高中奥林匹克物理竞赛解题方法·05递推法

= at + 2at + 3at + + (n 1)at + nat = at (1 + 2 + 3 + + n)

1 1 = at (n + 1)n = n(n + 1)at 2 2
（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 s =

1 n(n + 1)(2n + 1)at 2 . 12

1 (n = 2) ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取 10m/s2） n

2 gh0 = 60m / s

2

m

v2

h

v2

h

2h0 1 1 1 (1 + 2 + 4 + + 2 m 2 ) + 2 n n n n 2 2h n +1 5 = h0 + 2 0 = h0 2 = h0 = 300m n 1 n 1 3 = h0 +

v0 2v1 2v + ++ m + g g g v 1 1 = 0 [1 + 2 + + 2 ( ) m + ] g n n v n +1 = 0( ) g n 1 3v = 0 = 18s g =

3 a1 = a AA1 BB1 cos 60° = a vt , 2 3 3 a 2 = a1 vt = a 2 × vt , 2 2 3 3 a 3 = a 2 vt = a 3 × vt , 2 2 3 a n = a n vt 2

3 vt = 0, 2 所以t = 2a 3v

1 2 mv1 2

2

1 2 1 F v1 = ( g )s 4 2 m 1 1 2 ′ ( F 2 mg )s = × 2mv 2 × 2mv1 2 2 2

′ 拉第二节车厢时： (m + 2m)v 2 = 2mv 2

2

4 2 2 F 5 v 2 = ( g )s 9 3 m 3

……

n F 2n + 1 ( g )s n +1 m 3 2n + 1 2 由 v ′ > 0可得 : F > mg n 3

v′ 2 = n

W3 = mg 2d W4 = mg 3d W5 = mg 4d Wn = mg (n 1)d

= mgd n

(n 1) 2

N i L = N i +1

N L , 得N i = i +1 2 2

1 1 1 1 N 2 = × N3 = = ( )5 N6 2 2 2 2

N1

3 L + mg L = N 6 L 2 4 N1 = mg 42 mg . 42

x1 =

L 2

L G x 2 = ( x 2 ) G 2 L L x 2 = = 4 2× 2

9

L 2×3

L 2× n
n

∑ x
n =1

= 11.32h k 11.32h = = 1.258 H 9h

n(n = 1,2,3 …）. 每人只有一个沙袋， x > 0 一侧的每个沙袋质量为 m=14kg， x < 0 一侧的

（2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定 律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反 向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不 能再扔，否则还能扔. 小车以初速 v0 沿正 x 轴方向运动，经过第 1 个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以

u = 2nv0 = 2v0 的水平速度扔到车上，由动量守恒得 Mv0 m 2v0 = ( M + m)v1 , 当小车运

( M + m)v1 m 2nv1 = ( M + 2m)v 2 ，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为 v n ，根据动

M (n + 1)m v n 1 . M + nm

38 20 ,n > , n 为整数取 3. 14 14

′ [ M + 3m + (n 1)m′]v n 1 2m′nv n1 = ( M + 3m + nm′)v n

M + 3m (n + 1)m ′ M + 3m (n + 2)m ′ ′ ′ ′ v n 1 同理v n+1 = vn M + 3m + nm ′ M + 3m + (n + 1)m ′

M + 3m (n + 1)m ′ > 0 n > 7 解得 M + 3m (n + 2)m ′ ≤ 0 n = 8

mg cosθ ( s 2 + s3 ) = mg ( s 2 s3 ) sin θ

s 2 s3 sin θ cos θ 2 = == = s1 s 2 sin θ + cos θ 3
2 3

s = s1 + 2 s 2 + 2 s3 + + 2 s11

2 s1 [1 ( )11 ] 3 = 2( s1 + s 2 + s3 + + s11 ) s1 = 2 × s1 2 1 3 2 11 = 10 12 × ( ) (m) = 9.86(m) 3

m1v0 = m1v1 + m2 v 2 1 1 1 2 2 m1v0 = m1v12 + m2 v 2 2 2 2

① ②

(m1 m2 ) 1 v0 = v0 m1 + m2 3

v2 =

2m1 2 v0 = v0 m1 + m2 3
2 v0 3 ′ v2 = 0

′ v1 = v0

T = 3(t1 + t 2 + t 3 ) = 3 × (

2πR 2πR 2πR 10πR 10πR + + )= = = 20( s ). πR 3v0 v0 3v0 v0 2

1 2 nmv n 这样的关系式是错误的. 2

FL =

1 1 2 ′ (n 1)mv n21 (n 1)mv n1 2 2

n vn ② n 1 1 n 1 2 把②式代入①式得： FL = ( n 1) m( v n ) 2 (n 1)mv n 1 2 n 1 2 2 FL 2 2 整理后得： ( n 1) = n 2 v n (n 1) 2 v n 1 ③ m ′ (n 1)mv n 1 = nmv n
③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由③式可知 当 n=2 时有：

2 FL 2 = 2 2 v 2 v12 m 2 FL 2 2 当 n=3 时有： 2 = 3 2 v3 2 2 v 2 m 2 FL 2 2 当 n=4 时有： 3 = 4 2 v 4 3 2 v3 … m 2 FL 2 2 一般地有 ( n 1) = n 2 v n (n 1) 2 v n 1 m

n(n 1) 2 FL 2 = n 2 v n v12 2 m

2 FL 2 = n 2 v n v12 m

FL(n 1) . nm

( M m)v n 1 = ( M + m)v n

vn =

v M m v n 1 = n 1 M +m 5

v1 v , v3 = 1 , 5 52

v1 , 5 n 1

sn =

v12 v12 1 = 2n2 2a 2a 5 v12 v2 1 v2 1 v2 1 , s 2 = 1 2 , s3 = 1 4 , , s n = 1 2 n 2 2a 2a 5 2a 5 2a 5

s总 = 2( s1 + s 2 + s 3 + + s n + )

v12 1 1 1 = 2 (1 + 2 + 4 + + 2 n 2 + ) 2a 5 5 5 2 2 v v 25 1 = 1 = 1 1 a a 24 1 2 5

a=

Mg 15 = m / s2 m 2

5 ( m) 4

l = 0.45m ，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 2 = 0.10. 原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端

1 Mg = 2.0 N

1 1 2 Mv 2 = Mv0 1 Mg 8l 2 2

2

2

v ′ 2 = v 2 + 2a M ( s + l ) V ′ 2 = 2a m s
v′ = v + a M t V ′ = am t

v ′ = 0.611m / s v ′ = 0.26m / s 或 ，显然后一解不合理应舍去. V ′ = 0.212m / s V ′ = 0.23m / s

v ′′ 2 = v ′ 2 + 2a M ( s ′ + l )

2

4

1 . 2

（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的 40%，滑块与箱壁最多 可碰撞几次？ （2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？ 解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题 目给出的每次碰撞前后相对速度之比， 可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到 完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. （1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为 v，箱子对地速度为 u. 由于题中每次碰撞的 e 是一样的，故有：

e=

u vn u1 v1 u 2 v 2 = == n v0 u 0 v1 u1 v n1 u n 1 v un v1 u1 v 2 u 2 = == n v0 0 v1 u1 v n 1 u n 1 v un v1 u1 v 2 u 2 × ×× n v0 v1 u1 v n 1 u n1
n

( e) n =

① ②

1 [1 + (e) n ]v0 2

1 u n = [1 (e) n ]v0 2

E kn = E k E kn = =

1 2 1 2 2 mv0 m(v n + u n ) 2 2

1 2 1 2 mv0 mv0 (1 + e 2 n ) 2 4 2n 1 e 1 2 = × mv0 2 2 2n 1 e = Ek 2

E kl 1 e = = Ek 2
2

1 2 1 2 1

1 2 = 0.146 1 2 = 0.25 1 1 2 2 = 0.323 2

E 1 e4 n = 2时, k 2 = = Ek 2

E 1 e6 n = 3时, k 3 = = Ek 2

E 1 e8 n = 4时, k 4 = = Ek 2

1 2
1

1 4 = 0.375
1 1 4 2 = 0.412 2

E 1 e10 n = 5时, k 5 = = Ek 2

t0 =

L L L . 在下一次发生碰撞的时间 t1 = = ，共碰撞四次，另两次碰撞的时间 v0 | u1 v1 | ev0 L L L 2 3 、 t 3 = 3 ，所以总时间 t = t 0 + t1 + t 2 + t 3 = 3 (1 + e + e + e ). e v0 e v0 e v0
2

s = 0 + u1t1 + u 2 t 2 + u 3t 3

= =

1 L 1 L 1 L (1 + e)v0 × + (1 e 2 )v 0 × 2 + (1 + e 3 )v 0 × 3 2 ev0 2 e v0 2 e v0

L L L L L L + 2 + + 3+ 2e 2 2e 2 2e 2 L = 3 (1 + e + e 2 + e 3 ) 2e

L (1 + e + e 2 + e 3 ) v s 2e 3 所以平均速度为： v = = = 0 L 2 t (1 + e + e 2 + e 3 ) 3 e v0

② ③

p n 1V = p n (V + V0 )

n ○

V ) n p0 V + V0

p0 pn 所以n = V + V0 lg( ) v lg

lg 400 = 27 （次） lg 1.25
27 = 3.38 分钟 8

Q1 Q2 Q C Q1 C1 = ,即 1 = 1 , 亦即 = =k， C1 C 2 Q2 C 2 Q1 + Q2 C1 + C 2

k=

q . 根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. Q

q1 = kQ = q q 2 = k (Q + q1 ) = q + kq q 3 = k (Q + q 2 ) = kQ + kq 2 = q + kq + k 2 q

q n = k (Q + q n 1 ) = q + kq + k 2 q + + k n 1 q 由于 k < 1 ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：

qn =

q = 1 k

q 1 q Q

=

qQ Qq

qQ . Qq

Q E

Qq q = C1 C2

Qq (Q q ) E q2 = Qq Qq

(2 R + R ′)2 R = R′ 2R + R′ + 2R

R=

mv L = Bq 4

v=

BqL 4m s1 =

πL
4

2

Eq y m s2 = 2 y = B 2 qL2 16mE

s1 = π R =

πL
4

s 2 = s1 + s 2 =

πL
4

+

B 2 qL2 16mE + B 2 qL2 16mE

s3 = s1 + s 2 + s1 =

πL
2

B 2 qL2 + s 4 = 2 s1 + 2 s 2 = 2 8mE

πL

s ( 2 n1) = ns1 + (n 1) s 2 =

nπL B 2 qL2 + (n 1) 4 16mE s 2 n = n( s1 + s 2 ) = n(

πL
4

+

B 2 qL2 ) 16mE

1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力 F，历时 1 秒钟，随即

12．如图 6—21 所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω， ε =10V 求： （1）RAB=？ （2）电阻 R2 消耗的电功率应等于多少？ （3） Ri (i = 1,2,3, ,99) 消耗的电功率； （4）电路上的总功率. 13．试求如图 6—22 所示，框架中 A、B 两点间的电阻 RAB，此框架 是用同种细金属丝制作的，单位长的电阻为 r，一连串内接等边 三角形的数目可认为趋向无穷，取 AB 边长为 a，以下每个三角 形的边长依次减少一半. 14．图 6—23 中，AOB 是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌 面（图中纸面）上，夹角 α = 1° （为了能看清楚，图中的是 夸大了的）. 现将一质点在 BOA 面内从 C 处以速度 v = 5m / s

1．D 2．

H 2H 1 + k + 1 k 2 2H 1 k + 1 k 2 , + k (1 k ) g 2k (1 + k ) g 2k
4．9.79m 50m 5． 0.597 < < 0.622 6．21 块

3．

41 L 9
Q1 2

FL 49 m48

7．

8．0.065U 9．24.46K

q R

10． （1）I： 11． R AB

2 1 1 1 1 Cε [1 ( ) n ], Ⅱ Ⅲ： Cε [1 ( ) n ] （3） Cε 2 3 4 3 4 3 20 = ( 3 + 1) R 12． （1）10Ω （2）2.5W （3） i +1 (i = 1,3,5, ,99) ， 2

10 (i = 2,4, ,98) （4）10W 13．40Ω 2i 1 14． R AB = ( 7 1) ra 15． （1）60 次 （2）2s （3） 5 3m 3

06高中物理竞赛解题方法:递推法.doc
06高中物理竞赛解题方法:递推法 - 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 六、递推法 方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的...