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河北省衡水中学2010届高三上学期第三次调研考试(数学)

衡水中学 09—10 学年度第一学期第三次调研考试 高三年级数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2 页。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1、 含有三个实数的集合可表示为{a,1, 为( ) A. 0 B.1 C . -1 D. ±1

b 2010 ? b 2010 的值 },也可表示为{a+b,0,a2},则 a a

2、已知集合 A ? {(x , y )

y ? 1 ? x 2 , x ? Z } ,B ? {(x , y ) y ? x 2 ?1, x ? A},则

A ? B 为(



A .?
3、定义;称

B . [ 0? .? )

C .{1}

D. { ( 0 , 1 ) }

n 为 n 个正数 P1 , P2 ,...Pn 的“均倒数” 。若数列 {an } 的前 n 项的 P1 ? P2 ? ... ? Pn
1 ,则数列 {an } 的通项公式为( 2n ? 1
B. 4 n? 1 C .4n ? 3


“均倒数”为

A .2n ? 1

D . 4n ? 5

4、已知数列{ an }中, a1 = 公式为 A. a n ? C. a n ?

1 1 , a n ?1 ? a n + 2 (n ? N ? ) ,则数列{ an }的通项 2 n ? 3n ? 2 n n ?1 n ?1 D. an ? n ?2
B. an ?

1 n ?1
1 n ?1 ? 2 2 n ?n?2

5、已知函数 f ( x) ? loga (2 ? ax) 在区间[0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. [2, ?? )

6、数列 {an } 的前n项的和 S n ? pn 2 ? qn ( p ? 0, n ? 1, n ? N * ) ,则当 p ? 0 时,下列不 等式中成立的是 A. na1 ? S n ? nan C. Sn ? na1 ? nan ( ) B. nan ? Sn ? na1 D. nan ? na1 ? Sn )

7、满足条件 ?a, b? ? A ? ?a, b, c?的所有集合 A 的个数是(

A.5

B.4

C.3

D.2

8、对于任意 k ? [?1,1] ,函数 f (x ) ? x 2 ? (k ? 4)x ? 2k ? 4 的值恒大于 0,则 x 的范 围是( )

A .x ? 0

B .x ? 4

C .x ? 1或x ? 3

D .x ? 1

9 、 已 知 函 数 y=f(x) 和 y=g(x) 在 [-2,2] 上 的 图 像 如 图 所 示 , 给 出 下 列 四 个 命 题

①方程 f[g(x)]=0 有且仅有 6 个根②方程 g[f(x)]=0 有且仅有 3 个根③方程 f[f(x)]=0 有 且仅有 5 个根④方程 g[g(x)]=0 有且仅有 4 个根,其中正确的命题个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

?x 10、 设函数 f ( x) ? 2 , 函数 g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称, 函数 h( x)

的图像由 g ( x) 的图像向左移 1 个单位得到,则 h( x) 为( A. ? log2 ( x ? 1) B. ? log2 ( x ? 1) C. log2 (? x ? 1)

) D. log2 (? x ? 1)

11、已知 a, b , a ? b 为等差数列, a , b , ab 为等比数列,且 0 ? logm (ab ) ? 1 ,则 m 的范 围是( )

A .m ? 1

B .m ? 8

C . 1? m ? 8

D .0 ? m ? 1或m ? 8

12、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

(

) A.-1 B. 0 C.1 D. 2

衡水中学 2009-2010 学年度第一学期第三次调研考 试 高三数学试卷
卷Ⅱ(非选择题
共 90 分)

注意事项:1.答卷Ⅱ前考生务必将自己的姓名、班级、考号填在试卷密封线内规定的地方。 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、函数 y ?

lg(2 ? x) 12 ? x ? x
2

? ( x ? 1) 0 的定义域是___________
2 5
2n ?2

14、若数列 {an } 的通项公式为 an ? 5( ) 最小项为第 y 项,则 x+y= 15 、 设 f ?x ? ?

2 ? 4( ) n ?1 ( n ? N * ) ,{an } 的最大项为第 x 项, 5

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f ?? 5? ? f ?? 4? ? ? ? ? ? ? ? f ?0? ? ? ? ? ? ? f ?5? ? f ?6? 的值为_____________
16 、 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f (x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ...... ? f (2010) ? __________
三、解答题: 17、 (本题 10 分)已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集是 M . x 2 ?a

(1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M 且 5 ? M ,求实数 a 的取值范围。

18 、 ( 本 题 12 分 ) 在 等 差 数 列 ? an ? 中 , a1 ? 1, 前 n 项 和 S n 满 足 条 件

S 2 n 4n ? 2 ? ,n ?N * Sn n ?1
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? an ? p n ( p ? 0) ,求数列 {bn } 的前 n 项和T n 。
a

19、 (本题 12 分)已知 f (x ) ? (1)求 f ( x ) 及 f
?1

a ? 2x ? 1 是定义在 R 上的奇函数, 2x ? 1

(x ) 的表达式。
?1

(2)若当 x ? (?1,1) 时,不等式 f 围

(x ) ? log

2

1? x 恒成立,试求实数 m 的取值范 m

20、 (本题 12 分)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2, nan ?1 ? S n ? n (n ? 1) 。 (1)求 an , S n ;

(2)设 b n ?

Sn ,如果对一切正整数 n 都有 b n ? t ,求 t 的最小值。 2n

2 21、 (本题 12 分)已知集合 P ? [ ,2] ,函数 y ? log2 (ax ? 2x ? 2) 的定义域为 Q ,

1 2

(1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;
2 (2)若方程 log2 (ax ? 2x ? 2) ? 2 在 [ , 2 ] 内有解,求实数 a 的取值范围

1 2

22 、 (本题 12 分)已知数列 {an } 是等比数列, a4 ? e ,如果 a2 , a7 是关于 x 的方程: ( e 是自然对数的底数) ex 2 ? kx ?1 ? 0,(k ? 2 e ) 的两个实根, (1)求 {an } 的通项公式; (2)设: bn ? ln an , S n 是数列 {bn } 的前 n 项的和,当 S n ? n 时,求 n 的值; (3)对于(Ⅱ)中的 {bn } ,设 c n ? bnbn ?1bn ?2 ,而T n 是数列 {c n } 的前项的和,求T n 的最 大值,及相应的 n 的值。

答案
1-5:BDCBB
13、 {x

6-10:BBCDB

11-12: CC
15、 3 2 16 0

? 3 ? x ? 2且x ? ?1} 14、3

三、解答题: 17、(本题 10 分)

4x ? 5 ? 0 ,所以 (4x ? 5)(x 2 ? 4) ? 0, 且x ? ?2 x2 ? 4 5 解之,得: M ? (?? ,?2) ? [ ,2) -----------------------------4 分 4 3a ? 5 ? 0 ,-----------------------------6 分 (2)由 3 ? M 得, 9?a 5a ? 5 ? 0 --------------------------------------8 分 由5? M 得 25 ? a 5 所以得 a ? (1, ] ? (9,25) -----------------------------------10 分 3
解析: (1)当 a ? 4 时 18.解: (1)设公差为 d,由

S 2 n 4n ? 2 a ?a ? , 得 1 2 ? 3 -------------2 分 Sn n ?1 a1

因为 a1 ? 1, 所以a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 。 所以 an ? n 。------------------------------------------------------------------4 分 (2)由(1)得 bn ? np n 所以当 p=1 时T n ?

n (n ? 1) ;---------6 分 2

当 p ? 1 时,T n ? p ? 2 p 2 ? 3p 3 ? ...... ? np n ①

pT n ? p 2 ? 2 p 3 ? 3p 4 ? ...... ? (n ?1) p n ? np n ?1 ②-----------8 分
p (1 ? p n ) np n ?1 ①-②得T n ? --------------------------- 10 分 ? (1 ? p ) 2 1? p

? n (n ? 1) ? ? 2 所以T n ? ? n n ?1 ? p (1 ? p ) ? np 2 ? 1? p ? (1 ? p )
19、

( p ? 1)
----------------------12 分

( p ? 1)

解: (1)因为 f ( x) 是奇函数,且在 x=0 处有意义,所以 f(0)=0,

a ?1 2x ?1 ? 0, 即 解得 a=1,- 所以 f ( x) ? x -------------------------------------------------------2 分 2 2 ?1
设y?

2x ?1 1? y 1? y x x x ? 0 得-1<y<1,--------------4 分 ,则 y2 ? y ? 2 ? 1 ,即 2 ? ,由 x 1? y 1? y 2 ?1
1? x 1? y ,所以 y ? log 2 ,-(-1<x<1) 1? x 1? y

又 x ? log2 ,即 f
?1

1? x , (-1<x<1.)------------------------------------------------------------------6 分 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x 2 ? log 2 ?( ) ,----------------------------------------------8 分 (2)log 2 即 1? x m 1? x m ( x) ? log 2
得 m ? 1 ? x , ,所以不等式 m 2 ? (1 ? x 2 )max , ----------------------------------------------------10
2 2

分 由 x ? (?1,1) 知则 m ? 1 。 --------------------------------------------------------------------------------12 分 20、 解: (1) nan ?1 ? S n ? n (n ? 1) ① ②

(n ? 1)an ? S n ?1 ? (n ? 1)n
①- ②得

(n ? 2)

nan ?1 ? (n ?1)an ? an ? 2n ( n ? 2 )
所以, an ?1 ? an ? 2 ( n ? 2 )又因为 a1 ? 2, a2 ? S 1 ? 2 ? 4

所以 a2 ? a1 ? 2 。综上, an ? 2n , --------------------------------------------------------------------4 分 代入已知的 nan ?1 ? S n ? n (n ? 1) 中,得 S n ? n 2 ? n ---------------------------------------------6 分

(2) b n ?

n (n ? 1) 2n (n ? 1)(n ? 2) n (n ? 1) (n ? 1)(2 ? n ) b n ?1 ? b n ? ? ? ---------------------------------------------8 2n ?1 2n 2n ?1

分 所以 b2 ? b 3, 当 n ? 3 时 bn ?1 ? bn , ---------------------------------------------------------------------10 分

3 3 所以最大值为 b 2 ? b3 ? , 2 2 3 3 又因为对于一切正整数 n 都有 b n ? t ,所以 ? t 。T 的最小值为 。-----------------------12 2 2
又因为 b1 ? 1, b 2 ? b3 ? 分 21、
2 解: (1)若 P ? Q ? ? ,则在 x ? [ ,2] 内,至少有一个值 x 使得 ax ? 2 x ? 2 ? 0 成立,

即在 x ? [ ,2] 内,至少有一个值 x 使得 a ?

?2 2 ? 成立,-----------------------2 分 x2 x 2 2 1 1 2 1 1 1 设 ? ? ? 2 ? ? ?( ? ) ? ,当 x ? [ ,2] 时, ? ? [?4, ] -------------4 分 x x 2 2 2 2 x 1 2

1 2

? a ? ?4

{a | a ? ?4} 所以实数 a 的取值范围是:

--------------------------------6 分
2

2 (2)方程 log2 (ax ? 2x ? 2) ? 2 在 ? ,2? 内有解,则 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有 2 2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

解.

1 2 2 ? 成立,----------------------------8 分 2 x2 x 2 2 1 1 1 ? ? 2 ? ? 2( ? ) 2 ? x x 2 2 x 1 3 3 当 x ? [ ,2] 时, ? ? [ ,12 ] ,? a ? [ ,12 ] ---------------------------------10 2 2 2
即在 x ? [ ,2] 内有值 x 使得 a ? 分 所以实数 a 的取值范围为: a ? [ ,12 ] --------------------------------------12 分 22、 解析: (I)由于 a2 , a7 是已知方程的两根,所以有: a2 a7 ?
?3

3 2

1 1 6 ,即 a1qa1q ? ,--------1 分 e e

而: a4 ? e 得 a1q3 ? e 两式联立得: q ? e -------------------------------------------------------2 分

所以 an ? a4qn?4 ? e13?3n 故得数列 ?an ? 的通项公式为:

an ? e13?3n .-------------------------------------------------------------------4 分
(Ⅱ) bn ? ln an ? ln e13?3n = 13 ? 3n ,所以数列 ?bn ? 是等差数列,由前 n 项和公式得:

Sn ?

(10 ? 13 ? 3n) n ? n ,得 23 ? 3n ? 2 ,所以有 n ? 7 .-------------------------------------7 分 2

(Ⅲ)由于 bn ? 13 ? 3n 得:b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ? b5 ? b6 ??? 又因为 cn ? bnbn?1bn?2 所以有:

c1 ? b1b2b3 ? 0 ,c2 ? b2b3b4 ? 0 而 c3 ? b3b4b5 ? 0 ,c4 ? b4b5b6 ? 0 ,c5 ? b5b6b7 ? 0
且当 n ? 5 时都有 cn ? 0 ,但是, c3 ? ?8 , c4 ? 10 即: c3 ? c4 所以只有当 n ? 4 时,

Tn 的值最大,此时 Tn ? max ? ? 280 ? 28 ? 8 ?10 ? 310 --------------------------------------12



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