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2016年高考数学复习 专题15 解析几何 椭圆中的最值问题考点剖析


椭圆中的最值问题 主标题: 副标题:为学生详细的分析椭圆中的最 值问题的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:椭圆,椭圆 中的最值问题 难度:5 重要程度:4 考点剖析:1.理解椭圆中的最值问题; 2.会处理有关椭圆中的最值问题, 命题方向: 椭圆中的最值问题以及与向量、不等式、方程结合的问 题常以解答题的形式出现,具 有一定的综合性和难度. 主要体现了转化思想及数形结合的应用, 涉及到的知识有椭圆定义、 标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理 解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。 规律总结: 圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉 及知识面广而且 常含有变量的一类难题,也是教学中 的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方 程思想、数形结 合思想、转化与 化归等数 学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、各种平面几何中最 值的思想来解决。 知识梳理 (1) 设椭圆 x2 y2 ? ? 1 的左右 焦点分别 为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点,M(x,y) a2 b2 为椭圆上任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 2a– ︱PF1︱。 (2) 设椭圆 x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点,M(x,y) a2 b2 为椭圆上任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 PF2 。 (3) 椭圆 x2 y2 ? ? 1 上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题,可 a2 b2 以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱, 通过动点在 椭圆上消去 y 或 x,转化 为二次 函数求最值,注意自变量的取值范围。 (4) x2 y2 若椭 圆 2 ? 2 ? 1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时 ,可通过椭圆 a b 的参数方程,统一变量转化为三角函数求最值。 椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相 切的问题,利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。 (5) 1

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