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创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第1讲函数图象与性质及函数与方程课件文


第1讲

函数图象与性质及函数与方程

高考定位

1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数

为载体,考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性、单调性;
2.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解,综合性强; 3.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零 点存在性定理 . 数形结合思想是高考考查函数零点或方程的 根的基本方式.

真题感悟
1.(2016· 北京卷 ) 下列函数中,在区间 ( - 1 , 1) 上为减函数的是 ( ) 1 A.y= B.y=cos x 1-x - C.y=ln(x+1) D.y=2 x 1 解析 y= 与 y=ln(x+1)在区间(-1,1)上为增函数; 1-x ?1?x -x y=cos x 在区间(-1,1)上不是单调函数;y=2 =?2? 在(-1, ? ? 1)上单调递减.

答案 D

2.(2016· 全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在 [-2, 2]上的图象大致为 ( )

解析

令 f (x)=2x2-e|x|(-2≤x≤2),则 f (x)是偶函数,

又 f (2)=8-e2∈(0,1),故排除 A,B; 当 x>0 时,令 g(x)=2x2-ex,则 g′(x)=4x-ex, 而当 因此
? 1? 1 ? ? x∈ 0,4 时,g′(x)<4×4-e0=0, ? ? ? 1? g(x)在?0,4?上单调递减,排除 ? ?

C,故选 D.

答案 D

3.(2016· 全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y= 10lg x 的定义域和值域相同的是( A.y=x C.y=2
解析
x

) B.y=lg x 1 D.y= x

函数 y=10lg x 的定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0},所以

1 与其定义域和值域分别相同的函数为 y= ,故选 D. x

答案 D

4.(2016· 四川卷)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时,f (x)=4 ,则 f
x

? 5? ?- ?+f (2)=________. ? 2?

解析

∵f(x)周期为 2,且为奇函数,已知(0,1)

内 f(x)=4x,则可大致画出(-1,1)内图象如图, ∴f (0)=0, ∴f
? 5? ?5? ?- ?+f(2)=-f ? ?+f(2) ? 2? ?2? ?1? ? ?+f(0)=-2+0=-2. ?2?

=-f

答案 -2

考点整合 1.函数的性质

(1)单调性
①用来比较大小,求函数最值,解不等式和证明方程根的 唯一性. ②常见判定方法:(ⅰ)定义法:取值、作差、变形、定号, 其中变形是关键,常用的方法有:通分、配方、因式分解;

(ⅱ) 图象法; (ⅲ) 复合函数的单调性遵循“同增异减”的
原则;(ⅳ)导数法.

(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);②若f(x)是
奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;③奇函数在关于原点 对称的区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区 间内有相反的单调性.

(3)周期性:常见结论有:①若 y=f(x)对 x∈R,f(x+a)=f(x- a)或 f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期 函数;②若 y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=a 对称, 则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数;③若 y=f(x)是奇函数,其图象 又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数; ④若
? f(x+a)=-f(x)? ?或 ?

1 ? ? f(x+a)= ,则 y=f(x)是周期 f (x) ? ?

为 2|a|的周期函数.

2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有 两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象 变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意 结合其图象研究. 3. 指数函数 y = ax(a > 0 , a≠1) 与对数函数 y = logax(a > 0 ,

a≠1)的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况,着重关
注函数图象中两种情况的公共性质.

4.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函 数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2) 确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零 点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.

热点一 函数性质的应用 [微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性

【例1-1】 (1)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是(
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

)

(2)(2015· 全国Ⅰ卷)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a= ________. x (3)(2016· 北京卷)函数 f(x)= (x≥2)的最大值为________. x-1

解析

(1)易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)

? 2 ? 1+x ? =-f(x),故函数 f(x)为奇函数,又 f(x)=ln =ln?-1-x-1? ?, 1-x ? ?

由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选 A.

(2)f(x)为偶函数,则 ln(x+ a+x2)为奇函数, 所以 ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)=0, 即 ln(a+x2-x2)=0,∴a=1. 1 x (3)f(x)= =1+ ,所以 f(x)在[2,+∞)上单调递减,则 f(x) x-1 x-1 2 最大值为 f(2)= =2. 2-1

答案 (1)A (2)1 (3)2 探究提高 牢记函数的奇偶性、单调性的定义以及求函数定义

域的基本条件,这是解决函数性质问题的关键点.

[微题型2] 综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性

【例1-2】 (1)(2016· 天津二模)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|
-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m), 则a,b,c的大小关系为( A.a<b<c C.a<c<b ) B.c<a<b D.c<b<a

(2)(2016· 广州4月模拟)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=
f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值 等于________.

解析 (1)由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0, 所以 f(x) = 2|x| - 1 ,当 x > 0 时, f(x) 为增函数, log0.53 =- log23 ,

∴log25>|-log23|>0,
∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),故选B. (2)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1, ∴a=1,f(x)=2|x-1|, ∴f(x)的增区间为[1,+∞),∵[m,+∞)?[1,+∞), ∴m≥1.∴m的最小值为1. 答案 (1)B (2)1

探究提高

函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以

及函数图象的对称性,在解题中根据问题的条件通过变换函数的 解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函数的性质

解决问题.

【训练 1】 (1)(2016· 山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 1 时,f(x)=x -1;当-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x),当 x> 时, 2
3

f

? ? 1? 1? ?x+ ?=f ?x- ?.则 2? 2? ? ?

f(6)=(

) C.0 D.2

A.-2

B.-1

(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞) 上单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f (log1a)≤2f (1), 则实数 a
2

的取值范围是________.

解析

? ? 1? 1? 1 (1)当 x>2时,f ?x+2?=f ?x-2?,即 f(x)=f(x+1), ? ? ? ?

∴T=1,∴f(6)=f(1).当 x<0 时,f(x)=x3-1 且-1≤x≤1, f(-x)=-f(x),∴f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,故选 D.
(2)由题意知 a>0,又 log1a=-log2a.∵f(x)是 R 上的偶函数,
2

∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log1a).∵f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),
2 2

∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1).又∵f(x)在[0,+∞)上递增.
?1 ? ∴|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,∴a∈?2,2?. ? ?

答案 (1)D

?1 ? (2)?2,2? ? ?

热点二 函数图象与性质的融合问题 [微题型1] 函数图象的识别
xln|x| 【例 2-1】 (1)函数 y= |x| 的图象可能是( )

(2)函数

?1 ? f(x)=?x -x?sin ? ?

x 的大致图象为(

)

解析

(1)法一

xln|x| 函数 y= |x| 的图象过点(e,1),排除 C,D;

xln|x| 函数 y= |x| 的图象过点(-e,-1),排除 A,选 B. xln|x| 法二 由已知,设 f(x)= |x| ,定义域为{x|x≠0}. 则 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数,排除 A,C; 当 x>0 时,f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,排除 D, 故选 B.

1 (2)由 y1=x -x 为奇函数,y2=sin x 为奇函数,可得函 ?1 ? 数 f(x)=?x -x?sin x 为偶函数,因此排除 C、D.又当 x= ? ? ?π? π 时,y1<0,y2>0,f ?2?<0,因此选 B. 2 ? ?

答案 (1)B (2)B

探究提高

根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、

值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进

行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断,这
是解决函数图象判断类试题的基本方法.

[微题型2] 函数图象的应用
【例 2-2】 (1)(2016· 全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x) =f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图象的交点为(x1, y1),(x2,y2),?,(xm,ym),则 ?xi=(
i=1 m

) D.4m

A.0

B.m

C.2m

(2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2 >x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立, 设 a=f c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b
解析
? 1? ?- ?, b=f(2), ? 2?

)

B.c>b>a D.b>a>c

(1)由题 f(x)=f(2-x)关于 x=1 对称,函数 y=|x2-2x-

3|的图象也关于 x=1 对称,两函数的交点成对出现,因此根据 图象的特征可得 ?xi=m,故选 B.
i=1 m

(2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴 对称,故函数 y=f(x)的图象本身关于直线 x=1 对称,所以 a= f
? 1? ?5? ?- ?=f ? ?,当 x2>x1>1 ? 2? ?2?

时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,

等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>a>c.选 D.

答案 (1)B (2)D

探究提高

(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把

握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表 达的函数的性质. (2)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质,透过函 数的图象要看到它所反映的函数的性质,并以此为依据进行

分析、推断,才是正确的做法.

x3 【训练 2】 (1)函数 y= x 的图象大致是( 3 -1

)

(2)(2015· 全国Ⅰ卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关

于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a等于(
A.-1 C.2 B.1 D.4

)

解析 (1)由 3x-1≠0 得 x≠0, x3 ∴函数 y= x 的定义域为{x|x≠0},可排除 A; 3 -1 (-1)3 3 当 x=-1 时,y= = >0,可排除 B; 1 2 3-1 4 当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y= , 5 但从 D 中函数图象可以看出函数在(0, +∞)上是单调递增函数, 两者矛盾,可排除 D.故选 C.

(2)设f(x)上任意一点为(x,y)关于y=-x的对称点为(-y, -x),将(-y,-x)代入y=2x+a,所以y=a-log2(-x),

由f(-2)+f(-4)=1,得a-1+a-2=1,2a=4,a=2.
答案 (1)C (2)C

热点三 函数的零点与方程根的问题 [微题型1] 函数零点的判断 【例3-1】 (1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个 数是( A.0
(2)函数

)

B.1

C.2

D.3

2 ? ?ln x-x +2x,x>0, f(x)=? 的零点个数是________. ? ?4x+1,x≤0

解析

(1) 法一

函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1) 内的零点

个数即函数 y1=2x- 2与y2=-x3的图象在区间 (0,1)内的交 点个数 . 作图 ( 图略) ,可知在 (0 ,+ ∞) 内最多有一个交点,

故排除C,D项;当x=0时,y1=-1<y2=0,当x=1时,y1
=0>y2=-1,因此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所 以A项错误.选B. 法二 因为f(0)=1+0- 2=-1, f(1)=2+13 -2 =1,所以

f(0)· f(1)<0.又函数f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)在(0,1) 内的零点个数是1.

(2)当 x>0 时,作函数 y=ln x 和 y=x2-2x 的图象,由 图知,当 x>0 时,f(x)有两个零点;当 x≤0 时,由 f(x) 1 =0 得 x=-4,综上,f(x)有三个零点.

答案 (1)B (2)3

探究提高

函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题,常见的有

①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定; ③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 .解决这类 问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形 结合法,尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三

角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个
函数图象的交点问题求解.

[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例 3-2】 (1)(2016·山 东 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = m>0.若存在实数 b, 使得关于
? ?|x|,x≤m, ? 2 其中 ? x - 2 mx + 4 m , x > m , ?

x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 ________.

(2)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个 不相等的实根,则实数 k 的取值范围是(
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解析 (1)如图,

当x≤m时,f(x)=|x|.
当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m, 在(m,+∞)为增函数. 若存在实数 b ,使方程 f(x) = b 有三个不同的根, 则m2-2m· m+4m<|m|.

又m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.

(2)由f(x)=g(x),∴|x-2|+1=kx,即|x-2|=kx-1,所以原
题等价于函数y=|x-2|与y=kx-1的图象有2个不同交点. 如图:

1 ∴y=kx-1 在直线 y=x-1 与 y= x-1 之间, 2 1 ∴2<k<1,故选 B.

答案 (1)(3,+∞) (2)B

探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不 等式求解.

【训练3】 (1)已知二次函数f(x)=x2-bx+a的部分

图象如图所示,则函数 g(x) = ex + f′(x) 的零点所
在的区间是( A.(-1,0) C.(1,2) ) B.(0,1) D.(2,3)
x ? ?2 -a,x<1, f(x)=? ? ?4(x-a)(x-2a),x≥1.

(2)(2016· 海淀二模)设函数

①若 a=1,则 f(x)的最小值为________; ②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________.

解析 (1)由函数f(x)的图象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b
+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b, 所以g′(x)=ex+2>0,即g(x)在R上单调递增,又g(0)=1-b < 0, g(1) =e +2- b >0,根据函数的零点存在性定理可知, 函数g(x)的零点所在的区间是(0,1),故选B.
(2)①当 a=1
x ? ?2 -1,x<1, 时,f(x)=? ? ?4(x-1)(x-2),x≥1.

当 x<1 时,f(x)=2x-1∈(-1,1), 当 x≥1 时,f(x)=4(x ∴f(x)min=-1.
2

?? 3?2 1? -3x+2)=4??x-2? -4?≥-1, ? ?? ?

②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论: 当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0. 当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;

当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时, 0<a<2.
f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1 有一个零点, 1 此时 a<1, 2a≥1,因此 ≤a<1. 2 综上知实数 a
? 的取值范围是?a ? ? 1 ?. ≤ a <1 或 a ≥ 2 2 ?

答案 (1)B (2)①-1

?1 ? ②?2,1?∪[2,+∞) ? ?

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域, 如求函 1 数 f(x)=xln x的定义域时,只考虑 x>0,忽视 ln x≠0 的限制.

2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么 一定有f(0)=0. 3.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性,偶函数在两 个对称的区间上有相反的单调性.

4.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较. (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;

(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较;
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个 数,常引入中间量或结合图象比较大小. 5.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转 化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个, 其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.


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