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线性代数课件16_图文

一、引言
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31 a33 a13

? a11 ? a22a33 ? a23a32 ? ? a12 ? a23a31 ? a21a33 ? ? a13 ? a21a32 ? a22a31 ?
a22 ? a11 a32 a23 a21 ? a12 a33 a31 a23 a 21 ? a13 a33 a 31 a 23 a 33

结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示?

在n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第

留下来的n-1阶行列式叫做元素 aij的余子式,记作 M ij .

j 列划后,

M ij aij 把 Aij ? ? ?1? 称为元素 的代数余子式.
i? j

a11 例如 a21 D? a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

a11 M 23 ? a31 a41
A23 ? ? ?1?

a12 a32 a42
2? 3

a14 a34 a44

M 23 ? ? M 23

结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.

引理 一个n 阶行列式,如果其中第 i行所有元素除 aij 外都为零,那么这行列式等于 aij与它的代数余子式的乘

积,即 D ? aij Aij .

a11 a21 例如 D ? 0 a41

a12 a22 0 a42
3? 3

a13 a23 a33 a43

a14 a24 3? 3 ? a33 A33 ? ? ?1? a33 M 33 0 a44

? ? ?1 ?

a11 a33 a21 a41

a12 a22 a42

a14

a11

a12 a22 a42

a14 a24 a44

a24 ? a33 a21 a44 a41

分析

当 a位于第 1行第1列时, ij

D?

a11 a21 a n1

0 a22 an 2

0 a2 n ann

即有 D ? a11 M11 .(根据P.14例10的结论)

又 A11 ? ? ?1?

1? 1

M 11 ? M 11 ,

从而 D ? a11 A11 .

下面再讨论一般情形.

我们以4阶行列式为例.

a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 r2 ? r3 0 0 0 a34 ? ( ?1) 0 0 0 a34 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44 a41 a42 a43 a44

0 0 0 a 34 0 0 0 a34 r1 ? r2 a a12 a13 a14 a a12 a13 a14 2 11 (3 ?1 ) 11 ? ( ?1) ? ( ?1) a21 a22 a23 a24 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44 a41 a42 a43 a44
思考题:能否以r1 ? 代替上述两次行变换? r3

思考题:能否以 r1 ? 代替上述两次行变换? r3

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 a a12 a13 a14 2 11 ? ( ?1) 0 0 0 a34 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44 a11 a12 a13 a14 a41 a42 a43 a44 0 0 0 a34

r2 ? r3 r1 ? r2

0

0

0

a34

a21 a22 a23 a24 r1 ? r3 a21 a22 a23 a24 ? ( ?1) 0 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a41 a42 a43 a44
答:不能.

a41 a42 a43 a44

? ( ?1)

(3 ?1 )

0 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44 a34 0

c3 ? c4 c2 ? c3 c1 ? c2

a34
(3 ?1) 3

0

0

0

? ( ?1)

a14 a11 a12 a13 ( ?1) a24 a21 a22 a23 a44 a41 a42 a43

0

0

a34 被调换到第1行,第1列
a11 a21 0 a41 a12 a22 0 a42 a13 a23 0 a43 a14 a24 a34 a44

? ( ?1)

( 3 ?1)

( ?1)

(4 ?1)

a14 a11 a12 a13 a24 a21 a22 a23 a44 a41 a42 a43

? (?1)3? 4? 2a34 a21 a41

a11

a12 a22 a42

a13 a23 a43

? (?1)3?4 a34 M 34 ? a34 A34

二、行列式按行(列)展开法则
定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即

D ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ?

? ain Ain ? i ? 1, 2,

, n?

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 ? a33

a11 ? 0 ? 0 0 ? a12 ? 0 0 ? 0 ? a13 a21 a31 a11 ? a21 a31 0 a22 a32 0 a33 a22 a32 0 a31 a12 a22 a32 a23 ? a21 a23 a33 0 a33 0 a31 0 a22 a32 a13 a23 a33 a23 ? a21

? a11 A11 ?a12 A12 ?a13 A13
同理可得 ? a21 A21 ? a22 A22 ? a23 A23

? a31 A31 ? a32 A32 ? a33 A33

例(P.12例7续)

D?

3 ?5

1 ?1 2 5 1 ?1 1 1 3 ?4 c1 ? ?? 2?c3 ?11 1 3 ?1 2 0 1 ?1 c4 ? c3 0 0 1 0 1 ?5 3 ?3 ?5 ?5 3 0
3? 3

? (?1)

5 1 1 ?11 1 ?1 ?5 ?5 0

r2 ? r1

5

1 1

?6 2 0 ?5 ?5 0

? (?1)

1? 3

?6 2 ?8 2 ? 40. ? ?5 ?5 0 ?5

例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

1 x1
2 Dn ? x1

1 x2
2 x2

1 xn
2 xn ?

n ? i ? j ?1

?

( xi ? x j ). (1)

n ?1 x1

n ?1 x2

n ?1 xn

证明 用数学归纳法

D2 ?

1 x1

1 x2

? x2 ? x1 ?

2? i ? j ?1

?

( xi ? x j )

所以n=2时(1)式成立.

假设(1)对于n-1阶范德蒙行列式成立,从第n行开始,后行 减去前行的 x1倍:

1 0 Dn ? 0 0

1 x2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 )
n? 2 x2 ( x2 ? x1 )

1 x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 )
n? 2 x3 ( x3 ? x1 )

1 xn ? x1 xn ( xn ? x1 )
n? 2 xn ( xn ? x1 )

按照第1列展开,并提出每列的公因子 ( xi ? x1 ),就有

1 ? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ( xn ? x1 ) x2
n? 2 x2

1 x3
n? 2 x3

1 xn
n? 2 xn

n?1阶范德蒙德行列式
? Dn ? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )
?

( xn ? x1 )

n? i ? j ? 2

?

( xi ? x j )

n ? i ? j ?1

?

( xi ? x j ).

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即

ai 1 A j 1 ? a i 2 A j 2 ?

? ain Ajn ? 0, i ? j .
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33

分析 我们以3阶行列式为例.

a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? a21 a31

把第1行的元素换成第2行的对应元素,则

a21

a22 a22 a32

a23 a23 ? 0. a 33

a21 A11 ? a22 A12 ? a23 A13 ? a21 a31

定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即

ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ?

? ain Ain ? D ? i ? 1, 2,

, n?

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即

ai 1 A j 1 ? a i 2 A j 2 ?
综上所述,有

? ain Ajn ? 0, i ? j .
? D, i ? j ? ain Ajn ? ? ? 0, i ? j ? D, i ? j ? ani Anj ? ? ? 0, i ? j

ai 1 Aj1 ? ai 2 Aj 2 ?
同理可得

a1i A1 j ? a2i A2 j ?

5

3 ?1 2 0 2 5 2 3 1 0

1 7 例 计算行列式 D ? 0 ?2

0 ?4 ?1 4 0 0 2 3 5 0 5


3 ?1 2 0 5 1 4 5

1 7 2 D ? 0 ?2 3 0 ?4 ?1 0 2 3

2 2? 5 0 ? ? ?1 ? 2 0 ?4 ?1 4 0 0 2 3 5 0

5 3 ?1 2 0 ?2 3 1

5 ? ?? 1?
2? 5

3

?1 2

0 ?2 3 1 2 ? ?2 ? 5 ?4 ?1 4 0 ? 4 ?1 4 2 3 5 0 2 3 5
?2

?2

3

1

r2 ? (?2)r1

?10 0 r3 ? r1 0

?7 2 ?7 2 ? ?10 ? ( ?2) 6 6
6 6

3

1

? 20 ? (?42 ? 12) ? ?1080.

例 设 D?

3 ?5 1 1 ?1 3

, 的

2 1 0 ?5 1 3

元的余子式和 D (i , j )

2 ?4 ?1 ?3
代数余子式依次记作 M 和 A ,求
ij ij

A11 ? A12 ? A13 ? A14 及 M11 ? M21 ? M31 ? M41 .
分析 利用

a11

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

a21 a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? a14 A14 ? a31 a41

1 1 1 1 1 1 0 ?5 解 A11 ? A12 ? A13 ? A14 ? ?1 3 1 3 2 ?4 ?1 ?3

r4 ? r3 r3 ? r1

1 1 ?2

1 1 1 1 0 ?5 2 0

1

1 ?5 2 0

1 ?1 0

? ?2 2 2 1 ?1 0

c2 ? c1

1 2 ?5 2 ?5 ? 4. ?2 0 2 ? 0 2 1 0 0

M11 ? M21 ? M34 ? M41 ? A11 ? A21 ? A31 ? A41
1 ?5 ?1 1 1 3 2 1 0 ?5 1 3

?

r4 ? r3

1 ?5 2 1 ?1 1 0 ?5 1 3 1 3 0 0 ?1 0

?1 ?4 ?1 ?3

?1 0 ?5 1 2 1 r1 ? 2r3 ? ?1 0 ?5 ? 0. ? ? ?1 0 ?5 1 1 3 1 1 3


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