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东莞市2014届高三理科数学小综合专题——立体几何


2014 届高三理科数学小综合专题练习-------立体几何
东莞中学胡佐华老师提供 一、选择题 1. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体 的表面积为 ( 3 A. π 2 3 C. π+ 3 2 ) B.π+ 3 5 D. π+ 3 2 ) (D) a ? ? , b ? ? )

2.对两条不相交的空间直线 a 和 b ,必定存在平面 ? ,使得( (A) a ? ? , b ? ? (B) a ? ? , b // ? (C) a ? ? , b ? ?

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A . 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? 4. (2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5. 已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 二、填空题 6. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分 别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________.

B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? ( )

(

)

7.如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三 角形,AA′=4,M 为 AA′的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面 经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线与 CC′的交点为 N,则 NC 的长等于________.

1

8. α、 β 是两个不同的平面, m、 n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: ①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题____________________________. 9. 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件______________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 10. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB; ③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 三、解答题
11.如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ?

2 AB . 2

(1)证明: BC1 / / 平面 A1CD ;

(2)求二面角 D ? A1C ? E 的正弦值.

A1 B1

C1

A

E

C

D

B

12.如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB

= 2, E 为棱 AA1 的中点. (1) 证明 B1C1⊥CE; (2) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; (3) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦 值为
2 , 求线段 AM 的长. 6

2

13.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC ⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 2AD=2CD=2.E 是 PB 的中点. (1)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 平面 EAC 所成角的正弦值. 6 ,求直线 PA 与 3

15.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° , D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)(2)求二面角 C1ADC 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在一点 E,使 AE 与 DC1 成 60° 角?若存在,确定 E 点位置; 若不存在,说明理由.

16.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直.AB∥CD, AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求证:AB⊥DE; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD? EF 若存在,求出 ;若不存在,说明理由. EA

3

17.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(1)证明 AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 3的菱形, ∠BAD=120 ° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA=2 6,M,N 分 别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.

19.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 ABB1A1 是菱形 ,且∠A1AB=60° ,M 是 A1B1 的中点,MB⊥AC.(1 )求证:MB⊥平面 ABC;(2)求二面角 A1 ? BB1 ? C 的余弦值.

20. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥ BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P, 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

4

2014 届高三理科数学小综合专题练习-------立体几何 参考答案
一、选择题 二、填空题 6. 1 6 7. 4 5 8. 可填①③④?②与②③④?①中的一个 9. M∈线段 HF 10. ①②③ CBDCC

三、解答题.
11.

12.

5

13 解: (1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC.

因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (2)由(1)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 如图,以 A 为原点建

???? ? n ? ?3 y ? 4 z ? 0 ? A1B ? 0 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ? ???? ,即 ? , ? 4 x ? 0 n ? A C ? 0 ? ? ? 1 1
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) .
6

同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4,0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题知二面角 ? | n || m | 25

16 . 25 ??? ? ???? ? (3) 设 D ( x, y, z ) 是 直 线 BC1 上 一 点 , 且 BD ? ? BC1 . 所 以 ( x , y ? 3, z )? ? ( 4, .解得 ? 3, 4)
A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
所以 AD ? (4? ,3 ? 3? , 4? ) .

????

A1 B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? 由 AD·
因为

???? ????

9 . 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 ?? ? . BC1 25

14.(1)证明 ∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC,∵AB=2,AD=CD=1, ∴AC=BC= 2,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,又 BC∩PC=C, ∴AC⊥平面 PBC,∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. → → → (2)解 如图,以 C 为原点,DA、CD、CP分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐标系, 1 则 C(0,0 ,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设 P(0,0,a)(a>0),则 E( , 2 1 a → 1 a → → 1 - , ),CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE= ,- , ,取 m=(1, 2 2 2 2 2 → → -1,0),则 m· CA=m· CP=0,m 为面 PAC 的法向量.设 n=(x,y, z)为面 EAC 的法向量,
?x+y=0, ? → → 则 n· CA=n· CE=0,即? 取 x=a,y=-a,z=-2, ?x-y+az=0, ?

则 n=(a,-a,-2),依题意,|cos〈m,n〉|=

|m· n| a 6 = 2 = ,则 a=2. |m||n| 3 a +2

→ → 于是 n=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2).设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ,则 sin θ=|cos〈PA, → |PA· n| 2 2 n〉|= = ,即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 . 3 3 → |PA||n|

7

15.解析:(1)连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD.由 ABC?A1B1C1 是直三棱 柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点.又 D 为 BC 的中点,所以

OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD, 因为 OD? 平面 ADC1, A1B?平面 ADC1,
所以 A1B∥平面 ADC1. (2)由 ABC?A1B1C1 是直三棱柱, 且∠ABC=90°, 得 BA、 BC、 BB1 两两垂直. 以

B 为坐标原点,以 BC、BA、BB1 所在直线分别为 x、y、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B?xyz.
→ 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以AD=(1,-2, → ? ? ?n·AD=0, ?x-2y=0, → 0),AC1=(2,-2,1)设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则有? 所以? 取 ?2x-2y+z=0. → ? ? ?n·AC1=0.

y=1, 得 n=(2, 1, -2). 易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0, 0, 1). 所以 cos 〈n, v〉 =
2 2 =- .因为二面角 C1?AD?C 是锐二面角,所以二面角 C1?AD?C 的余弦值为 . 3 3

n·v |n|·|v|

(3)假设存在满足条件的点 E.因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设 E(0,λ , → → → 1), 其中 0≤λ ≤2.所以AE=(0, λ -2, 1), DC1=(1, 0, 1). 因为 AE 与 DC1 成 60°角, 所以|cos 〈AE,

DC1〉|=|



1 1 1 = .即| |= ,解得λ =1 或λ =3(舍去).所以当点 E 为 2 → → 2 (λ -2) +1· 2 2 |AE|·|DC1|

AE·DC1





线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角.

16.(1)证明:取 AB 中点 O,连接 EO,DO.因为 EB=EA,所以 EO⊥AB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四边形

OBCD 为正方形,
所以 AB⊥OD.所以 AB⊥平面 EOD.所以 AB⊥ED. (2)因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 EO⊥AB,所以 EO⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥OD.由 OB,OD,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标 系 O-xyz. 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA=OB=OD=OE,设 OB=1, → 所以 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,1).所以EC=(1,1,-1),平面 ABE 的 → 一个法向量为OD=(0,1,0).设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为θ ,所以 sin θ = → → |EC·OD| 3 3 = = ,即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 . → → 3 3 |EC||OD| 1? 2? EF 1 → 1→ ? 1 ? 1 (3)存在点 F,且 = 时, 有 EC∥平面 FBD.证明如下:由EF= EA=?- ,0,- ?知, F?- ,0, ?, 3 3 3 3 EA 3 3 ? ? ? ? → EC,OD〉| |cos〈→

8

2? → ?4 所以FB=? ,0,- ?.设平面 FBD 的法向量为 v=(a, b, 3 3 ? ? → ? ?v·BD=0, c),则有? ?v·→ FB=0. ? -a+b=0, ? ? 所以?4 2 a- z=0. ? ?3 3

取 a

→ =1,得 v=(1,1,2).因为EC·v=(1,1,-1)·(1,1,2) =0,且 EC?平面 FBD,所以 EC∥平面 FBD.

EF 1 即点 F 满足 = 时,有 EC∥平面 FBD. EA 3
17.(1)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E ,

∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴ A1 E ⊥AB, ∴AB⊥ A1C ;

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

(2)由(1)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面

ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 ,
∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向 为 x 轴正方向,| EA |为单位长度,建立如图所示 空间直角坐标系 O ? xyz , 有题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则

??? ?

??? ?

???? ???? ???? ??? ? BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量,

??? ? ? ? ?n ? BC ? 0 ? x ? 3z ? 0 则? ,即 ? ,可取 n =( 3 ,1,-1), ???? ? ? ?n ? BB1 ? 0 ?x ? 3y ? 0 ???? ???? n ? A1C 10 ???? ∴ cos n, A1C = , | n || A1C | 5
∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 5

18.(1)证明 因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点,所以 MN 是△PBD 的中位线,所以 MN∥BD.
9

又因为 MN?平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD. (2)解 连接 AC 交 BD 于 O.以 O 为原点,OC,OD 所在直线为 x,y 轴,建 立空间直角坐标系 Oxyz, 如图所示.在菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,得 AC=AB=2 3,BD= 3AB=6. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥AC.在直角三角形 PAC 中, AC=2 3, PA=2 6,AQ⊥PC,得 QC=2,PQ=4.由此知各点坐标如下,A(- 3, 0,0),B(0,-3,0), C( 3 , 0,0) , D(0,3,0) , P( - 3 , 0,2 6 ) , M ?-

?

3 3 ? ,- , 6 , 2 2 ?

N?-

?

3 3 ? ? 3,0,2 6?. , , 6 ,Q 2 2 3 ? ? ?3

3 3 → 设 m=(x,y,z)为平面 AMN 的法向量.由AM=? ,- , 6?, 2 ?2 ?

3 3 → AN=? , , ?2 2

y+ ? 23x-3 2 ? 6 知,? ? 3 3 ? 2 x+2y+

6z=0, 取 z=-1,得 m=(2 2,0,-1). 6z=0.

5 3 3 6? → ? 5 3 3 6? → 设 n=(x,y,z)为平面 QMN 的法向量.由QM=?- ,QN= - 知, ? 6 ,-2, 3 ? ? 6 ,2, 3 ? 6 y+ z=0, ?-5 6 3x-3 2 3 ? 5 3 3 6 ?- 6 x+2y+ 3 z=0.

取 z=5,得 n=(2 2,0,5).于是 cos〈m,n〉=

m· n 33 = .[xx.所以二 |m|· |n| 33

面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值为

33 . 33

19.(1)证明 ∵侧面 ABB1A1 是菱形,且∠A1AB=60° ,∴△A1BB1 为正三角形, 又∵点 M 为 A1B1 的中点, ∴BM⊥A1B1, ∵AB∥A1B1, ∴BM⊥AB, 由已知 MB⊥AC, ∴MB⊥平面 ABC. (2)解 如图建立空间直角坐标系,设菱形 ABB1A1 边长为 2,得

B1(0,-1, 3), → → A(0,2,0),C( 3,1,0),A1(0,1, 3).则BA1=(0,1, 3),BA=(0,2,0), → → BB1=(0,-1, 3),BC=( 3,1,0).设面 ABB1A1 的法向量 n1=(x1,y1,z1),由

?2y1=0, → → n1⊥BA,n1⊥BA1得,? 令 x1=1,得 n1=(1,0,0).设面 BB1C1C 的 ?y1+ 3z1=0,

10

→ → ?-y2+ 3z2=0, 法向量 n2=(x2,y2,z2),由 n2⊥BB1,n2⊥BC得? 令 y2= 3,得 n2=(-1, 3,1), ? 3x2+y2=0. 得 cos〈n1,n2〉= n1 · n2 -1 5 5 = =- .又二面角 A1BB1C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 . |n1||n2| 1· 5 5 5

20. (1)? CD ? DE , A1 E ? DE ,? DE ? 平面 A1CD , 又? A1C ? 平面 A1CD ,? A1C ? DE 又 A1C ? CD ,? A1C ? 平面 BCDE . (2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0?

?

?

???? ? ???? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1 E ? ? ?2 ,? 1 ,0 ?

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y ,z ?
???? ? ? ? A1 B ? n ? 0 则 ? ???? ? ? ? ? A1 E ? n ? 0
? ∴ n ? ?1 ,2 , 3

? ?3 y ? 2 3 z ? 0 ∴? ? ? ?2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?

?
?
?
C (0,0,0) x

D (-2,0,0)

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

???? ? ∴ CM ? ?1 ,0 , 3

?

???? ? ? CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? ∴ cos ? ? ???? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45? . (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 ,a , 0 ? ,则 a ? ?0 , 3?

??? ? ???? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 ,a ,0 ?

?

?

?? ? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?
?ay ? 2 3z1 ? 0 ? 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
?? ? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a



? 3 z ? ay1 ? ? 1 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?.

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, ?? ? ? 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直.

11


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