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2.3.1 双曲线及其标准方程


东莞市樟木头中学 李鸿艳 目标 重点 难点 掌握双曲线的定义和标准方 程,以及标准方程的推导; 培养学生分析、归纳、推理 等能力 双曲线的定义和双曲线的标准方 程 在与椭圆的类比中获得双曲线的 知识,从而培养学生分析、归纳、 推理等能力 观察动画 ,类比椭圆定义,总结双曲 线定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值(2a) 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。 y 探 究 这两个定点F1、F2叫做 双曲线的焦点,两焦点 间的距离叫做双曲线的 焦距(2c) M F1 O F2 x 思 考 你还记得求椭圆方程时如何建立直角坐标 系吗?那么求双曲线方程怎样建系? 解:如图建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设M(x,y) ||MF1|-|MF2||=2a. 是双曲线上任意一点,则: 即: | ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? y 2 |? 2a ? ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? y 2 ? ?2a 移项平方得: ( x ? c)2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c)2 ? y 2 化简得:a 2 ? cx ? ? a ( x ? c)2 ? y 2 两端平方化简得: (c2 ? a 2 )x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) 2 2 x y ? c ? a 即:c 2 ? a 2 ? 0 ? 2? 2 ?1 2 a c ?a 2 2 x y 设c2 ? a 2 ? b 2 则:2 ? 2 ? 1 a b x2 y 2 ? 所求双曲线的方程为: ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 a b x y 双曲线的标准方程为: ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 a b 2 2 注 意 1、双曲线定义:|MF1|-|MF2|=±2a(若只 为正或只为负,则表示双曲线的一支) 2、c>a>0;c2=a2+b2 (椭圆a2=b2+c2) 3、焦点在x轴上,F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在y轴的双曲线标准方程: y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 a b 1、c2=a2+b2 2、焦点坐标:F1(0,-c),F2(0,c) 例1 已知双曲线的两焦点为(-5,0),(5,0),双曲 线上任一点P到两焦点的距离的差的绝对值等于6, 求此双曲线的标准方程。 解:由已知得:c=5,2a=6,即:a=3 ∴b2=c2-a2=25-9=16 ∴所求的双曲线方程为: 2 2 x y ? ?1 9 16 练习:写出适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) a=2,b=1,焦点在x轴上; (2)两个焦点的坐标分别是(0,-6),(0,6) ,并 且经过点(2,-5) ; (3)焦点坐标分别为(0,-5),(0,5) ,a=4; (4)a+c=10,c-a=4; (5) a ? b ? 6, c ? 2 5 练习:P48 1 、2 例2:已知A、B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在 B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 解:如图,以 A、B所在的直线 A、 为 x轴,以 B两地听到爆炸声的时间差,即可知 AB的中垂线为y轴建 A、B两地与爆炸 点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点 立直角坐标系,由已知可知爆 y 的

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