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第二讲 培优竞赛一元二次方程根的判别式及根与系数的关系


九年级数学上 第 1 页 共 1 页 第一讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 培优竞赛辅导 知识点: 1、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的判别式为:△=, 当 ? ? 0 时,方程有两个的实数根;当 ? ? 0 时,方程有两个的实数根; 当 ? ? 0 时,方程实数根。 反之:方程有两个不相等的实数根,则;方程有两个相等的实数根,则; 方程有两个实数根,则;方程没有实数根,则。 2、一元二次方程的根与系数的关系 2 2 2 若一元二次方程方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 即 x1= ?b ? b ? 4ac ,x2= ?b ? b ? 4ac ,那 2a 2a 么: x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,此结论称为”韦达定理”,其成立的前提是 ? ? 0 . 特别地: ① 如果一元二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根是 x1和x 2 ,则 x1 ? x2 ? , x1 ? x 2 ? 。 ② 以 x1和x 2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x2 ? 0 ③ 在一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 中,有一根为 0,则 c ? ; 有一根为 1,则 a ? b ? c ? ;有一根为 ? 1 ,则 a ? b ? c ? ; 若两根互为倒数,则 c ? ;若两根互为相反数,则 b ? 。 常用公式:(1) x1 2 2 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 ? x2 (2) ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2 ; x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ?? ? 0 ? (3)①方程有两正根,则 ? x1 ? x2 ? 0 ; ?x ? x ? 0 ? 1 2 ③方程有一正一负两根,则 ? 典型例题: ?? ? 0 ? ②方程有两负根,则 ? x1 ? x2 ? 0 ; ?x ? x ? 0 ? 1 2 ?? ? 0 ?? ? 0 ;④方程一根大于 1 ,另一根小于 1 ,则 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 例 1:如果关于 x 的一元二次方程 kx2- 2k ? 1 x+1=0 有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是 ( A.k< 例 2: ) 1 1 B.k< 且 k≠0 2 2 C.- 1 1 ≤k< 2 2 D.- 1 1 ≤k< 且 k≠0 2 2 已知方程x 2 ? 3x ? 1 ? 0的两实数根为?、?,不解方程求下列各式的值。 九年级数学上 第 2 页 共 2 页 (1)? 2 ? ? 2 ;(2 )? 3 ? ? ?? 3 ;(3) ? ? ? ; ? ? ( 4 )?? ? 1??? ? 1?;(5)? ? ?;(6)3? 2 ? 4? 2 ? 3? 例题 3:已 知 关 于 x 的 方 程 mx — ( 2m+ 1) x+ 2 = 0 . (1)求 证 : 无 论 m 取 何 实 数 时 , 原 方 程 总 有 实 数 根 ; (2)若 原 方 程 有 两 个 实 数 根 x 1 和 x 2 , 当 x1 ? x2 ? 5 时 , 求 m 的 值 (3)若 原 方 程 有 两 个 实 数 根 , 能 否 存 在 一 个 根 大 于 1

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