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2014-2015学年第二学期高一数学期中试卷

2014-2015 学年第二学期高一数学期中试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1、直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角是 2、不等式 的解集为

3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a5 ? a8 ?

?x ? y ? 6 ? 0 ? , 表示的平面区域的面积为 4、不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?
5、在△ABC 中,A=60°,B=45°,b= 2 ,则 a= 6、已知点 (3, 1) 和 (?4, 6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 7、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , ab ? 60, 面积S?ABC ? 15 3 , ?ABC 外 接圆半径为 3 ,则 c ? ____________ 8、若不等式|x+1|+|x?3|≥a 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围____________ 9、在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cos C 的值为 10、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , 值为_____________ 11、若钝角三角形的三边长是公差为 1 的等差数列,则最短边的取值范围是___________ 12、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为

a ? a10 1 的 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 2 a7 ? a8

13、锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? 2 A ,则 是 14、已知等比数列 {an } 中 a1 ? 1 , a4 ? 8 ,在 an 与 an ?1 两项之间依次插入 2 的前 2013 项之和 S2013 ?

b 的取值范围 a
个正整数,

n ?1

得到数列 {bn } , 即:a1 ,1, a2 , 2,3, a3 , 4,5,6,7, a4 ,8,9,10,11,12,13,14,15, a5 , ??? . 则数列 {bn } 二、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 、 已 知 (1)求角 (2)若 = ; ,且 求 的面积. 是斜三角形,内角 . 的对边分别为 .若

16、已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 1 .?bn ? 为等比数列,数列 ?an ? bn ? 的前三项依次 为 3, 7,13 .求 (1)数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n 17、 如图, 在 ?ABC 中,?ABC ? 90 ,AB ? 4 ,BC ? 3 , 点 D 在线段 AC 上, 且 AD ? 4 DC . (1)求 BD 的长; (2)求 sin ?CBD 的值. A

D B C

18、制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某投资 人打算投资甲、 乙两个项目. 根据预测, 甲、 乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%。投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可 能的资金亏损不超过 1.8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的 盈利最大? 19、已知 f ( x) ? ?3x2 ? a(5 ? a) x ? b (1)当不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1,3) 时,求实数 a , b 的值; (2)若对任意实数 a , f (2) ? 0 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)设 b 为常数,解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 .

20、已知数列 {a n }中, a1 ?

1 , 点(n,2a n ?1 ? a n )( n ? N * )在直线 y ? x上, 2 (1)计算 a2 , a3 , a4的值;
(2)令 bn ? an?1 ? an ? 1, 求证 : 数列 {bn } 是等比数列; ( 3 )设 S n 、 Tn 分别为数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和,是否存在实数 λ ,使得数列

{

S n ? ?Tn } 为等差数列?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. n

高一数学期中试卷参考答案
2015.4 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1、

5 7 ? 2、 (-2,1) 3、 4、365、 3 6 2
1 10、 3 ? 2 2 4

4] 9、 ? 6、 ?7 ? a ? 24 7、3 8、(??,
11、(1,3) 12、 a n ? ?

? 3 2? n ?2

n ?1 13、 ( 2, 3) 14、2007050 n?2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(本小题满分 14 分) 解: (I)根据正弦定理 ,可得 ,可得 得 , ………………6 分 , ,………………4 分

(II) , 为斜三角形, 由正弦定理可知 由余弦定理 由(1) (2)解得 …………12 分 …………14 分 , ,………………8 分

……(1)……10 分 …..(2)

.

16.(本小题满分 14 分)

解: (1)设数列 ?an ? 公差为 d , ?bn ? 公比为 q

? a1 ? 1 ?a ? b ? 3 ? 1 1 由? ? a1 ? d ? b1q ? 7 ? a ? 2d ? b q 2 ? 13 ? 1 1

? a1 ? 1 ?b ? 2 ? 1 得? 所以 an ? 2n ?1, d ? 2 ? ? ?q ? 2

bn ? 2n

…………………8 分

(2) Sn ? (a1 ? a2 ?

? an ) ? (b1 ? b2 ? ? bn ) ?

1 ? 2n ? 1 2(1 ? 2n ) n? ? n 2 ? 2n ?1 ? 2 2 1? 2
………………14 分

17、(本小题满分 15 分) (1)由题可得 AC=5

4 ? AD=4,cosA= ………………3 分 5 32 AD· cosA= ………………7 分 ? BD2=AB2+AD2-2AB· 5 CD BD ? (2)? ………………10 分 sin ?CBD sin C
1 ? ? sin ?CBD 32 5 , 4 5

? sin ?CBD ?

10 ………………15 分 10

18、(本小题满分 15 分) 解:设投资人分别用 x、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知:

……………4 分

目标函数

……………6 分

上述不等式组表示的平面区域如下图所示,阴影部分(含边界)即可行域.

…………10 分 当直线 过点 M(4,6)时 Z 取得最大值 7 万元. ……………13 分

故对甲项目投资 4 万元、乙项目投资 6 万元,才能使可能的盈利最大为 7 万元 ……15 分 19. (本小题满分 16 分) ⑴ f ( x) ? 0 即 ? 3x2 ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ 3x ? a(5 ? a) x ? b ? 0 ∴ ?
2

?3 ? a(5 ? a) ? b ? 0 ?27 ? 3a(5 ? a) ? b ? 0

?a ? 2 ?a ? 3 或? (若用根与系数关系也算对) ………5 分 ?b ? 9 ?b ? 9 2 ⑵ f (2) ? 0 ,即 ? 12 ? 2a(5 ? a) ? b ? 0 即 2a ? 10a ? (12 ? b) ? 0 1 ∴ ? ? 0 恒成立? b ? ? ………9 分 2 2 2 ⑶ f (1) ? 0 即 a ? 5a ? b ? 3 ? 0 ,∴△= (?5) ? 4(?b ? 3) ? 13 ? 4b ………10 分 13 10 当 ? ? 0 即 b ? ? 时, a ? R 4 13 5 20 当 ? ? 0 即 b ? ? 时,解集为 ?a | a ? ,a ? R } 2 4 13 5 ? 4b ? 13 5 ? 4b ? 13 30 当 ? ? 0 即 b ? ? 时,解集为{ a a ? 或a ? }………16 分 4 2 2
∴? 20. (本小题满分 16 分) 解: (1)由题意, 2a n ?1 ? a n ? n, a1 ?

1 , 2a 2 ? a1 ? 1, 2

3 a2 ? . 4

11 35 , a4 ? , 8 16 (2)因为 2an?1 ? an ? n,
同理 a 3 ? 所以 bn ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ?

………………… 3 分

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 ? a n ?1 ? 1 ? , 2 2

bn?1 1 ? …………6 分 bn 2 3 3 1 又 b1 ? a 2 ? a1 ? 1 ? ? , 所 以 数 列 ?bn ? 是 以 ? 为 首 项 , 为公比的等比数 4 2 4 bn ? an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? (2an?1 ? n) ? 1 ? n ? an?1 ? 1 ? 2bn?1 ,
列. …………8 分
3 1 ? ? (1 ? n ) 4 2 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 ? 3 . ……… 10 分 1 2 2 1? 2

(3)由(2)得, b ? ? 3 ? ( 1 ) n?1 ? ?3 ? ( 1 ) n ?1 , T ? n n 4 2 2 又 a n ?1 ? n ? 1 ? bn ? n ? 1 ? 3 ? ( ) 所以 S ? n(n ? 1) ? 2n ? 3 ? 2 n
2 1 ? (1 ?

1 2

n ?1

1 , 所以 a n ? n ? 2 ? 3 ? ( ) n , 2

由题意,记 c n ?

S n ? ?Tn .要使数列 {cn }为等差数列 , 只要cn ?1 ? c n为常数. n
(

1 ) 2 2 n ? n ? 3n ? 3 ? 3 . …………… 12 分 1 2 2n 1? 2

n 2 ? 3n 3 1 3 1 ? 3 ? n ) ? ?[3 ? ( ) n ?1 ? ] 1? n S n ? ?Tn n ? 3 3 2 2 2 ? 2 2 . cn ? ? ? (3 ? ? ) ? n n 2 2 n 1 1 ? n?1 n?4 3 2 cn?1 ? ? (3 ? ? ) ? , 2 2 n ?1 1 1 1 ? n 1 ? n?1 1 3 2 ). ………… 15 分 cn ? cn?1 ? ? (3 ? ? ) ? ( 2 ? 2 2 n n ?1
故当 ? ? 2时, c n ? c n ?1 ?



S ? ?Tn 1 为常数,即数列 { n }为等差数列 . ………… 16 分 2 n