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3.3.1几何概型1


数学是好“玩” 的……

情景1:
情景2:

转盘游戏

(研究指针位置)

一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为 30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的 时间为40秒,当你到达路口时,遇到 红灯和绿灯的概率那个大?为什么?

提出问题
思考:上述问题的概率是古典概型问题吗?

为什么?
古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件发生都是等可能的。
?

那么对于有无限多个试验结果 (不可数)的情况相应的概率应 如何求呢?

绿





绿 绿 绿 红

1、几何概型是怎样定义的? 如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度 (面积、体积)成正比,则称这样的概率模型为几何概率 模型.简称为几何模型。 2、几何模型计算公式
P( A) ? 构成事件A的区域长度(面积或体 积) 实验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

3、几何概型与古典概型有什么区别和联系?并举例 说明.

古典概型 试验中所有可能出现 的基本事件只有有 限个

几何概型

所有基本事件 的个数

试验中所有可能出 现的基本事件有无 限个

每个基本事件 发生的可能性

每个基本事件出现的 可能性相等

每个基本事件出现 现的可能性相等

概率的计算公 式

事件A所包含的基本 P( A) ? 事件个数 基本事件总数
P( A) ?

构成事件A的区域长度

( 面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域 长度( 面积或体积)

概率为0的事件一定是不可能事件,概率为 1的事件一定是必然事件,这句话正确么?
如果随机事件所在区域是一个单点,由于单 点的长度,面积,体积均为0,则出现的概率 为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事 件所在区域是全部扣除一个点,则它出现的 概率为1,但它不是必然事件

辨一辨
先判断是何种概率模型,再求相应概率.

(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取 一点P,则P(|PM|≤10)= .
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10 (2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6

自主检测
1.转盘游戏中,指针指向红色区域的概率是

2.在区间[0,10]中任意取一个数,则它与4之和大于 10的概率是

3.已知地铁列车每10分钟一班,在车站停1分钟,则 乘客到达站台立即上车的概率是

4.如图,在一个边长为a、b的矩形内画一个梯形, 梯形上、下底边分别为,高为b .向该矩形内随机投一 点,则所投的点落在梯形内部的概率为
a/3 b a/2

5.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方 形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 6.在1000mL的水中有一个草履虫,现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率.

例1
某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台 整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A发生的区域为时间段[50,60]

P( A) ?

等待的时间不多于 分钟时间长度 10 1 10 = ? 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6

例2 某公共汽车站 每隔15分钟有一辆 汽车到达,乘客到 达车站的时刻是任 意的,求一个乘客 到达车站后候车时 间大于10 分钟的概 率?

例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达, 乘客到达车站的时刻是任意的,求一个乘客到达 车站后候车时间大于10 分钟的概率? 分析:把时刻抽象为点,时间抽象为线段,故可 以用几何概型求解。 T1 T T2 解:设上辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻 T2到达,线段T1T2的长度为15,设T是T1T2上的点, 且T1T=5,T2T=10,如图所示:·

记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达 车站的时刻落在线段T1T上时,事件发生,区域D的 测度为15,区域d的测度为5。 所以 d 的测度 5 1

P( A) ?

D 的测度 15

?

?

3

答:侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.

变式:1.假设题设条件不变,求候车时间 不超过10分钟的概率.
分析:
T1 T T2

d 的测度 10 2 P( A) ? ? ? D 的测度 15 3

2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达,并且出发 前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的, 求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率? T0 T1 T T2 分析:设上辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时 刻T0到达,T2时刻出发。线段T1T2的长度为15,设T 是T1T2上的点,且T0T2=3,TT0=10,如图所示:· 记候 车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的 时刻落在线段T1T上时,事件A发生,区域D的测度为 15,区域d的测度为15-3-10=2。 所以

d 的测度 2 P( A) ? ? D 的测度 15

巩固练习
1.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了, 刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常, 若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确 时间,求不能看到准确时间的概率. 1/6

巩固练习
2.在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任 作一条射线OA,求射线OA落在∠XOT内的概率。
60? 1 方法1: P( A) ? ? (角度法) ? 360 6

60

0

?

3 ? 1 (弧长法) 方法2 : P( A) ? 2? r 6

r

1 ? ? r ?r 1 2 3 方法3: P( A) ? ? (面积法) 2 ?r 6

3.在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒,现 从中随机取出1升水,那么这1升水中含有病 毒的概率是多少?你是怎样计算的?

我的收获
1.几何概型的特征 几何概型中所有可能出现的基本事件有 每个基本事件出现的可能性 相等 无限 个;

.

2.几何概型的定义 如果某个事件发生的概率只与构成该事 件区域的几何度量(长度、面积或 体积) 成正比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型。 3.几何概型的概率计算公式

?A P( A) ? ??

4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.

解题步骤
记事件 构造几何图形 计算几何度量

下结论

求概率

1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻, 分别计算它落到阴影部分的概率.

P? 1

1

?

3 P2 ? 8

2.取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大?

1 P ( A) ? 3
3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,

求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1
的概率.

? P ? 8

4. 在一个5000km2的海域里有面积达40 km2 的大陆架蕴藏着石油,在这个海域里随意选 定一点钻探,钻出石油的概为 0.008 .

思考题:

有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行,且它
停在任意一点的可能性相等,已知圆形区域的半径为2,

蚂蚁停在圆形内的概率为0.1,求图中五角星的面积.
(计算结果保留π) 解:记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,
? P ( A) ? S圆 S五 角 星

S圆 ? ? 22 ? S五 角 星 ? ? ? 40? P ( A) 0.1


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