R )

(4) f ( x ) = 练习: 练习

1? x2 x+2 ?2

判断函数的奇偶性:

(1 + 2 ) (1) f ( x ) =
2x

x 2



(2) f ( x ) = lg x + x 2 + 1 ; (3) f ( x ) = lg x 2 + lg (4) f ( x ) = (1 ? x )
1 ; x2

(

)

1+ x ; 1? x

?? x 2 + x (5) f ( x ) = ? 2 ? x +x

(x ≥ 0) (x < 0)

例.奇偶性的应用 1.已知 f ( x ) =
5 px 2 + 2 是奇函数,且 f (2 ) = 。 3 3x + q

(1)求实数 p, q 的值; (2)判断函数 f ( x ) 在 (? ∞,?1) 上的单调性,并加以证明。

11

2.已知函数 f ( x ) = m 2 ? 1 x 2 + (m ? 1)x + n + 2 ,则当 m, n 为何值时, f (x) 是奇函数?

(

)

练习: 练习: 1.已知 f (x) 是奇函数,且 x > 0 时, f ( x ) = x x ? 2 , 求 x < 0 时,求 f (x) 的解析式。

2.已知定义域为 R 的奇函数 f (x) ,求证:若在区间 [a, b](b > a > 0 ) 上, f (x) 有最大值 M,那么 f (x) 在 区间 [? b,? a ] 上必有最小值-M.

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