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对数函数的图像与性质(公开课》99472769_图文

2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
达州一中

一.温故知新
在上一节我们已经学过了高中阶段的第一个 基本初等函数——指数函数 ,本节课我们来
学习另一个基本初等函数—— 对数函数 回顾研究指数函数的过程:
1. 定义
2.研究其函数图像
3. 由图像得到函数的性质

二.引入新课 分裂次数 第一次
第二次 第三次

细胞分裂过程

第x次

……

细胞个数 2=21 4=22 88==223 3 2x

用y表示细胞个数,关于分裂次数x的表达为 y = 2 x

如果把这个指数式转换成对数式的形式应为 x=log2y 如果把x和y的位置互换,那么这个函数应为 y = log2x

(一)对数函数的定义

★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量,定义域是(0,+∞)

想 一

对数函数解析式有哪些结构特征?

想 ①底数:a>0,且 a≠1

? ②真数: 自变量x

③系数:1

练习

下列函数中,哪些是对数函数?(导学与评价P53)

① y ? log a x2; ② y ? log 2 x ?1; ③ y ?? 2 log8 x;

④ y ? log x a(x ? 0,且x ? 1); ⑤ y ? log5 x.

解: ①中真数不是自变量x,不是对数函数;

②中对数式后减1,不是对数函数;

③中系数不为1,不是对数函数;

④真数不是自变量x,而是常数,不是对数函数; ⑤是对数函数。

(二)对数函数的图像和性质
描点法作图的基本步骤: 1、列表(根据给定的自变量分
别计算出因变量的值) 2、描点(根据列表中的坐标分别在
坐标系中标出其对应点)
3. 连线(将所描的点用光滑的曲线 连接起来)

y=log2x图象



x …1 112 4 … 42

表 y ? log2 x … -2 -1 0 1 2 …

y

描2

y ? log 2 x

点1 11

42

0 1 23 4

x

连 -1 线 -2

y=log0.5x图像

列 表

x 1/4 1/2 1 y=log2x -2 -1 0

2 1

4 …..
2… …

y= loyg0.5x 2



2

1 0 -1 从-解2析式的角度来讲:
y ? log 2 x
利用换底公式



1

11

42
0 1 23 4

y
x

? log 0.5 x
? ? log2

?
x

log 2 log 2

x 1 2



-1

线

-2

y ? log0.5 x

y = log2 x与y = log 0.5 x的图象分析

函数

y = log2 x

y = log 0.5 x

图象

定义域 值域 单调性 过定点 奇偶性

(0,??)

(0,??)

R

R

在(0,? ?)上是增函数 在(0,? ?)上是减函数

都过定点(1,0)

非奇非偶函数



一 想

底数a对对数函数y=logax的图象
有什么影响?



《对数函数的图像演示》flash

y=loga x

a>1

y=loga 0 < a < 1 x

对数函数y=logax的性质分析

函数

y = loga x (a>1)

y = loga x (0<a<1)

图象

定义域 值域 单调性 过定点 奇偶性

(0,??)

(0,??)

R

R

在(0,? ?)上是增函数 在(0,? ?)上是减函数
都过定点(1,0)

非奇非偶函数

你还能发现什么?
y

y ? log 2 x

11 32
0.1
01

y ? log 3 x
y ? log10 x
x
y ? log0.1 x

y ? log 1 x
3

y ? log 1 x
2

y



y=log 2x



y=log10x

01

x
y=log 0.1x

y=log 0.5x

补充

底数互为倒数的两个对数函数

性质 的图象关于x轴对称。



补充

性质

在第一象限从左往右看,底数

二 逐渐增大

例题讲 例7 求下列函数的解定义域
(1) y ? loga x2 (2)y ? loga (4 ? x) 解:(1)因为 x2 ? 0, 即x ? 0,所以函数 y ? loga x2的定义域是
(-?,0)?(0,+?)
(2)因为 4-x ? 0, 即x ? 4,所以函数 y ? loga (4 ? x)
的定义域是(??, 4)

? 例8:比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解法1:画图找点比高低 解法2:利用对数函数的单调性

y
log28.5 log23.4

y ? log2 x

0 1 3.4 8.5 x

考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数;

∵3.4<8.5

∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

? 例8:比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2:考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间(0,+∞)上是减函数; ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

? 例8:比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

比较两个同底对数值的大小时:

1.观察底数是大于1还是小于1( a>1时为增函数


2.比较真数值的大小;

0<a<1时为减函数)



3.根据单调性得出结果。

?(3) loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间(0,+∞)上是增函数;
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
若0<a<1 则函数y=log a x在区间(0,+∞)上是减函数;
∵5.1<5.
∴9 loga5.1 > loga5.9
注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗?

变一变还能口答吗?

log10 6 <  log10 8 log10 m<  log10 n 则 m < n

log0.5 6 >  log0.5 8 log0.5 m>  log0.5 n 则 m < n

log2 0.6 > log2

0.8

log2 m > log2 n 则

3

3

m < n

3

3

log1.5 6 <  log1.5 8

log1.5 m <  log1.5 n 则 m < n

函数y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x, y ? logd x 

的图像如图所示,则下列式子中正确的是(   )

y

C

y ? logb x A.0 ? a ? b ?1? c ? d

y ? loga x B.0 ? b ? a ?1? d ? c

x

O

y ? logd x C.0 ? d ? c ?1? b ? a

y ? logc x D.0 ? a ? b ?1? d ? c

教学总结
?对数函数的定义 ?对数函数图象 对数函数性质

作业
(课后思考)
(一)你能比较log34和log43的大小吗? (二)对数函数y=logax与指数函数y=ax的关系。
提示:分别将 y=2x 和y=log2x
y=0.5x 和y= log0.5x 的图象画在一个坐标内 ,观察图象的特点!
(书面作业)
?P73 2,3

Thank you!
要善于退,足够的退,退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。

再见