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江西省红色六校2015届高三第二次联考数学(理)试题


江西省红色六校 2015 届高三第二次联考数学理科试题
(分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学) 命题,审题:任弼时中学 莲花中学
数学试题分为(Ⅰ) (Ⅱ)卷,共 22 个小题。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂 其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

k ? ? (sin x ? cos x)dx ,若 (1 ? kx)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? a8 x8 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a8 ? (
0

?



A.-1

B.0

C.1

D.256 )

x 9.若集合 A ? {x | x 2 ? 2x ?16 ? 0}, B ? {x | C5 ? 5},则 A ? B 中元素个数为] (

A .4 个

B.6 个

C . 2个

D. 0 个

10 规定函数 y ? f ( x) 图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数 y ? f ( x) 的“中心距离”,给出以下四个命题:

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | x ? 3?, B ? ? x |

1 2 x 的“中心距离”大于 1;②函数 y ? ? x ? 4 x ? 5 的“中心距离”大于 1;③若函数 y ? f ( x)(x ? R) ①函数 与 y ? g ( x)(x ? R) 的“中心距离” 相等,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 至少有一个零点.以上命题是真命题的个数 y?
有:( ) A 0
B 1 C 2 D 3

A. ?

? x ?1 ? ? 0? ,则 A B = ( ? 4? x ? C . ? ?2,1? B . ? 3, 4 ?



D.

? 4. ? ??

11 已知曲线 C:y ? 4 ? x 2 (-2 ? x ? 0) 与函数 f ( x) ? loga ( ? x )及函数 g ( x) ? a ? x (其中a ? 1) 的图像分别交于
2 的值为( A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x12 ? x2

z?2 2.已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z 等于( ) 1-i C .-i A .2i B .i D .-2i 2 3.某校高考数学成绩 ? 近似地服从正态分布 N ?100,5 ? ,且 P ?? ? 110? ? 0.98 , P ?90 ? ? ? 100? 的值为(
A.0.49 B.0.52 4.某三棱锥的三视图如图所示, 该三梭锥的表面积是( ) C.0.51 D.0.48

) D.2

A.16 )

B.8

C.4

12.如图,三棱柱 OAD-EBC,其中 A,B,C,D,E 均在以 O 为球心,半径为 2 的球面上,EF 为直径,侧面 ABCD 为边长等于 2 的正方形,则三棱柱 OAD-EBC 的体积为 ( ) A. 4 3 B. 4 2 C. 2 3 D. 2 2

A . 28+6 B . 30+6

5 5 5 5

4

C . 56+ 12
D . 60+12

2 正视图

3

4 侧视图

第 II 卷(非选择题
俯视图

共 90 分)

二、填空題:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分. 13. 在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ? _________________。

14 . 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 公比不为 1 。若 a1 ? 1 , 且对任意的 n ? N * 都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 , 则


5.已知函数 f ( x) ? ?

1? x ? ?x ? 2 , x ? 1 , 则方程 2 f ( x) ? 1 的根的个数为( 3 x ? 3 x ? 2, x ? 1 ? ?

S5 ? _________________。
15.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x 对任意的 m ? [?2, 2] 有

A.1 B .2 C.3 D.4 ? x, ) 且 当 x ? 2 时 , 其 导 数 f ?( x ) 满 足 6 . 已 知 函 数 f ( x ) 对 定 义 域 R 内 的 任 意 x 都 有 f ( x) ? f ( 4

f ? mx ? 2 ? ? f ? x ? ? 0 恒成立,则 x ?

.

? ( x,若 x f ?( x) ? 2 f ) 2 ? a ? 4 ,则 (
A. f (2 ) ? f (3) ? f (log2 a)
a


a

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 ) D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (3)
a

16.已知集合 M={1,2,3,4,5,6},集合 A、B、C 为 M 的非空子集,若 ?x ? A, y ? B, z ? C ,x<y<z 恒成立,则称 “A–B–C”为集合 M 的一个“子集串” ,则集合 M 的“子集串”共有 个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)已知 m ? ( 2 cos( x ? 且函数 f ( x) ? m ? n ?1

C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

?

2

), cos x) , n ? (cos x,2 sin( x ?

?

2

)) ,

? y?x ? 7.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( ?x ? y ? 1 ? A . 1,1 ? 2 B . 1 ? 2 ,?? D . C . ?1,3?



(1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在 (0, ? ) 内有两个零点 x1,x2 ,求 x1 ? x 2 的值; ( 2 )若把函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

?

?

?

?

?3,???

8. 设
1

? 个单位 , 再向上平移 2 个单位 , 得函数 g ( x) 图像 , 求函数 g ( x) 在 3

[?

? ?

, ] 上的单调增区间. 2 2

(I)求证:DE∥ AB; (Ⅱ )求证:AC.BC= 2A D.CD.

18.(本小题满分 12 分) 已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? a5 ? (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ )若数列{bn}满足 bn ? 2
an ?1

2 2 a3 , S7 ? 63 7

,求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Tn. ? bn ?

19. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 ABCD 中,AD??BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 ,

?ABC ? 90 ,如图(1) .把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面BCD . (Ⅰ)求证: CD ? AB ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离;
(Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求出 说明理由.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 X 轴的正半轴重合.直线 l 的极坐标方程为:

? x ? 2 ? 2cos ? ? 1 ? sin(? ? ) ? ,曲线 C 的参数方程为: ? . (? 为参数) 6 2 ? y ? 2sin ?
BN 的值;若不存在, BC
(I)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | (I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ )当 x∈ R,0<y<1 时,证明: | x ? 2 | ? | x ? 2 |? 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 20 点 B(l,0) .点 A 是圆 C 上的动点,线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 交于点 P. (I)求动点 P 的轨迹 C1 的方程;

1 1 ? 。 y 1? y

( ,) (Ⅱ ) 设M0

1 , N 为抛物线 C2 : y ? x2 上的一动点, 过点 N 作抛物线 C2 的切线交曲线 Cl 于 P, Q 两点, 求△ MPQ 5

面积的最大值.

21.(本小题满分 12 分)

? ? x 3 ? ax 2 ? bx, ( x ? 1) ? 已知函数 f ( x) ? ? 3 的图像在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程为 5 x ? y ? 3 ? 0 . ? c ln x , ( x ? 1 ) ? ? 2 (I)求实数 a , b 的值及函数 f ( x) 在区间 [?1,2] 上的最大值; (II)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、N , 使得 ?MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角形, 且斜边 MN
的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答, 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为弧 BC 的中点,E 为 BC 的中点.
2

参考答案
题号 答案 一、 1 B 2 D 选择题: 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B 11 C 12 D

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 63? a4 ? 9 ,……………………………4 分 2 ?d ? a4 ? a3 ? 2 ,?an ? a3 ? (n ? 3)d ? 2n ? 1 . ……………6 分 S7 ?
(Ⅱ)

二.填空题 13. A ? ? ; ? 三、解答题 17.解: (1)由题设知 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 14.11; 15。 ( ?2, ) ;

bn ? 2an ?1且an ? 2n ?1 ,?bn ? 4n ………7 分 a a a a ?Tn ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n b1 b2 bn ?1 bn
?

2 3

16. 111.

2 cos( 2 x ?

?
4

) ? 2 ,…2 分

? f ( x) ? 1 ? 0,? 2 cos( 2 x ? ? 2x ?

?
4

) ? 2 ? 1 ,? cos(2 x ?

?
4

)??

?
4

? 2k? ?

得 x ? k? ?

?
4

3? ? 5? 或 2 x ? ? 2k? ? ,k ? Z 4 4 4

2 ,…………………3 分 2

2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2( n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? ? ? ? n 1 2 4 4 4n ?1 4 1 2 ?1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2(n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? Tn ? ? ? ? ? n ?1 4 42 43 4n 4 3 2 ?1 ? 1 2 2 2 2n ? 1 ? Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 1 4 4 4 4 4 4 11 11 2n 1 ?Tn ? ? ( ? ) ? n . 9 9 3 4

……………12 分

或 x ? k? ?

?

19、解: (Ⅰ)由已知条件可得 BD ? 2, CD ? 2, CD ? BD . ∵平面 ABD ? 平面BCD , 平面ABD ? 平面BCD ? BD . ∴ CD ? 平面ABD . 又∵ AB ? 平面ABD ,∴ CD ? AB . (Ⅱ)以点 D 为原点, BD 所在的直线为 x 轴, DC 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可 得 A(1,0,1), B(2,0,0), C (0, 2,0), D(0,0,0), M (1,1, 0) . ∴ CD ? (0, ?2,0), AD ? (?1,0, ?1) . 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 CD ? n, AD ? n ∴ ?

? x ? (0, ? ),? x1 ?

?
4

2

,………………………………………………………………5 分

, x2 ?

?
2

,? x1 ? x 2 ?

? 个单位,得 3 ? ? 2? ? 5? y ? 2 cos[2( x ? ) ? ] ? 2 ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 ? ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 3 4 3 4 12 5? ) 再向下平移 2 个单位得 g ? x ? ? ? 2 sin(2 x ? ………………………8 分 12 ? 5? 3? ? 13? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? z ……………9 分 2 12 2 24 24 23? 11? ? 13? ?x?? ?x? 当 k ? ?1 时 ? ;当 k ? 0 时, …………………………10 分 24 24 24 24 ? ? ? x ? [? , ] 2 2 ? ? ? ? 11? ? ? ? ? ? , .………………………………12 分 , ? f ( x) 在 [ ? , ] 的增区间为 ? ? , ? 2 2 24 ? ? 2 ? ? ? 24 2 ? ? 18.解:(Ⅰ)法一:设正项等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , an ? 0 ………1 分
(2) y ? f ( x) 图像向左平移

3? .…………………………………………6 分 4

? y ? 0, ? x ? z ? 0,

令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0,?1) , ∴点 M 到平面 ACD 的距离 d ?

n ? MC

? 2. 2 MC

(Ⅲ)假设在线段 BC 上存在点 N,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 . 设 BN ? ? BC, 0 ? ? ? 1 ,则 N (2 ? 2? , 2? ,0) , ∴ AN ? (1 ? 2?, 2?, ?1) , 又∵平面 ACD 的法向量 n ? (1,0,?1) 且直线 AN 与平面 ACD 所成角为 60 , ∴ sin 600 ?

2 ? 2 ?a1 ? a1 ? 4d ? (a1 ? 2d ) 则? , 7 ? 7a1 ? 21d ? 63 ? ?a1 ? 3 得? ?d ? 2 ? an ? 2n ? 1
法二: 又

………2 分

1 1 . ? 3 , 可得 8?2 ? 2? ? 1 ? 0 ,∴ ? ? 或? ? ? (舍去) 2 4 2 AN n
BN 1 ? . BC 4

AN ? n

………4 分 ………6 分

综上,在线段 BC 上存在点 N,使 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ,此时 20. 解: (Ⅰ)由已知可得,点 P 满足 PB ? PC ? AC ? 2 5 ? 2 ? BC 所以,动点 P 的轨迹 C1 是一个椭圆,其中 2a ? 2 5 , 2c ? 2 动点 P 的轨迹 C1 的方程为 ………2 分
2 2

?an ? 是等差数列且 a1 ? a5 ? 7 a32 ,? 2a3 ? 7 a32 ,
an ? 0?a3 ? 7 .…………………………………………………2 分
3

2

2

x y ? ? 1. 5 4

…………………4 分

? y ? 2tx ? t 2 ? (Ⅱ)设 N (t , t 2 ) ,则 PQ 的方程为: y ? t 2 ? 2t ( x ? t ) ? y ? 2tx ? t 2 ,联立方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得: ? ? 1 ? 4 ?5 2 2 3 4 (4 ? 20t ) x ? 20t x ? 5t ? 20 ? 0 ,……6 分
? ?? ? 80(4 ? 20t 2 ? t 4 ) ? 0 ? 20t 3 ? 有 ? x1 ? x2 ? , 4 ? 20t 2 ? ? 5t 4 ? 20 x x ? ? 1 2 4 ? 20t 2 ?
而 PQ ? 1 ? 4t ? x1 ? x2 ? 1 ? 4t ?
2 2

80 ? 4 ? 20t 2 ? t 4 ? 4 ? 20t 2

,

4 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 2 ; 3ln 2 4 3 当c ? ? 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f ? 2 ? ? ? c ln 2 . (8 分) 3ln 2 2 3 2 ? ? x ? ax ? bx, ( x ? 1) ? (2) f ( x) ? ? 3 ,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 M (?t , t 3 ? t 2 ) , ? c ln x , ( x ? 1 ) ? ? 2 N (t , f (t )) , (t ? 0) . 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 , 由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 )(?t 3 ? t 2 ) ? 0 , 即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 .此时无解; (10 分) 3 若 t ≥ 1 ,则 f ? t ? ? ? c ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点 不可能在 x 轴上,即 2
综上可知,当 c ? ?

1 2 ?t 5 , …………10 分 点 M 到 PQ 的高为 h ? 1 ? 4t 2 1 由 S ?MPQ ? | PQ | h 代入化简得: 2 5 5 130 即 S?MPQ ? ; ?(t 2 ? 10)2 ? 104 ? ? 104 ? 10 10 5 130 2 当且仅当 t ? 10 时, S?MPQ 可取最大值 . 5
21.(本小题满分 12 分)
'

t ? 1.
同理有 OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? t ? t
2 3

?

2

3 ? ?? ? ? c ln t ? ? 0 , ? 2 ?

c??

2 1 . 3 ? t ? 1? ln t

由于函数 g ? t ? ? ?

2 1 (t ? 1) 的值域是 ? ??,0? ,实数 c 的取值 范围是 ? ??,0? 即为所求. 12 分 3 ? t ? 1? ln t
B D E C

……………12 分

f ' ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b
? ? f ? ?1? ? ?5 ? a ? 1 ?? ? f ? 1 ? 2 ? ? ? ?b ? 0 ? 3 2 当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x
(2 分)

22. 解: (Ⅰ)连接 BD ,因为 D 为弧 BC 的中点, 所以 BD ? DC . 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE ? BC . 因为 AC 为圆的直径,所以 ?ABC ? 90? , 所以 AB // DE . (Ⅱ)因为 D 为弧 BC 的中点,所以 ?BAD ? ?DAC , 又 ?BAD ? ?DCB , 则 ?BCD ? ?DAC . 又 因 为 DE ? CE ,所以 ?DAC ∽ ?ECD . 所以

…5 分
A O

AD ? DC



此 时 f ( x) 在 ? ?1,1? 上 的最大值为 f (?1) ? 2 ;

AC AD ? , AD ? CD ? AC ? CE ,? 2 AD ? CD ? AC ? BC . …10 分 CD CE ? 1 23. 解: (Ⅰ) Q ? sin(? ? ) ? 6 2 3 1 1 3 1 1 ? ? ( sin ? ? cos ? ) ? ,? y ? x ? , x ? 3 y ?1 ? 0 .…………5 分 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)解法一:由已知可得,曲线上的点的坐标为 (2 ? 2cos ? , 2sin ? )
所以,曲线 C 上的点到直线 l 的距离

3 3 c ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f ? 2 ? ? ? c ln 2 . 2 2 3 4 4 令 ? c ln 2 ? 2 ,则 c ? ? ,所以当 c ? ? 时, 2 3ln 2 3ln 2 3 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f ? 2 ? ? ? c ln 2 ; 2 4 ? c ? 0 时, f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . 当? 3ln 2 3 当 c ? 0 时, f ? x ? ? ? c ln x 在 [1, 2] 上单调递减,且 f ?1? ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . 2
当 c ? 0 时, f ? x ? ? ?
4

d?

2 ? 2 cos ? ? 2 3 sin a ? 1 2

? ………10 分 4 cos(? ? ) ? 3 7 3 ? ? 2 2

3 解法二:曲线 C 为以 (2, 0) 为圆心, 2 为半径的圆.圆心到直线的距离为 2 3 7 ?2? 2 所以,最大距离为 2 ………10 分

x?2 ? 4, ? 24. 解: (Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? ?2 x, ? 2 ? x ? 2 ? ?4, x ? ?2 ?

所以, f ( x) ? 2 的解集为 {x x ? 1} . (II)由(Ⅰ)知,

…………………5 分

x?2 ? x?2 ? 4



1 1 1 1 1? y y ? ?( ? )[ y ? (1 ? y)] ? 2 ? ? ?4 y 1? y y 1? y y 1? y 1 1 ? x?2 ? x?2 ? ? . y 1? y
说明:各题中出现的不同解法,请参照此标准相应给分。

……………………10 分

5


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