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2016-2017学年高中数学人教版必修2课件:2.3.3+4 第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质


2.3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质

直线与平面垂直的性质
[提出问题]世界上的高楼大厦太多了:中国台 北的国际金融中心大厦高 508 米(含天线),马来西 亚吉隆坡的国家石油双子星座大厦高 451.9 米, 中 国广州的中信广场大厦高 391 米(如右图).

问题 1: 中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何 位置关系?

提示:垂直.
问题 2:每列玻璃形成的直线是什么位置关系? 提示:平行.

[导入新知] 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言:垂直于同一个平面的两条直线 平行 . (2)图形语言:

a⊥α ? ? (3)符号语言: b⊥α ??a∥b. ? ?

(4)作用: ①线面垂直?线线平行; ②作平行线.

[化解疑难] 对于线面垂直的性质定理的理解 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另 一种方法. (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系, 提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.

平面与平面垂直的性质
[提出问题] 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直. 问题 1:在黑板上任意画一条线与地面垂直吗?

提示:不一定,也可能平行、相交(不垂直).

问题 2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直?
提示:只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.

[导入新知] 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言: 两个平面垂直, 则 一个平面内 垂直于 交线的直线与另一个 平面 垂直 . (2)图形语言:

(3)符号语言:
α⊥ β
α∩β=l a?α a⊥l

? ? ? ??a⊥β. ? ? ?

(4)作用: ①面面垂直? 线面 垂直; ②作面的垂线.

[化解疑难] 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个: ①两个平面互相垂直; ②直线在其中一个平面内; ③直线与两平面的交线垂直. (2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线 面垂直. (3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再 转化为线线垂直.

线面垂直性质定理的应用
[例1] 如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD

为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.

求证:平面BCE⊥平面CDE.

[解 ]

证明:取CE的中点G,连接FG,BG,AF.

∵F为CD的中点,∴GF∥DE, 1 且GF= DE. 2 ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE.则GF∥AB. 1 又∵AB= DE,∴GF=AB. 2 则四边形GFAB为平行四边形.于是AF∥BG. ∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE=D,CD,DE?平面CDE,∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.

[类题通法] 1.此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题,证明时要综 合题目中的条件,利用条件和已知定理来证,或从结论出发逆推 分析. 2.若已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条 直线平行, 可考虑利用线面垂直的性质定理,证明另一条直线和 这个平面垂直,证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中 位线的有关性质.

[活学活用] 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,EF⊥A1D,EF⊥AC,求 证:EF∥BD1.

证明:如图,连接A1C1,C1D,B1D1,BD. ∵AC∥A1C1,EF⊥AC, ∴EF⊥A1C1.

又 EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1, ∴EF⊥平面 A1C1D. ①

∵BB1⊥平面 A1B1C1D1, A1C1?平面 A1B1C1D1, ∴BB1⊥A1C1.∵四边形 A1B1C1D1 为正方形,∴A1C1⊥B1D1,又 B1D1∩BB1=B1, ∴A1C1⊥平面 BB1D1D, 而 BD1?平面 BB1D1D, ∴A1C1⊥BD1.同理 DC1⊥BD1,DC1∩A1C1=C1, ∴BD1⊥平面 A1C1D. 由①②可知 EF∥BD1. ②

面面垂直的性质的应用
[例2] 如图所示,P是四边形ABCD所在

平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角 形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB.

[解 ]

证明:(1)连接PG,由题知△PAD为正

三角形,G是AD的中点,则PG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD,PG?平面 PAD,

∴PG⊥平面ABCD. ∵BG?平面ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形. 则BG⊥AD. 又∵AD∩PG=G,且AD,PG?平面PAD, ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD. 又∵BG,PG为平面PBG内两条相交直线, ∴AD⊥平面PBG. ∵PB?平面PBG,∴AD⊥PB.

[类题通法] 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方 法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂 直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时, 要注意以下三点: (1)两个平面垂直; (2)直线必须在其中一个平面内; (3)直线必须垂直于它们的交线.

[活学活用] 如图,菱形ABEF所在平面与直角梯形 ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2CD =4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA= 90°,点H是线段EF的中点. (1)求证:平面AHC⊥平面BCE; (2)求此几何体的体积. 解:(1)证明:连接AE,在菱形ABEF中,因为∠ABE=60°,

所以△AEF是等边三角形. 又因为H是线段EF的中点, 所以AH⊥EF,所以AH⊥AB.

因为平面ABEF⊥平面ABCD, 且平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AH⊥平面ABCD,所以AH⊥BC. 在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2CD=4, ∠BAD=∠CDA=90°,得到AC=BC=2 2, 从而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC. 又AH∩AC=A,所以BC⊥平面AHC. 又BC?平面BCE,所以平面AHC⊥平面BCE. (2)连接FC,因为V=VEACB+VFADC+VCAEF, 又易得S△ACB=4,S△ADC=2,S△AEF=4 3, 所以V=VEACB+VFADC+VCAEF 1 20 3 = (2 3×4+2 3×2+2×4 3)= . 3 3

线线、线面、面面垂直的综合问题
[例3] 已知:如图,平面PAB⊥平面

ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC, E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
[解 ] 证明:(1)在平面ABC内任取一点 D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.∵平 面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平 面PAC.

∵PA?平面PAC,∴DF⊥PA. 同理可证,DG⊥PA. ∵DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC. (2)连接BE并延长交PC于点H. ∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH. 又∵AE是平面PBC的垂线, ∴PC⊥AE. ∵BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE,∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB. ∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.

[类题通法] 线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化 思想.证明线面垂直常转化为线线垂直,证明面面垂直常转 化为线面垂直.

[活学活用] 如图,在三棱锥PABC中,E,F分别为AC,BC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAB; (2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证: 平面PEF⊥平面PBC.

证明:(1)∵E,F分别为AC,BC的中点,∴EF∥AB. 又EF?平面PAB,AB?平面PAB, ∴EF∥平面PAB. (2)∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC. 又∵平面PAC⊥平面ABC, ∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC. 又∵F为BC的中点,∴EF∥AB. ∵∠ABC=90°,∴BC⊥EF. ∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF. 又∵BC?平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PEF.

5.垂直性质定理应用的误区
[典例] 已知两个平面垂直,有下列命题: ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直 线;②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是 A.3 C.1 B.2 D.0 ( )

[解析]

如图,在正方体ABCD

A1B1C1D1

中,对于①AD1?平面AA1D1D,BD?平面 ABCD,AD1与BD是异面直线,所成角为60°, ①错误;②正确. 对于③,AD1?平面AA1D1D, AD1不垂直于平面ABCD; 对于④,过平面AA1D1D内点D1作D1C. ∵AD⊥平面D1DCC1,D1C?平面D1DCC1, ∴AD⊥D1C. 但D1C不垂直于平面ABCD,④错误. [答案] C

[易错防范] 对于④,很容易认为是正确的,其实与面面垂直的性质定 理是不同的,“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线,此垂线与另一 个平面垂直”是不同的,关键是过点作的直线不一定在已知平 面内.

[成功破障] 如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m?α 和m⊥γ,那么 A.α⊥γ且l⊥m C.m∥β且l⊥m B.α⊥γ且m∥β D.α∥β且α⊥γ ( )

答案:A

[随堂即时演练]
1.下列命题中错误的是 ( )

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直 于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β

答案:D

2.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题 正确的是 A.若m?α,n?β,m∥n,则α∥β B.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β D.若α⊥β,n⊥β,m⊥n,则m⊥α ( )

答案:B

3.若a,b表示直线(不重合),α表示平面,有下列说法:①a ⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b ?b⊥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b.其中正确的是________(填 序号).

答案:①④
4.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直线m⊥α,则直 线m与n的位置关系是________.

答案:平行

5.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平 面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF =1,求证:CF⊥平面BDE.
证明:如图,设AC∩BD=G,连接EG,FG. 由AB= 2易知CG=1, 则EF=CG=CE. 又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又平面ACEF⊥平面ABCD, 且平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF,所以BD⊥CF. 又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

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