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福州市2016年高三三月质检文科数学试卷


2016 年福州市普通高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确 的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. )
2 1.设集合 M ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 N ? ? x ( ) x ? 4? ,则 M ? N =(

8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是(

) 1

A. 1 ? 2

B. 2

C.

2? 2 2

D.

3 2

1
正视图

1
侧视图

9. 已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 与直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 相交于 A, B 两点,F 为 C 的 焦点,若 FA ? 2 FB ,则 k ? ( )

?

?

? ?

1 2

? ?



A. x x ? ?2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C.

?x x ? ?2?

D. R ) . D. 3 )

2. 已知复数 z 满足 zi ? 2i ? x ( x ? R ) ,若 z 的虚部为 2,则 z ? ( A. 2 B. 2 2
x

1 A. 3

2 2 B. 3

2 C. 3

2 D. 3

俯视图

C. 5

3.已知命题 p : “ ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 ” ,则 ?p 为 ( A. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0
x x

?2 x?2 ? , 10. 已知函数 f ( x) ? ? x , 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, 则实数 k 的取值范围是( ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
A. (?1,1) 11.已知双曲线 C : B. (0,1) C. (0,1] D. (?1, 0)

).

B. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 D. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0
x

C. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0
x

x2 y 2 ? ? 1 ? a, b ? 0? 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P, Q 两 a 2 b2
) D. 5 ? 2 2
2

4.若 2 cos 2? ? sin( A. ?

?
4

? ? ) ,且 ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? 的值为(
2

?

点,若 PQ ? PF1 ,且 PF1 ? PQ ,则双曲线的离心率 e ? ( ) A.

2 ?1

B. 2 2 ? 1

C. 5 ? 2 2

7 8

B. ?

15 8

C. 1

D.

15 8

12 .已知 f ( x) 为定义在 (0, ??) 上的可导函数 , 且 f ( x) ? xf '( x) 恒成立 , 则不等式 x f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为 ( ) . B. (1,2) C. (1, ??) D. (2, ??)

1 x

5.已知① x ? x ? 1 ,② x ? x ? 2 ,③ x ? x ? 3 , ④ x ? x ? 4 在如右图所示的程序框 图中,如果输入 x ? 10 ,而输出 y ? 4 ,则在空白处可填入( ) .

A. (0,1)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) A.①②③ B.②③ C.③④ D.②③④ 13. 已知向量 a ? ( x ? 5, 3), b ? (2, x), 且a ? b , 则 x ?

?

?

?

?

6.已知数列 {an } 是等差数列,且 a7 ? 2a4 ? 6, a3 ? 2 ,则公差 d ? ( A. 2 2 B.4 C.8 D.16

)

7.在 2015 年全国青运会火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手.若从中任选 2 人,则选出的火炬手的 编号相连的概率为 ( ) A.

?x ? y ? 2 ? 1 ? 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? ,且数列 4 x, z, 2 y 为等差数列,则实数 z 的最大值是 2 ? ? ?y ? x
15.以下命题正确的是: ①把函数 y ? 3sin(2 x ? .

3 10

B.

5 8

C.

7 10

D.

2 5

? ) 的图象向右平移 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6 3 ②四边形 ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点 P ,取得的 P 点到 O 的
距离大于 1 的概率为 1 ?

?

? ; 2

福州市文科数学 3 月

1

③为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 40 的样本,考虑用系统抽样,则分段 的间隔为 40;

1 x2 y2 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3 ) ,离心率为 ,且 F1 、 F2 分别为椭圆的 2 a b
左右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (?4,0) 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l ,交椭圆 C 于 B 、 D 两点, N 为 BD 中点,请说明存在实数 k , 使得以 F1 F2 为直径的圆经过 N 点, (不要求求出实数 k ) . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? a ln x(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,不等式 f ( x1 ) ? mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图,已知 AB 为圆 O 的一条直径,以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 CD 两点,交圆 O 于 E , F 两点,过 点 D 作 垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点.

? ? 1.23x ? 0.08 . ④已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程为 y
16. 已知直线 ln : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x2 ? y 2 ? 2an ? n 交于不同的两点 An 、 Bn , n ? N ,数列 ?an ? 满足:
?

a1 ? 1 , an ?1 ?

1 2 An Bn ,则数列 ?an ? 的通项公式为 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足 (2b ? c) cos A ? a cos C . (I)求角 A 的大小 (II)若 a ?3 ,求 ?ABC 的周长最大值.

18.(本小题满分 12 分)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解 A 、B 两班学生手机上网的时 长,分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样本,绘制成茎叶图如图 所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字) . (Ⅰ)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较长; (Ⅱ)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a ,从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过 21 的 数据记为 b ,求 a ? b 的概率.

(Ⅰ)求证: B, D, H , F 四点共圆;
O 19.(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, CD ? 1 , ?BCD ? 60 , BD ? CD ,正方形 ADEF ,且

面 ADEF ? 面 ABCD . (I)求证: BD ? 平面 ECD . (II)求 D 点到面 CEB 的距离.

(Ⅱ)若 AC ? 2, AF ? 2 2 ,求 ?BDF 外接圆的半径. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 .若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P( x, y ) 是圆 C 上动点,试求 x ? y 的最大值,并求出此时点 P 的直角坐标.
2

F

E

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n 都是实数, m ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 .

A B

D C
福州市文科数学 3 月 2

(I)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (II)若

m ? n ? m ? n ? m f ( x) 对满足条件的所有 m, n 都成立,求实数 x 的取值范围.


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