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阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图的基本原理

阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图的基本原理
摘要:
本文利用史密斯圆图作为 RF 阻抗匹配的设计指南。文中给出了反射系数、阻抗和导纳 的作图范例,并用作图法设计了一个频率为 60MHz 的匹配网络。 实践证明:史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。 在处理 RF 系统的实际应用问题时,总会遇到一些非常困难的工作,对各部分级联电路 的不同阻抗进行匹配就是其中之一。 一般情况下, 需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放 大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO 输出与混 频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。 在高频端,寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具 有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时,理论计算和仿真已经远远不能满足 要求, 为了得到适当的最终结果, 还必须考虑在实验室中进行的 RF 测试、 并进行适当调谐。 需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。 有很多种阻抗匹配的方法,包括: ●计算机仿真:由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配,所以使用起 来比较复杂。 设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。 设计人员还需要具有从大量的 输出结果中找到有用数据的技能。另外,除非计算机是专门为这个用途制造的,否则电路仿 真软件不可能预装在计算机上。 ●手工计算:这是一种极其繁琐的方法,因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、并且 被处理的数据多为复数。 ●经验:只有在 RF 领域工作过多年的人才能使用这种方法。 总之, 它只适合于资深的专 家。 ●史密斯圆图:本文要重点讨论的内容。 本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识,并且总结它在实际中的应用方 法。讨论的主题包括参数的实际范例,比如找出匹配网络元件的数值。当然,史密斯圆图不 仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络, 还能帮助设计者优化噪声系数, 确定品质因数 的影响以及进行稳定性分析。

图 1. 阻抗和史密斯圆图基础

基础知识
在介绍史密斯圆图的使用之前,最好回顾一下 RF 环境下(大于 100MHz) IC 连线的电磁 波传播现象。这对 RS-485 传输线、PA 和天线之间的连接、LNA 和下变频器/混频器之间的 连接等应用都是有效的。 大家都知道, 要使信号源传送到负载的功率最大, 信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗, 即: RS+ jXS= RL- jXL

图 2. 表达式RS+ jXS= RL- jXL的等效图 在这个条件下,从信号源到负载传输的能量最大。另外,为有效传输功率,满足这个条 件可以避免能量从负载反射到信号源,尤其是在诸如视频传输、RF 或微波网络的高频应用 环境更是如此。

史密斯圆图
史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。 正确的使用它, 可以在不作任何计算的 前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗, 唯一需要作的就是沿着圆周线读取并 跟踪数据。 史密斯圆图是反射系数(伽马,以符号Γ表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定 义为单端口散射参数,即S11。 史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。 这里我们不直接考虑阻抗, 而是用反射 系数ΓL,反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导),在处理RF频率的问题时ΓL更 加有用。 我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:

图 3. 负载阻抗 负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。 反射系数的表达式定义 为:

[1]

由于阻抗是复数,反射系数也是复数。 为了减少未知参数的数量, 可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。 这里 Zo(特性阻抗)通常为常数并且是实数, 是常用的归一化标准值, 50?、 如 75?、 100? 和 600?。 于是我们可以定义归一化的负载阻抗:

据此,将反射系数的公式重新写为:

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复 数,所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。 为了建立圆图,方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。 首先,由方程 2.3 求解出:

并且

令等式 2.5 的实部和虚部相等,得到两个独立的关系式:

重新整理等式 2.6, 经过等式 2.8 至 2.13 得到最终的方程 2.14。 这个方程是在复平面(Γr, Γi)上、圆的参数方程(x-a)2+ (y-b)2 = R2,它以(r/r+1, 0)为圆心,半径为 1/1+r.

更多细节参见图 4a。

图 4a.
[2] 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。 例如, r=1 的圆, 以(0.5, 0)为圆心, 半径为 0.5。

它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配)[3]。以(0,0)为圆心、半径为 1 的圆代表负载短路。负载开路时,圆退化为一个点(以 1,0 为圆心,半径为零)。与此对应 的是最大的反射系数 1,即所有的入射波都被反射回来。 在作史密斯圆图时,有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面: ●所有的圆周只有一个相同的,唯一的交点(1, 0)。

●代表 0?、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。 ●实际中没有负的电阻,如果出现负阻值,有可能产生振荡。 ●选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。 作图 经过等式 2.15 至 2.18 的变换,2.7 式可以推导出另一个参数方程,方程 2.19。

同样, 2.19 也是在复平面(Γr, Γi)上的圆的参数方程(x-a)2+ (y-b)2 = R2,它的圆心为(1, 1/x), 半径 1/x。 更多细节参见图 4b。

图 4b.

圆周上的点表示具有相同虚部 x 的阻抗。例如,x=1 的圆以(1, 1)为圆心,半径为 1。 所有的圆(x 为常数)都包括点(1, 0)。与实部圆周不同的是,x 既可以是正数也可以是负数。 这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上 1 点的垂直线 上。 完成圆图 为了完成史密斯圆图, 我们将两簇圆周放在一起。 可以发现一簇圆周的所有圆会与另一 簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为 r + jx,只需要找到对应于 r 和 x 的两个圆周的交点就 可以得到相应的反射系数。 可互换性 上述过程是可逆的,如果已知反射系数,可以找到两个圆周的交点从而读取相应的 r 和 x 的值。过程如下: 1.确定阻抗在史密斯圆图上的对应点 2.找到与此阻抗对应的反射系数(Γ) 3.已知特性阻抗和Γ,找出阻抗 4.将阻抗转换为导纳 5.找出等效的阻抗 6.找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件,见图 7) 推论 因为史密斯圆图是一种基于图形的解法, 所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。 下 面是一个用史密斯圆图表示的 RF 应用实例: 例:已知特性阻抗为 50?,负载阻抗如下: Z1= 100 + j50? Z2= 75 -j100? Z3= j200? Z4= 150? Z5= ∞ (开路) Z6= 0 (短路) Z7= 50? Z8= 184 -j900? 对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图 5): z1= 2 + j z2= 1.5 -j2 z3= j4 z4= 3 z5= 8 z6= 0 z7= 1 z8= 3.68 -j18S

图 5. 史密斯圆图上的点 现在可以通过图 5 的圆图直接解出反射系数 Γ。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交 点),只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影,就得到了反射系数的实部 Γr 和虚 部 Γi (见图 6)。 该范例中可能存在八种情况, 在图 6 所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数 Γ: Γ1= 0.4 + 0.2j Γ2= 0.51 - 0.4j Γ3= 0.875 + 0.48j Γ4= 0.5 Γ5= 1 Γ6= -1 Γ7= 0 Γ8= 0.96 - 0.1j

图 6. 从 X-Y 轴直接读出反射系数 Γ 的实部和虚部 用导纳表示 史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图,就可以用它分析串 联和并联情况下的参数。 可以添加新的串联元件, 确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到 它们相应的数值即可。然而,增加并联元件时分析过程就不是这么简单了,需要考虑其它的 参数。通常,利用导纳更容易处理并联元件。 我们知道,根据定义 Y = 1/Z,Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧或者 Γ-1(早些时候导纳的单 位是西门子或 S)。并且,如果 Z 是复数,则 Y 也一定是复数。 所以 Y = G + jB (2.20), 其中 G 叫作元件的“电导”,B 称“电纳”。在演算的时候应该小 心谨慎, 按照似乎合乎逻辑的假设, 可以得出: = 1/R 及 B = 1/X, G 然而实际情况并非如此, 这样计算会导致结果错误。 用导纳表示时,第一件要做的事是归一化, y = Y/Yo,得出 y = g + jb。但是如何计算 反射系数呢?通过下面的式子进行推导:

结果是 G 的表达式符号与 z 相反,并有 Γ(y) = -Γ(z). 如果知道 z,就能通过将的符号取反找到一个与(0,0)的距离相等但在反方向的点。围 绕原点旋转 180°可以得到同样的结果(见图 7)。

图 7. 180°度旋转后的结果 当然,表面上看新的点好像是一个不同的阻抗,实际上 Z 和 1/Z 表示的是同一个元件。 (在史密斯圆图上,不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数,依次类推)出现这种情况 的原因是我们的图形本身是一个阻抗图, 而新的点代表的是一个导纳。 因此在圆图上读出的 数值单位是姆欧。 尽管用这种方法就可以进行转换,但是在解决很多并联元件电路的问题时仍不适用。 导纳圆图 在前面的讨论中, 我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以Γ复平面原点为中心旋 转 180°后得到与之对应的导纳点。于是,将整个阻抗圆图旋转 180°就得到了导纳圆图。这

种方法十分方便,它使我们不用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆)自然 出现在点(-1, 0)。使用导纳圆图,使得添加并联元件变得很容易。在数学上,导纳圆图由下 面的公式构造:

解这个方程

接下来,令方程 3.3 的实部和虚部相等,我们得到两个新的独立的关系:

从等式 3.4,我们可以推导出下面的式子:

它也是复平面 (Γr, Γi)上圆的参数方程(x-a)2+ (y-b)2 = R2`(方程 3.12),以(-g/g+1, 0)为圆 心,半径为 1/(1+g)。 从等式 3.5,我们可以推导出下面的式子:

同样得到(x-a)2+ (y-b)2 = R2型的参数方程(方程 3.17)。 求解等效阻抗 当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时, 可以使用同一个史密斯圆图, 在需要进 行从 z 到 y 或从 y 到 z 的转换时将图形旋转。 考虑图 8 所示网络(其中的元件以 Zo= 50? 进行了归一化)。 串联电抗(x)对电感元件而言 为正数,对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数,对电感元件而言为负 数。

图 8. 一个多元件电路 这个电路需要进行简化(见图 9)。从最右边开始,有一个电阻和一个电感,数值都是 1, 我们可以在 r=1 的圆周和 I=1 的圆周的交点处得到一个串联等效点,即点 A。下一个元件 是并联元件, 我们转到导纳圆图(将整个平面旋转 180°), 此时需要将前面的那个点变成导纳, 记为 A'。现在我们将平面旋转 180°,于是我们在导纳模式下加入并联元件,沿着电导圆逆

时针方向(负值)移动距离 0.3,得到点 B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到阻抗圆 图。

图 9. 将图 8 网络中的元件拆开进行分析 在返回阻抗圆图之前,还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳),变换之后得到的点 记为 B',用上述方法,将圆图旋转 180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离 1.4 得到点 C 就增加了一个串联元件, 注意是逆时针移动(负值)。 进行同样的操作可增加下一个元件(进行 平面旋转变换到导纳),沿着等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这个点 记为 D。最后,我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的值, z,位于 0.2 电阻圆和 0.5 电抗圆的交点。至此,得出 z=0.2 + j0.5。如果系统的特性阻抗是 50?,有 Z = 10 + j25? (见图 10)。

图 10. 在史密斯圆图上画出的网络元件 逐步进行阻抗匹配 史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。 这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的 过程。此时,两端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的,如图 12 所示。我们的目标是在两 者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。

图 11. 阻抗已知而元件未知的典型电路 初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。 但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹 配网络具有类似的效果,而且还需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、品质因数和有限 的可选元件)。 实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元件、 直到得到我们想要的 阻抗。从图形上看,就是找到一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样,说明这种方法的最 好办法是给出一个实例。 网络结构 我们的目标是在 60MHz工作频率下匹配源阻抗(ZS)和负载阻抗(ZL) (见图 12)。 已经确定为低通,L型(也可以把问题看作是如何使负载转变成数值等于ZS的阻抗,即ZS复共 轭)。下面是解的过程:

图 12. 图 11 的网络,将其对应的点画在史密斯圆图上 要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗,选择一个与负载/信号 源的数值在同一量级的阻抗值。假设 Zo为 50?。于是 zS= 0.5 - j0.3, z*S= 0.5 + j0.3, ZL= 2 j0.5。 下一步,在图上标出这两个点,A代表zL,D代表Z*S 然后判别与负载连接的第一个元件(并联电容),先把zL转化为导纳,得到点A'。 确定连接电容 C 后下一个点出现在圆弧上的位置。由于不知道 C 的值,所以我们不知 道具体的位置, 然而我们确实知道移动的方向。 并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向 移动、直到找到对应的数值,得到点 B (导纳)。下一个元件是串联元件,所以必需把 B 转换 到阻抗平面上去,得到 B'。B'必需和 D 位于同一个电阻圆上。从图形上看,从 A'到 D 只有 一条路径,但是如果要经过中间的 B 点(也就是 B'),就需要经过多次的尝试和检验。在找到

点 B 和 B'后,我们就能够测量 A'到 B 和 B'到 D 的弧长,前者就是 C 的归一化电纳值,后 者为 L 的归一化电抗值。A'到 B 的弧长为 b = 0.78,则 B = 0.78 x Yo= 0.0156 姆欧。因为 ωC = B,所以 C = B/ω = B/(2πf) = 0.0156/(2π607) = 41.4pF。B 到 D 的弧长为 x = 1.2,于是 X = 1.2 x Zo= 60?。 由 ωL = X, 得 L = X/ω = X/(2πf) = 60/(2π607) = 159nH。

总结
在拥有功能强大的软件和高速、 高性能计算机的今天, 人们会怀疑在解决电路基本问题 的时候是否还需要这样一种基础和初级的方法。 实际上, 一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识, 更应该具有利用各种资源解决问题 的能力。在程序中加入几个数字然后得出结果的确是件容易的事情,当问题的解十分复杂、 并且不唯一时,让计算机作这样的工作尤其方便。然而,如果能够理解计算机的工作平台所 使用的基本理论和原理, 知道它们的由来, 这样的工程师或设计者就能够成为更加全面和值 得信赖的专家,得到的结果也更加可靠。 注: [1] 定义终端接有负载的传输线上任意位置处的反射波电压Ur(d)与入射波电压Ui(d)之比为 电压反射系数,用以表示传输线上反射波的大小。电压反射系数为
。 。

Γ(d) = U r .

.

(d) (d)

=

U

Z L ? Z 0 ? j 2 βd e Z L + Z0

i

Z β为波的相移常数 (传输线传播常数γ=α+jβ的虚部) , 式中ZL为负载阻抗, 0为特性阻抗, d为以负载端为起点,向信源端方向看去的距离。 故负载端处,d=0,反射系数ΓL= (ZL-Z0)/ (ZL+Z0)= Γr+jΓi [2] 为什么说圆周上的点具有相同实部的阻抗?因为在同一个圆上任取两点,它们都具有相 同的半径 1/(1+r),而r是归一化负载阻抗zL=r+jx的实部,所以r相等,既具有相同的实部。 (特性阻抗 [3] 在r=1 的这个圆的圆周上,由于r=ZL/Z0=1,其负载阻抗实部与特性阻抗相等。 “为了减少未知参数的数量,可以固化一个经 Z0为一个实数,而没有虚部。如前文所提及: 常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Z0 (特性阻抗)通常为常数并且是实数,是常用的 归一化标准值。” )但是并不代表负载匹配,因为还有负载阻抗还有虚部,而特性阻抗的虚 部为 0。只有在(0,0)这个点上,反射系数ΓL=Γr+jΓi的实部和虚部都为 0,反射系数ΓL=0, 可知负载完全匹配。


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