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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 导学案


高一数学必修四导学案 编制人:21 号

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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】 1、掌握平面向量数量积的意义,体会数量积与投影的关系。 2、平面向量积的重要性质及运算律。 【考纲要求】 1、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 【学习目标叙写】 1、知道平面向量数量积的物理意义,记住其含义; 2、会用向量数量积的公式解决相关问题; 3、记住数量积的几个重要性质。 【使用说明与学法指导】 先阅读教材 P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念 之后,学习向量数量积的性质与运算律。 【预习案】 问题 1 :如下图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的功 W= ,其中 ? 是 . 思考:这个公式的有什么特点?请完成下列填空: F(力)是 量;S(位移)是 量; ? 是 ;W (功)是 量; 结论:功是一个标量,功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示:能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢? 问题 2:向量的数量积(或内积)的定义 已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量 a b cos? 叫做 a 和 b 的数量积(或内积) ,记作
a ?b ,

? ? ? ? 注意:当θ=0时, a 与 b 同向;当θ=π时, a 与 b 反向; ? ? ? ? ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2 ③“规定” :零向量与任何向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0 。

当θ=

思考:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小因素有哪 些? 数量积的符号由 cos?的符号所决定,完成下表:
? 的范围

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

a · b 的符号
问题 3:向量的数量积(或内积)几何意义 (1) 向量投影的概念: 如图, 我们把 a cos ? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影; b cos ? 叫 做向量 b 在 a 方向上的投影. 说明:如图, OB1 ? b cos? . 向量投影也是一个数量,不是

向量; 当 ? 为锐角时投影为正值;当 ? 为钝角时投影为负值; ? ? 当? = 0?时投影为 | b |;当?=90?时投影为 0;当? = 180?时投影为 ?| b | 作图:

(2)向量的数量积的几何意义:数量积 a ·b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上 的 投影︱ b ︱cos ? 的乘积。 问题 4:由定义得到的数量积的性质。 设 a 和 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ⑴当 a 与 b 垂直时, ? ? 90 ,即 a ? b ? a ? b ? ⑵当 a 与 b 同向时, ? ? 0 , a ? b = ; ;

即 a ? b ? a b cos? .其中 ? 是 a 和 b 的夹角(0≤θ≤π) 说明:①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ? ? ? ? ② 两个非零向量夹角的概念:非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,
? ? 则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角(两向量必须是同起点)

高一数学必修四导学案 编制人:21 号

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当 a 与 b 反向时, ? ? 180 , a ? b = ⑶当 a ? b ,即 a ? a = ,或 a ? ⑷cos? =

; ;
a b .

a ?b | a || b |

⑸因为 cos? ? 1 ,所以 a ? b 【探究案】

? ? 例:已知 a ? 5, b ? 2, a 与 b 的夹角为 120? ,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值.

?

??

?

? ? 变式:已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? 4, b ? 2,求:

(1) a ? b ;(2) 3a ? 4b 1.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120 ,则 AB ? AD 为( A.4 B.-4 C.8 D.-8 ? ? 2.若 a ? b <0,则 a 与 b 的夹角 ? 的取值范围是( )
? ?? A. ?0, ? ? 2? ?? ? B. ? , ? ? ?2 ? ?? ? C. ? , ? ? ?2 ? ?? ? D. ? , ? ? ?2 ?



? ? ? ? 3. a ? 4, a 与 b 的夹角为 30? ,则 a 在 b 方向上的投影为

. 选作:已知 a ? b ,且 a ? 2, b ? 1,若对两个不同时为零的实数 k , t ,使得

【训练案】

a ? (t ? 3)b 与 ?ka ? tb 垂直,试求 k 的最小值.

【二次备课】


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