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必修3同步练习题3.2.1、2古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型(含答案)

3.2.1、2 古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型

一、选择题 1.下列对古典概型的说法中正确的是( ) ②每个事件出现的可能性相等;

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ③每个基本事件出现的可能性相等;

k ④基本事件总数为 n,若随机事件 A 包含 k 个基本事件,则 P(A)=n. A.②④ [答案] [解析] B ②中所说的事件不一定是基本事件,所以②不正确;根据古典概型的定义及计算公式可 B.①③④ C.①④ D.③④

知①③④正确. 2.下列试验是古典概型的是( )

A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,4 球颜色除外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机投一点,该点落在圆面内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为:命中 10 环,命中 9 环,??命中 0 环 [答案] [解析] B 1 对于 A,发芽与不发芽概率不同;对于 B,摸到白球与黑球的概率相同,均为2;对于 C,

基本事件有无限个;对于 D,由于受射击运动员水平的影响,命中 10 环,命中 9 环,?,命中 0 环 的概率不等.因而选 B. 3.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,如果允许生育两胎,则某一育龄妇女两胎均是 女孩的概率是( 1 A.2 [答案] C [解析] 事件“该育龄妇女连生两胎”包含 4 个基本事件,即(男,男),(男,女),(女,男),(女, ) 1 B.3 1 C.4 1 D.5

1 女),故两胎均为女孩的概率是4. 4.从装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球的口袋内任取 1 个球,取到白球的概率为( 1 A.5 [答案] D 1 B.3 1 C.2 2 D.5 )

[解析]

2 任取 1 球,有 5 种取法,取到 1 个白球有两种可能,所以取到白球的概率为5. ) D.1

5.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( 1 A.2 [答案] C [解析] 1 B.3 2 C.3

列举基本事件,从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲、乙),(甲、丙),(乙、

2 丙),共 3 种;甲被选中的可能结果是(甲、乙),(甲、丙),共 2 种.所以 P(“甲被选中”)=3. 6.(2014· 陕西文,6)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该 正方形边长的概率为( 1 A.5 [答案] [解析] B 本题考查了古典概型. ) 2 B.5 3 C.5 4 D.5

“任取 2 个点”的所有情况有 10 种.而“距离小于正方形边长”的情况有 4 种(OA,OB,OC, OD), 4 2 所求概率为10=5.正确找出事件空间是关键. 二、填空题 7.盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别,现有 10 个人依次摸出 1 个球,设第一个摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1,第十个人摸出黑球的概率是 P10,则 P1 与 P10 的关系是________. [答案] [解析] P10=P1 1 1 第一个人摸出黑球的概率为10,第 10 个人摸出黑球的概率也是10,所以 P10=P1.

8.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小,形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽 到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 5 [答案] 8 [解析] 基本事件总数为以下 16 种情况:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4), 其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、 (3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 种,

10 5 所以所求概率为16=8. 三、解答题 9.某班数学兴趣小组有男生三名,分别记为 a1、a2、a3,女生两名,分别记为 b1、b2,现从中任选 2 名学生去参加校数学竞赛. (1)写出这种选法的基本事件空间; (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率. [解析] (1)从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去参加校数学竞赛, 其一切可能的结果组成的 (2)求参赛学生中恰有一名男生的概率;

基本事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1)(a3, b2),(b1,b2)}.Ω 由 10 个基本事件组成. (2)用 A 表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2, b2),(a3,b1),(a3,b2)}. 事件 A 由 6 个基本事件组成,故 P(A)= 6 =0.6. 10

(3)用 B 表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件,则 B={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1, 9 b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},事件 B 由 9 个基本事件组成,故 P(B)=10= 0.9.

一、选择题 1.将一枚质地均匀的硬币先后抛三次,恰好出现一次正面朝上的概率为( 1 A.2 [答案] C [解析] 总事件数为 8 个,分别为:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反), 1 B.4 3 C.8 5 D.8 )

(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).“恰好出现 1 次正面朝上”的事件为事 3 件 A,包括(正,反,反),(反,正,反)和(反,反,正)3 个.所以,所求事件的概率为8. 2.欲寄出两封信,现有两个邮箱供选择,则两封信都投到一个邮箱的概率是( 1 A.2 [答案] [解析] 种结果: 1 放在甲中,而 2 放在乙中;2 放在甲中,而 1 放在乙中,1、2 均放在甲中;1、2 均放在乙中.由 A 可记两封信为 1、2,两个邮箱为甲、乙,则寄出两封信,有两个邮箱供选择,有以下几 1 B.4 3 C.4 3 D.8 )

1 上可知,两封信都投到一个邮箱的结果数为 2.所以,两封信都投到一个邮箱的概率为2. 二、填空题 3.先后抛掷两粒均匀的骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数 分别为 x、y,则 log2xy=1 的概率为________. 1 [答案] 12 [解析] 要使 log2xy=1,必须满足 2x=y,即其中一粒骰子向上的点数是另一粒骰子向上点数的

2 倍,抛掷两粒均匀的骰子,共有 36 种等可能结果,其中构成倍数关系的点数是 1 与 2、2 与 4、3 3 1 与 6 共三种不同情况,故所求概率为 P=36=12. 4.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿, 则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为________. [答案] [解析] 0.2 “从中一次随机抽取 2 根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6)、(2.5,2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,

2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9),共 10 种等可能出现的结果,又“它 们的长度恰好相差 0.3m”包括:(2.5,2.8)、(2.6,2.9)2 种可能结果,由古典概型的概率计算公式可得所 求事件的概率为 0.2. 三、解答题 5.(2014· 天津文,15)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如下表:
一年级 男同学 女同学 A X 二年级 B Y 三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”, 求事件 M 发生的 概率. [分析] 列举出从 6 个不同元素中选出 2 个的所有可能结果,找出事件“选出的 2 人来自不同年

级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”对应的基本事件,由古典概型的概率公式求解. [解析] (1)从 6 名同学中随机选出 2 人,共有{(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,

C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)}共 15 种. (2)M 含基本事件为{(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)}共 6 种, 6 2 ∴P(M)=15=5. 6.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,

每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率. [解析] 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y,用(x,y)表示抽取结果,则所

有可能有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 种. (1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共 6 种. 6 3 故所求概率 P=16=8. 3 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为8. (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共 5 种. 5 故所求概率为 P=16. 5 答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为16. 7.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率. [解析] 读懂题意,研究是否为古典概型,列出所有可能情况,找到事件 A 包含的可能情况,所

有可能的情况共有 27 个,如图所示,据图可得结论.

(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的可能情况有 1×3=3 个,故 P(A) 3 1 =27=9. (2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的可能情况有 2×3=6 个,故 P(B) 6 2 =27=9.


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