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【2014烟台一模】山东省烟台市2014届高三3月模拟考试:数学(文)试题(高清扫描版,答案word版)


高三数学三月份诊断考试(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 CBDCD 二、填空题 11. ( ??, ] 三、解答题 16.解: (1)由题意可得 C DAD B

1 8

12. 8

13. 9

14. 11

15.2

x y 2 ? ? ,所以 x ? 7 , y ? 3 . 63 27 18

……………………3 分

(2)记从中层抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高管抽取的 2 人为 c1 , c2 , 则抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c1 ) , (b1 , c2 ) , (b2 , b3 ) ,

(b2 , c1 ) , (b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种.
设选中的 2 人都来自中层的事件为 A , 则 A 包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种. 因此 P( A) ?

……8 分

………………10 分

3 ? 0.3 . 10
……………………………………12 分

故选中的 2 人都来自中层的概率为 0.3 . 17.解:

f ( x) ? sin(

7? 1 3 1 3 ? 2 x) ? 2sin 2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 2 2

? s i n (x2?

?
6

) 2? ?? , 2 ? 2 k? ?

………………………………………………3 分 ………………………………………………4 分

(1)最小正周期: T ? 由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?
2

(k ? Z ) 可解得:

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? 所以 A ?

?

?
6

)?

?
3

1 ? ? 5? 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 ? 2k? (k ? Z ) 2 6 6 6
………………………………………………8 分 ………………9 分

, k? ? ](k ? Z ) ; 3 6

?

………………6 分

,

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c ,

而 AB ? AC ? bc cos A ?

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 2

………………………………10 分

? cos A ?

1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1, 2 2bc 36 12
………………………………………………12 分

?a ? 3 2 .

18.解: (1)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上 所以 PO ? 平面 ABC ,所以 PO ? AC 因为 AB ? BC , 所以 O 是 AC 中点, 所以 OE / / PA , PA ? 平面PAD 所以 OE // 平面PAD 同理 OF // 平面PAD 又 OE ? OF ? O, OE、OF ? 平面OEF 所以平面 OEF / / 平面 PDA (2)因为 OF / / AD , AD ? CD 所以 OF ? CD 又 PO ? 平面 ADC , CD ? 平面 ADC 所以 PO ? CD 又 OF ? PO ? O 所以 CD ? 平面 POF (3)因为 ?ADC ? 90 , AD ? 3, CD ? 4 ,所以 S?ACD ?
?

…………………1 分

…………………2 分

…………………3 分

…………………5 分

…………………7 分

…………………8 分

1 ? 3 ? 4 ? 6 ,而点 O, E 分 2
…………………10 分

别是 AC , CD 的中点,所以 S?CFO ?

1 3 S?ACD ? , 4 2 5 3, 2

由题意可知 ?ACP 为边长为 5 的等边三角形,所以高 OP ? 即 P 点到平面 ACD 的距离为 为

…………11 分

5 3 ,故 VE ?CFO 4

5 3 ,又 E 为 PC 的中点,所以 E 到平面 CFO 的距离 2 1 3 5 5 …………………12 分 ? ? ? 3? 3. 3 2 4 8
………………………1 分 ……………2 分 ………3 分

19.解: (1)当 n ? 1, a1 ? 2 ;

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,∴ an ? 2an ?1 . ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2 .
n

由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 . (2) cn ? ?

……………………4 分 ……………………………6 分 ……………………8 分

?

2n

n为奇数

? ?(2n ? 1) n为偶数
n(? 4 1) ]

3 2 n? 1 T2 n ? 2 ? 2 ??? 2 ? [? 3 ?7 ??

……………10 分

?

22 n ?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3

……………………………12 分

20.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x +x ? 此时 f ( x ) ?
'

2 ?1, x

1 2 ………………………………2 分 +1 ? 2 , x x 1 2 2 f ' (2) ? +1 ? ? 1 ,又 f (2) ? ln 2+2 ? ? 1 ? ln 2+2 , 2 4 2
所以切线方程为: y ? (ln 2+2) ? x ? 2 , 整理得: x ? y ? ln 2 ? 0 ; (2) f ( x ) ?
'

………………………… 5 分

1 1 ? a ax 2 ? x ? a ? 1 (ax ? a ? 1)( x ? 1) ?a? 2 ? ? , x x x2 x2
'

……6 分

当 a ? 0 时, f ( x) ?
'

x ?1 ' ,此时,在 (0,1) f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x2
…………………………… 8 分

在 (1, ??) f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

1 当 ? ? a ? 0 时, f ' ( x ) ? 2
当?

a( x ?

1? a )( x ? 1) a , x2

( x ? 1)2 1? a 1 ' f ( x ) ? ? ? 0 在 (0, ??) 恒成立, 即 时 ?1 a ? ? 2 x2 a 2
…………………………………10 分

所以 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减; 当?

1 1? a 1? a ? a ? 0 时, ? ? 1 ,此时在 (0,1), (? ,?? ) f ' (x )? 0, f ( x) 单调递减, 2 a a 1? a ' ………………………………12 分 f ( x) 在 (1, ) f ( x) ? 0 单调递增; a

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递减, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增; 当?

1? a 1? a 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1), ( , ??) 单调递减, f ( x) 在 (1, ) 单调递增; 2 a a

当a ? ?

1 时 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减. 2

……………………………………13 分

21.解: (1)∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正 a2 b2 x2 y 2 ? ? 1, 2b 2 b 2
…………2 分

方形,∴ a ?

2b , ∴

又∵椭圆经过点 P (1,

2 ) ,代入可得 b2 ? 1 , 2
…………4 分

x2 ∴故所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 2

1 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 2
当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,此时 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 x2 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 | ,因为 1 ? y1 ? 1 ,所以 2 2

| x1 || y1 |? 2 |
所以 S ?AOB ?

x1 2 x12 2 y1 |? ( ? y12 ) ? 2 2 2 2

2 2 ,当且仅当 | x1 |? 1 时, S ?AOB 取得最大值为 , ……………7 分 2 2

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (2k ? 1) x ? 4ktx ? 2t ? 2 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?2
2 2 当 ? ? 8(2k ? t ? 1) ? 0 ,

……………8 分

即 2k 2 ? 1 ? t 2


………………10 分

方程有两个不同的解又 x1 ? x2 ?

x ? x2 ?4kt ?2kt ? 2 , 1 2 2 2k ? 1 2k ? 1

y1 ? y2 1 ? y1 ? y2 t 2 2 ??1 ? 2 所以 ,又 ,化简得到 2k 2 ? 1 ? 2t x1 ? x2 k 2 2k ? 1 ?0 2
代入 ① ,得到 0 ? t ? 2 又原点到直线的距离为 d ?



…………………11 分

|t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2

4k 2 ? 2t 2 ? 2 2k 2 ? 1
4k 2 ? 2t 2 ? 2 | t | 4k 2 ? 2t 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S ?AOB = | AB || d |? 2 1? k2 2 2 k2 ?1
考虑到 2k 2 ? 1 ? 2t 且 0 ? t ? 2 化简得到 S?AOB = 因为 0 ? t ? 2 ,所以当 t ? 1 时,即 k ? ? 综上, ?AOB 面积的最大值为

1 4t ? 2t 2 2

…………………13 分

2 2 . 时, S ?AOB 取得最大值 2 2
…………………14 分

2 . 2


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