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2014年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题(word版)


2014 年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题 (6 月 29 日 8:30 至 11:00)

一.填空题(共 8 小题,每小题 8 分,计 64 分) 1.如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项的最小值是



2.已知 sin ? ? cos ? ?

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? ? 2



3.将 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 这十个数排成一个数列,使得每相邻两项之和皆是质数,并且 首尾两项之和也是质数,你的填法是: ( ) .

4.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上 一 点 , F1 是 其 左 焦 点 , Q 在 PF1 上 且 满 足 25 9


OQ ?

1 (OP ? OF1 ) , OQ ? 3 ,则点 P 到该椭圆左准线的距离为 2

5.正三棱锥 D ? ABC 的底面边长为 1 ,侧棱长为 2 ,过点 A 作截面与侧棱 BD , CD 分别 相交于点 E , F ,当 △ AEF 的周长最小时, △ AEF 的面积为 .

6. 等差数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn ,Tn , 若对任意的正整数 n 都有 则

Sn 5n ? 3 , ? Tn 2n ? 1

a20 ? b7



7 . 已 知 (1 ? x 5)0 ? a a 2x ? 0 ?a 1 x? 2 为 .

5 0 ?5 a x 则 a1 ? 2 a2 ? 3 a3 ? 0 ,

?2 5a2的 5 值

8. 将 1, 2,3, 4,5,6,7,8 的每一个全排列皆看成一个八位数, 则其中是 11 倍数的八位数的个数 为 .

二.解答题(共 86 分,其中第 9 题 20 分,第 10、11、12 题各 22 分) 9.设 a , b , c 为正数,证明:

a 2 ? ab ? b2 ? a 2 ? ac ? c 2 ≥ 4 (

ab 2 ab ac ac 2 ) ?( )( )?( ) . a?b a?b a ?c a?c

10. 设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 有一个共同的焦点 F ,PQ 为 2 a b 它们的一条公切线, P , Q 为切点.证明: PF ? QF .

11. 如图,C 为半圆弧 O 的中点, 点 P 为直径 BA 延长线上一点, 过点 P 作半圆的切线 PD , D 为切点,? DPB 的平分线分别交 AC 、 BC 于点 E 、 F .证明:?PDA ? ?CDF .

12.若整数 a , b 既不互质,又不存在整除关系,则称 a , b 是一个“联盟”数对:设 A 是 集合 M ? ?1, 2, 值.

, 2014? 的 n 元子集,且 A 中任两数皆是“联盟”数对,求 n 的最大


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