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人教A版数学必修4课本例题习题改编

2015 版人教 A 版必修 4 课本例题习题改编 1.原题(必修 4 第十页 A 组第五题)改编 1 下列说法中正确的是( ) A.第一象限角一定不是负角 B.-831°是第四象限角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边与始边均相同的角一定相等 解:选 C. -330°=-360°+30°,所以-330°是第一象限角,所以 A 错误;-831°= (-3)×360°+249°,所以-831°是第三象限角,所以 B 错误;0°角,360°角终边与始 边均相同,但它们不相等,所以 D 错误. 改编 2 已知θ 为第二象限角,那么

? 是( 3



A. 第一或第二象限角 C. 第二或四象限角 解:选 D.

B. 第一或四象限角 D. 第一、二或第四象限角

k 360 ? 90 ?? ? k ? 360 ? 180 , k ? z ,? k ? 120 ? 30 ? ?k ? 120 ? 60 , k ? z 3 ? ? n ? n? z ?时 , n ?3 6 0 ? 3 0 ? ? n?3 6 0 ? 1 8 0, n ? , z (1) 当k ? 3 此时 为第一象限角; 3 3 ? ? , 此时 为第二象限 (2)当 k ? 3n ? 1 ?n ? z ? 时, n ? 360 ?150 ? ? n ? 360 ?180 , n? z 3 3 ? ? n?2 n n , ?3 6 0 ? 2 7 0 ? ?3 ? n 6 0 3 0 0, ? 角; (3) 当k ? 3 此时 为第四象限角。 ? ?z ?时 3 3
改编 3 设 ? 角属于第二象限,且 cos B.第二象限

?

?
2

? ? cos

?
2

,则

?
2

角属于(



A.第一象限 解: 2k? ?

C.第三象限

D.第四象限

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 而 cos

?
2

在第一象限;当 k ? 2n ? 1, (n ? Z ) 时,

?
2

在第三象限;

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

? 0 ,?

?
2

在第三象限;答案:C

2.原题(必修 4 第十页 B 组第二题)改编 时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过 14 14 7 7 的弧度数为( ) A. π B.- π C. π D.- π 3 3 18 18 1 解:选 B. 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的 ,用弧度 3 1 14 制表示就是-4π - ×2π =- π .故选 B. 3 3 3.原题(必修 4 第十九页例 6)改编 (1)已知 sin ? (2)已知 sin ? = 解: (1)

?

1 ,且 ? 为第二象限角,求 tan ? ; 3

m (m ? 0, m ? ?1) ,求 tan ? 。
1 ,且 ? 为第二象限角, 3

sin ? ?

?cos? ? ? 1? sin2 ? = ?
(2)

2 2 sin ? 2 。? tan ? ? ?? 3 cos ? 4

sin ? ? m(m ? 0, m ? ?1) , ?? 为 象 限 角 。 当 ? 为 第 一 或 第 四 象 限 角 时 ,

cos ??

1 ? si2n ?=

1 ? m2 , tan ? ?
m 1 ? m2

m 1 ? m2

;当 ? 为第二或第三象限角时,

cos? ? ? 1 ? m2 , tan ? ? ?

,综上, tan ? 的值为

m 1 ? m2

或?

m 1 ? m2

4.原题(必修 4 第十九页例 7)改编 值是( )A. 0 B. 1

若 a sin ? ? cos? ? 1, C. -1

b sin ? ? cos? ? 1, 则ab 的
D.
2

解 : 由 已 知 有 : as i? n? ? 1 ?c obs

? , ? ? s i n ? ;1 两 c式 o s相 乘 得 :

ab sin2 ? ? ?1 ? cos? ??1 ? cos? ?
? 1 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ab ? 1? sin 2 ? ? 0 ? ab ? 1 又 sin ? ? 0
答案:B

5.原题(必修 4 第二十二页习题 1.2B 组第二题)改编 ( ) A. 2 tan x C. ?2 tan x

化简

1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x



B. ?2 tan x

D. 不能确定

? ?2 tan 2 x ? 解:C .原式= ? ??2 tan 2 x ? ?

? ?? ? x ? ? k? ? , k? ? ? 4 4? ? ? 3? ? ? x ? ? k? ? , k? ? ? 4 4 ? ?
已知 tan ? ? 2 , 计算: (1)

6.原题 (必修 4 第二十二页 B 组第三题) 改编
2 2 (2) sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ?

2sin ? ? cos ? ; sin ? ? 2 cos ?

解: (1)原式 ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 1 3 ? ; (2)原式 ? tan ? ? 2 4 sin 2 ? ? cos 2 ?

?

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? tan 2 ? ? 1 5
化简 1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( )

7.原题(必修 4 第二十三页探究)改编 1

A. sin 2 ? cos 2 解:选 C

B. cos 2 ? sin 2

C. sin 2 ? cos 2

D.±cos 2 ? sin 2
2

[) s i n? ( ? 2? ) c o? s( ? 1? 2 s i n ?( ? 2? ) c o ?s ? ( ? 2

2)]

? |sin(? ? 2) ? cos(? ? 2)|=|sin2 ? cos2|
∵sin2 ? 0 , cos2 ? 0 ,∴sin2 ? cos2 ? 0 ,∴ 1 ? 2sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) =sin2 ? cos2 改编 2 设函数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 (其中 a、b、?、? 为非零实数), ) C.8 D.不能确定

若 f (2001 ) ? 5 ,则 f (2010) 的值是( A.5 B.3

解: .B f (2001) ? a sin(2001? ? ? ) ? b cos(2001? ? ? ) ? 4 ? a sin( ? ? ? ) ? b cos( ? ? ? )

? ?a sin ? ? b cos ? ? 4 ? 5 ,??a sin ? ? b cos ? ? 1 ,

f (2010) ? a sin(2010? ? ? ) ? b cos(2010? ? ? ) ? 4 ? a sin ? ? b cos ? ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3
8. 原 题( 必修 4 第 二 十七 页 例 4 )改 编 已知角 x 终 边上的一 点 P ( -4 , 3 ) ,则

?? ? cos ? ? x ? sin ? ?? ? x ? ?2 ? 的值为 ?? ? ?9 ? cos ? ? x ? sin ? ? ? x ? ?2 ? ?2 ?

.

?? ? cos ? ? x ? sin ? ?? ? x ? ? sin x ? sin x ?2 ? ? ? ? tan x ,根据三角 函数的定义,可 知 解: ?? ? ?9 ? sin x ? cos x cos ? ? x ? sin ? ? ? x ? ?2 ? ?2 ?
tan x ? y 3 3 ? ? , 所以原式=- tan x ? x 4 4
函数 y ? log 1 ?cos ? ?
2

9.原题(必修 4 第四十一页练习题 6)改编 间为 解: .

? ?

? x ? ?? ? ? ? 的单调递增区 ? 3 4 ??

? ? x ? ?? ? ? x ? ?? y ? log 1 ?cos ? ? ? ?? ? log 1 ?cos ? ? ?? , ∴ 所 求 的 递 增 区 间 就 是 使 ? 3 4 ?? ? 3 4 ?? 2 ? 2 ?

x ? ? ?x ?? y ? cos ? ? ? 的 值 为 正 值 的 递 减 区 间 , 由 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? z 得 : 3 4 2 ?3 4? 3 3 ? ? ? 6 k ? ? x ? ? ? 6 k ? , k ? z. 4 4
∴ 所 求 的 递 增 区 间 为

3 ? 3 ? ? ? ? 6k? , ? ? 6k? ? ? 4 ? 4 ?

?k ? z?

答案: ? ? ? ? 6k? , ? ? 6k? ? 4 ? 4 ?

? 3

3

?

?k ? z?

10.原题(必修 4 第五十三页例 1)改编 单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2

π 4π ωx+ ?的图象向右平移 个 设 ω>0,函数 y=sin? 3 ? ? 3 ) D.3

π? 4π 解 : 选 C. 函 数 y = sin ? ?ωx+3? 的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 所 得 的 函 数 解 析 式 为 y = 4π π π 4π π 4π x- ?+ ?=sin??ωx+ ?- ω?,又因为函数 y=sin?ωx+ ?的图象向右平移 个单 sin?ω? 3 ? 3? 3? 3 ? 3? ? ? ? ?? 3 4π 3 3 位后与原图象重合,∴ ω=2kπ? ω= k(k∈Z),∵ω>0,∴ω 的最小值为 ,故选 C. 3 2 2 11.原题(必修 4 第五十六页练习题 3)改编 和初相分别为 ______ , ______ 。 解:2

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的振幅为 ______ ,频率 4? ?

1

?

?

?
4
在函数 y ? sin x 、y ? sin x 、y ? sin( 2 x ? ) D. 4 个

12.原题 (必修 4 第六十页例 2) 改编

y ? tan(2 x ?
A. 1 个

2? ) 中,最小正周期为 ? 的函数的个数为( 3
B. 2 个 C. 3 个

2? )、 3

解: y ? sin x 中,利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下,

可知 y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 的最小正周期为 ? ,课本上已有解答;由公式可 知 y ? sin( 2 x ?

? 2? 2? ) 的最小正周期为 ? , y ? tan(2 x ? ) 的最小正周期为 .故答案选 B 2 3 3
1 是关于 x 的 tan ?

13.原题(必修 4 第六十九页复习参考题 A 组第八题)改编 已知 tan ? ,
2 2 方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ?

7 ? ,求 sin ? cos ? ? sin 2 ? 的值. 2

解:

tan ? ?

1 1 7 ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? k ? 2,得 tan ? tan ? 2

tan ? ? 1,则 sin ? cos ? ? sin 2 ? ?

sin ? cos ? ? sin 2 ? tan ? ? tan 2 ? ? ?1。 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ?
已知

14. 原 题 ( 必 修 4 第 七 十 一 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ) 改 编

x 2 ? y 2 ? 1, 则u ?
解:

1 2y ? 的值域为 x2 x

.

x2 ? y 2 ? 1,

1 ? ? x ? sec? ? ? 可设 ? cos ? ? ? y ? tan ? 1 2 tan ? ?u ? ? ? cos 2 ? ? 2sin ? ? ? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 2 sec ? sec? ? ? ? sin ? ? 1? ? 2, 其中 ? 1 ? sin ? ? 1
2

u随 sin ? 的增大而增大。 又 当sin ? ? ?1时,u ? ?2,当sin ? ? 1时,u ? 2
∴所求值域为(-1,2). 15.原题(必修 4 第九十二页习题 2.2B 组第四题)改编 设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 ,

a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为
个. 解:可得

a ? b ? a2 ? b2 ? 2a ? b ? 5

,设该三角形内切圆的半径为 r ,则

(4 ? r) ? (3 ? r) ? 5 ? r ? 1 ,∴对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此
时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现 4 个交点,但不能得到 5 个以上的交点.答案: 4 16.原题 (必修 4 第一百零二页习题 2.3B 组第四题) 改编 1 设 Ox 、 Oy 是平面内相交成 60
0

角的两条数轴, 若向量 OP ? xe1 ? ye2 , e1 、 e2 分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量, 则把有序数对 ( x, y ) 叫做向量 OP 在坐标系 xOy 下的坐标。假设 OP ? 3e1 ? 2e2 , (1)计算 (2)由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理? | OP | 的大小; 解: (1) | OP |? 19 ; (2)对于任意向量 OP ? xe1 ? ye2 , x , y 都是唯一确定的,分解 唯一,所以向量的坐标表示的规定合理。 改编 2 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 90 .点 C 在以 O 为圆心的

圆弧 AB 上变动,若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,则 xy 的范围是________. 解 : 由

OC ? xOA ? yOB ? OC ? x 2 OA ? y 2 OB ? 2 xyOA ? OB

2

2

2

,



OC ? OA ? OB ? 1, OA ? OB ? 0

2 2 ,∴1 ? x ? y ? 2 xy ,得

xy ?

1 2 ,而点 C 在以 O 为圆心的

圆弧 AB 上变动,得 x, y ? [0,1] ,于是 改编 3

0 ? xy ?

1 2.

如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 向量 OP ? (11) , ,将数轴 Oy 绕着 O 点顺时针旋转 30 0

到 Oy ? ,设 e1? , e2? 分别是与 Ox 轴、Oy ? 轴正方向同向的单位向量,若向量 OP? ? e1? ? e2? ,求

cos ?POP? 的值.
解:由已知,

OP ? i ? j.(i, j是x轴,y轴正方向上的单位向量,且i =e1?)

y

y?
P

OP ? OP? ? (i ? j ) ? (e1? ? e2? ) ? i ? e1? ? j ? e1? ? i ? e2? ? j ? e2?
O

P?
x

1 3 ? 1+0+ + 2 2
=
∵ OP ?

3+ 3 2
2, OP? ? (e1? ? e2? ) 2 ? 3

3? 3 6? 2 2 ∴ cos ?POP? ? cos?OP, OP?? ? ? ? 4 2? 3 OP OP? OP ? OP?
17.原题 (必修 4 第一百零五页例 4) 改编 已知 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? , ka ? b ? 3 a ? kb (k>0) (1)求证: a ? b ? a ? b ; (2)将 a与b 数量积表示为关于 k 的函数 f(k) ; (3)求 f(k) 的最小值及相应 a , b 夹角θ 解: (1)

?

? ?

?

a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ?

? ? ? ? ?? a ? b ? ? ? a ? b ?

? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ? b ? 0

2

2

2

2

(2)

ka ? b ? 3 a ? kb ? ka ? b
k 2 ?1 1? 1? 故f ? k ? ? ? k ? ? 4k 4? k? 1 1 ? k 2

?

?

2

? 3 a ? kb

?

?

2

?a ? b ?

? k ?0?
1 k

( 3 ) ? f ?k ? ? 4? 2 k ?

当k ?

? k ?0?

k ?1 时,取等号,此时,

cos ?

a ?b a b

?

1 ,又∵ o ? ? ? ? 2

?? ? 60 )

18.原题 (必修 4 第一百零六页练习 2) 改编 1 已知△ABC 中, 向量 AB ? ( x, 2x), AC ? (3x, 2) , 且∠BAC 是锐角,则 x 的取值范围是 。

解:本题容易忽视向量 AB, AC 方向相同的情况。由 ? 围是 (??, ? ) ? (0, ) ? ( , ??) .

? ?

AB AC ? 0

? ? AB ? ? AC (? ? 0)

可得 x 的取值范

4 3

1 3

1 3

改编 2 已知△ABC 中,向量 AB ? ( x, 2x), AC ? (?3x, 2) ,且∠BAC 是钝角,则 x 的取值范 围是 。

解:本题容易忽视向量 AB, AC 方向相反的情况。由 ? 围是 (??, ? ) ? (? , 0) ? ( , ??) .

? ?

AB AC ? 0

? ? AB ? ? AC (? ? 0)

可得 x 的取值范

1 3

1 3

4 3

19.原题(必修 4 第一百零八页习题 2.4B 组第四题)改编 1 圆上, AB ? AC 的值 ( )

如图,在圆 C 中,点 A, B 在

(A)只与圆 C 的半径有关;(B)只与弦 AB 的长度有关 (C)既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 (D)是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 解:答案为 B。

改编 2 如图 2,在半径为 r 的定圆 C 中,A 为圆上的一个定点,B 为圆上的一个动点,那么
?? ? ?? ?

AB ? AC 的 值 可 由 下 列 哪 些 量 唯 一 确 定 。 请 写 出 所 有 满 足 题 意 的 选 项 的 序 号
②. 弦 AB 的长 ③. ?BAC ④. ?BCA

_________________.①. r

?? ? 2

解:根据数量积的意义, AB? AC ? AB AC cos?BAC ?
?? ?

? ?? ? ??

? ?? ? ??

AB 2



C

r
r R (图 2)
?? ? ?? ?

故②正确;而 AB ? 2r cos?BAC ,故③正确;在 ?ABC 中根据余弦定理可求得 A
? ?? 2

B

AB ? r 2 ? r 2 ? 2r ? r cos?BCA ,故④正确。答案:②③④

改编 3

AB ? AC 如图 2, 在半径为 r 的定圆 C 中, A 为圆上的一个定点, B 为圆上的一个动点,
?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

的取值范围为_________________.
2 ? AB ? AC ? 0 ; 解: 当 B 点和 A 点重合时 AB ? 0 , 当 AB 为圆的直径时 AB ? AC ? 2r ,

答案: 0,2r 2

?

?
?? ? ?? ?

改编 4 如图 4,在半径为 r 的定圆 C 中,A 为圆上的一个定点,B 为圆上的一个动点,若
?? ?

AB ? AC ? AD ,且点 D 也圆 C 上,则 AB ? AC ? _________________.

?? ?

?? ?

(图 4) A 解:根据向量加法的平行四边形法则,四边形 ABCD 为平行四边形, 而 CD ? AC ? BC ? AB ? r ,? ?ABC 为正三角形? AB ? AC ?
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?
?? ? ?? ?

r
r R

C D

B r2 r2 ,答案: 2 2

改编 5 如图 5,在半径为 r 的定圆 C 中,A 为圆上的一个定点,B 为圆上的一个动点,若

AC? CB ? AC? CB ,则 AB ? AC ? _________________.
C

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

r
(图 5) A 解: 由 AC? CB 改编 6
? ?? ? ?? 2 ? ?? ? ?? 2
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

r R

B

2 2 得 AC ? CB ? 0 ,? AC ? CB ? AB ? AC ? r , 答案:r ? AC? CB ,

?? ? ?? ?

如图,在半径为 r 的定圆 C 中,A 为圆上的一个定点,B 为圆上的一个动点。若点 D
?? ? ?? ? ?? ?
?? ? ?? ?

也圆 C 上,且 CA, CB, CD 两两所成的角相等,则 AB ? AC ? _________________.

D

C

r
(图 6) A r R

B

解: ? CA, CB, CD 两两所成的角相等,? CA, CB, CD 两两所成的角为零角或 1200 角,且

?? ? ?? ? ?? ?

?? ? ?? ? ?? ?

CA ? CB ? CD ? r ,易知 AB ? AC ? 0 或
改编 7

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

3r 2 3r 2 ,答案:0 或 2 2

如图, 在半径为 r 的定圆 C 中, A 为圆上的一个定点, B 为圆上的一个动点。 若点 A、
?? ? ?? ? ?? ?
?? ? ?? ?

B、C 不共线,且 AB? t AC ? BC 对 ?t ? ?0,??? 恒成立,则 AB ? AC ? ______________. 解:根据数乘向量与向量减法的意义,点 D 在射线 AC 上,

? AB ? t AC ? DB ,由 DB ? BC 恒成立,则 AC ? CB ? AB ? AC ? r
答案: r
2

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

2

D A

r

C B

(图 7)

20.原题(必修 4 第 113 页复习参考题 B 组第三题)改编 已知对任意平面向量 AB=(x,y), 把向量 a,b 绕其起点沿顺时针方向旋转 a 角得到向量 AP=(xcosa-ysina,xsina+ycosa) , 叫做把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转 a 角得到点 P。已知平面上的点 A(1,2) ,点 B(3,4) , 把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 45°后得到点 P,则向量 BP 的坐标为________. 解:AB 向量坐标为(2,2) ,旋转后得到 AP 向量坐标为(2 2,0) ,所以 P(2 2+1,2) 故 BP 向量坐标为(2 2-2,2) 21.原题(必修 4 第一百二十页复习参考题 B 组第五题)改编 → → → → 点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之比是( A. 1 3 1 B. 2 2 C. 3 D. 3 4 在△ABC 所在的平面内有一 )

→ → → → → → → → → → 解:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以点 P 是 CA 边上的三等分 点,如图所示.故

S△PBC PC 2 = = . S△ABC AC 3
如图,已知

22. 原 题 ( 必 修 4 第 一 百 二 十 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ) 改 编

OA ? a, OB ? b,| a |? 2,| b |? 3, 任意点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点
为 N,点 C 为线段 AB 中点,则 MN ? OC ? ____________. 解: OM ? OS ? 2OA , ON ? OS ? 2OB

M N A C B

? MN ? ON ? OM ? 2(OB ? OA)
又 OC ?

1 OA ? OB 2
O S

MN ? OC ? (OB ? OA) ? (OB ? OA) ? OB ? OA ? 5
故答案为 5 23. 原 题 ( 必 修 4 第 一 百 二 十 七 页 例 2 ) 改 编 已 知

2

2

4 c o ?s ? ? 5 ? ?

?? ,? ?
3 ? 2 ?

? ?

3 ? ,? ? 2 ?

1 ?? ? ? ? ?,? 。 , , t ? ? a ?n ? ? ? 求,cos ? ? ? 3 ? 2 ?
4 3 , ? sin ? ? ? 。 5 5

解: ? ? ? ? , ? ? , cos ? ? ?

1 3 10 10 ?? ? 。 ,sin ? ? ? ? ? , ? ? , tan ? ? ? , ? cos ? ? ? 3 10 10 ?2 ?

3 10 ? 3 ? 10 3 10 ? 4? 。 ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? (? ) ? ? ? ?? ? 10 10 ? 5? ? 5 ? 10
2 24.原题 (必修 4 第 137 页 A 组第十题) 已知:tan ? ,t an ? 是方程 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,

试求 tan( ? ? ? ) 的值.
2 改编 已知: tan ? , t an ? 是方程 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,

求 sin 2 (? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2 的值。 解:由题意有 tan? ? tan? ? 8 , tan? tan ? ? ?3 , ∴ tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 8 ? ? 2, 1 ? tan? tan ? 1 ? (?3)

∴ sin (? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2
2

?

sin 2 (? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 2[sin2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )] sin 2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 3 tan2 (? ? ? ) ? 3 tan( ? ? ? ) ? 2 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 2 8 ? ? . tan2 (? ? ? ) ? 1 22 ? 1 5
化简: 2 1 ? sin 4 ? 2 ? 2cos 4 的结果

?

25.原题(必修 4 第一百三十九页例 1)改编

是 解:2sin2

.

26.原题(必修 4 第 147 页复习参考题 B 组第七题)改编

如图,正方形 ABCD 的边长为 1,

P、Q 分别为 AB、DA 上的点,当∠PCQ= 450 时,求△APQ 的周长. 解:设 ?DCQ ? ? , ?BCP ? ? , DQ ? x, BP ? y 则 tan ? ? x, tan ? ? y, ? ? ? ? 450 D

C

tan(? ? ? ) ?

x? y ?1 1 ? xy

Q

∴ x ? y ? 1 ? xy ∴△APQ 的周长为 AP+AQ+PQ A B P

? 1 ? x ? 1 ? y ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 ? 2 ? ( x ? y ) ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 2( x ? y ) ? 2 ? ( x ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 2 xy

? 2 ? ( x ? y) ? ( x ? y)
=2 27. 原 题 ( 必 修 4 第 一 百 四 十 七 页 复 习 参 考 题 B 组 第 六 题 ) 改 编 若函数

? f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? m 在区间 [0, ] 上的最小值为 3,求常数 m 的值及此函数当 2
x ?[a, a ? ? ] (其中 a 可取任意实数)时的最大值.
解 :

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 , x ? [0, ] 时 , 6 2 ? ?7 ? ? 1 2x ? ? [ , , sin(2 ] x ? ) ? [? ,1] ,? m ? 3 ,由于 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 6 6 6 6 2

?

?

当 a 取任意实数时, f ( x ) 区间 [a, a ? ? ] 上的最大值是 6.


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