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2019年高中数学北师大版必修3课件:第一章 §4 4.1

北师大版数学课件

精品资料整理

数据的数字特征
4.1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差

预习课本 P25~31,思考并完成以下问题
(1)什么是平均数、中位数、众数?

(2)什么是极差、方差、标准差?

(3)方差、标准差的计算公式是什么?

[新知初探]
1.平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x = 叫作这 n 个数的平均数. (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于 最中间位置的那个 数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数. (3)众数 一组数据中重复出现次数 最多 的数称为这组数的众数,一组数 据的众数可以是 一个 ,也可以是 多个 .

x1+x2+…+xn , n

[点睛]

如果有几个数据出现的次数相同,并且比其

他数据出现的次数都多,那么这几个数据都是这组数据 的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数一样多, 则认为这组数据没有众数.

2.极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中 最大值与最小值的差 称为这组数据的极差. (2)方差 标准差的平方 s2 叫作方差. 1 2 s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] n



其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. (3)标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表 1 2 2 2 示.s= . [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +…+?xn- x ? ] n

[点睛]

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波

动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差为 0 时,表明样本数据全相等,数据没有 波动幅度和离散性. (3)标准差的大小不会超过极差.

[小试身手]
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平均数反映了一组数据的平均水平, 任何一个样本数据的改 变都会引起平均数的变化. ( √ ) (2)一组数据中,有一半的数据不大于中位数,而另一半则不小 于中位数,中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不 受极端值的影响. (√ ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关. (√ ) (4)数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定. (√ ) (5)数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定. (√ )

2.在某次考试中,10 名同学的得分如下:84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( A.84,68 C.84,81 B.84,78 D.78,81 )

解析:选 C

将所给数据按从小到大排列得

68,70,77,78,79,83,84,84,85,95,显然众数为 84,而本组数 据共 10 个,中间两位是 79,83,它们的平均数为 81,即 中位数为 81.

3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示, 则该学生这几次数学测试的平均成绩为____.

解析: 根据茎叶图提供的信息知,这几次测试成绩为 1 53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为 ×(53+ 60+ 7 63+71+74+75+80)=68. 答案:68

4. 如图所示是某学校一名篮球运动员在五场 比赛中所得 分数的茎叶图,则该运动员

在这五场比赛中得分的方差为________. 解析: 依题意知,运动员在 5 次比赛中的分数依次为
8+9+10+13+15 8,9,10,13,15,其平均数为 =11. 5 1 由方差公式得 s = [(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13- 5
2

1 11) +(15-11) ]= (9+4+1+4+16)=6.8. 5
2 2

答案:6.8

中位数、众数、平均数的计算及应用
[典例] 如下: 据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)

职务 人数 工资

董事 长 1 5 500

副董事 长 1 5 000

董事 2 3 500

总经 理 1 3 000

经理 5 2 500

管理 员 3 2 000

职员 20 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事 长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位 数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平, 结合此问题谈一谈你的看法.

[解]

(1)平均数是

1 x =1 500+ (4 000+3 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5 33 +500× 3+0×20)≈1 500+591=2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(2)平均数是 1 x ′=1 500+ (28 500+18 500+2 000× 2+1 500+1 000× 5 33 +500× 3+0×20)≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工 资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别 较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反 映这个公司员工的工资水平.

刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数 和众数等,它们作为一组数据的代表各有优缺点,也各 有各的用处,从不同的角度出发,不同的人会选取不同 的统计量来表达同一组数据的信息,不同的统计量会侧 重突出某一方面的信息.

[活学活用]
1.某学习小组在一次数学测验中,得 100 分的有 1 人,95 分的 有 1 人,90 分的有 2 人,85 分的有 4 人,80 分和 75 分的各 1 人,则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是 ( A.85 分、85 分、85 分 C.87 分、85 分、85 分 B.87 分、85 分、86 分 D.87 分、85 分、90 分 )

解析:选 C

由题意知,该学习小组共有 10 人,

因此众数和中位数都是 85, 100+95+2×90+4×85+80+75 平均数为 =87. 10

2.16 位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前 8 位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断他能否 进入决赛.则其他 15 位同学成绩的下列数据中,能使他得 出结论的是 A.平均数 B.极差 ( )

C.中位数 D.方差 解析: 选 C 判断是不是能进入决赛, 只要判断是不是前 8 名,
所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是不是有 8 个高于他, 也就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 个的成绩即可, 小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能 进入决赛,这个第 8 名的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数.

方差、标准差的计算与应用
[典例] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的

射击水平进行了测试,两人在相同条件下各射击 10 次,命中的环数 如下: 甲:7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数; (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差; (3)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛.

[解]

(1)对于甲:极差是 9-4=5,众数是 9,中位数是 7;

对于乙:极差是 9-5=4,众数是 7,中位数是 7. 7+8+6+9+6+5+9+9+7+4 (2) x 甲= =7, 10 1 s 甲= × [(7 - 7)2 + (8 - 7)2 + (6 - 7)2 + (9 - 7)2 + (6 - 7)2 + (5 - 10
2

7)2+(9-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=2.8,
2 s 甲= s甲 = 2.8≈1.673.

9+5+7+8+7+6+8+6+7+7 x 乙= =7, 10

1 s乙= × [(9- 7)2 + (5 - 7)2+ (7- 7)2 + (8- 7)2+ (7 - 7)2 + 10
2

(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2,
2 s 乙= s乙 = 1.2≈1.095.

(3)∵ x 甲= x 乙,s 甲>s 乙, ∴甲、乙两人的平均成绩相等,乙的成绩比甲的成绩稳 定一些,从成绩的稳定性考虑,可以选择乙参赛.

在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要 研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平 均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动 性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中、越稳定.

[活学活用]
某班 20 位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考 试成绩如下(单位:分): 甲组 乙组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80; 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.

(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差; (2)哪一组的成绩较稳定?

解:(1)甲组:最高分为 95 分,最低分为 60 分,极差为 95- 60=35(分), 1 平均分为 x 甲 = ×(60 + 90 + 85 + 75 + 65+ 70+ 80 + 90 + 95 10 +80)=79(分), 1 方差为 s甲= ×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2 10
2

+ (65-79)2+(70-79)2+ (80- 79)2+(90-79)2+ (95-79)2+ (80-79)2]=119, 标准差为 s 甲= s2 甲= 119≈10.91(分).

乙组: 最高分为 95 分, 最低分为 65 分, 极差为 95-65=30(分), 1 平均分为 x 乙 = ×(85+ 95 + 75 + 70 + 85 + 80+ 85+ 65+ 90 10 +85)=81.5(分), 1 2 方差为 s乙= ×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70 10 -81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2 +(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25, 标准差为 s 乙= s2 乙= 75.25≈8.67(分). (2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差),因此乙 组的成绩较稳定. 从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.

数字特征与统计图表的综合问题
[典例] (1)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机

抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假 设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x ,则( )

A.me=mo= x B.me=mo< x C.me<mo< x D.mo<me< x

(2)如图所示, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 它们 的样本平均数分别为 x A 和 x B,样本标准差分别为 sA 和 sB,则 ( A. x A> x B,sA>sB B. x A< x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB D. x A< x B,sA<sB )

[解析]

(1)由条形统计图可知,30 名学生的得分依次为 2 个

3 分,3 个 4 分,10 个 5 分,6 个 6 分,3 个 7 分,2 个 8 分,2 个 9 分,2 个 10 分.中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数, 即 me=5.5, 5 出现次数最多,故 mo=5. 2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10 x = 30 ≈5.97. 于是得 mo<me< x .

(2)观察图形可得:样本 A 的数据均小于或等于 10,样本 B 的数据均大于或等于 10,故 x A< x B,又样本 B 的波动范围 较小,故 sA>sB. [答案] (1)D (2)B

(1)由于茎叶图保留了原始数据,因此根据茎叶图进行有关 数据计算可以直接进行;另外,在茎叶图中,数据的分布能直观 体现数据的平均水平和离散程度, 因此给出茎叶图解决与平均数 和方差有关的统计问题时,我们也可以直观观察来完成. (2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标 的意义有关,一般情况下,整体分布位置较高的平均数大,波动 性小的方差小. (3)若条形统计图的横坐标是单一数据,则可通过该统计图 还原真实的样本数据,进而中位数、众数、平均数均可直接计算 得到.

(4)当条形统计图的横轴是区间形式,各数字特征就不能直 接求出,但是可以近似估计. ①中位数: 条形统计图(直方图)中, 中位数左边和右边的各 矩形的面积和应该相等,由此可以估计中位数的值. ②平均数: 平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个 小矩形的高度(面积)乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和. ③众数: 在条形统计图(直方图)中, 众数是最高的矩形的中 点的横坐标.

[活学活用] 1.样本数为 9 的四组数据,它们的平均数都是 5,它们的条形
统计图如图所示,则标准差最大的一组是 ( )

A.第一组

B.第二组

C.第三组

D.第四组

解析:选 D 法一:第一组中,样本数据都为 5,数据没有波动 幅度,标准差为 0; 6 第二组中,样本数据为 4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为 ; 3 2 5 第三组中,样本数据为 3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为 ; 3 第四组中,样本数据为 2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为 2 2. 故标准差最大的一组是第四组. 法二:从四个条形图可看出第一组数据没有波动性,第二、三组 数据的波动性都比较小,而第四组数据的波动性相对较大,利用 标准差的意义可以直观得到答案.

2. 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为 甲、乙两 名选手打出的分数的茎叶图

(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一 个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别 为 a1,a2,则一定有 A.a1>a2 B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关 ( )

解析: 选B

去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数

据,剩下的数据我们只要计算其叶上数字之和即可. 此时甲选手叶上的数字之和是 20,乙选手叶上的数字之和是 25,故 a2>a1.

[层级一

学业水平达标]

1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了 统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则 该样本的中位数、众数、极差分别是 ( )

A.46,45,56 C.47,45,56

B.46,45,53 D.45,47,53

解析:选 A 样本的中位数是(45+47)÷ 2=46,众数是 45, 极差为 68-12=56.

2.某学校为了了解学生课外阅读情况,随机调查了 50 名学生, 得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条 形统计图表示如下,根据条形统计图估计该校全体学生这一 天平均每人的课外阅读时间为 ( )

A.0.6 h C.1.0 h

B.0.9 h D.1.5 h

解析:选 B

由条形统计图可得,这 50 名学生这一天平均

每人的课外阅读时间为 5×0+20×0.5+10×1.0+10×1.5+5×2.0 =0.9(h), 因此估 50 计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9 h.

3.若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5,方差为 2.现样本 中又加入一个新数据 5,此时样本容量为 9,平均数为 x ,方 差为 s2,则 A. x =5,s2<2 C. x >5,s2<2 B. x =5,s2>2 D. x >5,s2>2 ( )

1 1 解析:选 A ∵ (x1+x2+…+x8)=5,∴ (x1+x2+…+ 8 9 x8+5)=5,∴ x =5. 由方差定义及意义可知加入新数据 5 后,样本数据取值的 稳定性比原来强,∴s2<2,故选 A.

4.小明 5 次上学途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10, 11,9.已知这组数据的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为 ________.
解析:由题意可得 x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8, 设 x=10+t,y=10-t,则 t2=4,|t|=2,故|x-y|=2|t|=4. 答案:4

“层级二

应试能力达标”见“课时跟踪检测(五)” (单击进入电子文档)


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