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2019年高三一轮总复习理科数学课件:7-2空间几何体的表面积与体积 (数理化网)_图文

2019高三一轮总复习

数 学(理)
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌

必修部分
第七章 立体几何
第二节 空间几何体的表面积与体积

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1

栏 目 导 航

考情分析

1 3

考点疑难突破

基础自主梳理

2 4 课时跟踪检测

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2

1

考 情 分 析

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3

考点分布

考纲要求

考点频 率

命题趋势

空间几何 1.认识柱、锥、台、球及 体的表 面积 其简单组合体的结构特 5年38考 柱、锥、台、 征.能正确描述现实生 活中简单物体的结构. 空间几何 2.了解球、柱、锥、台 缘份让你看到我在这里
4

球等简单几 何体的表面 积与体积(尤

2

基础自主梳理

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5

「基础知识填一填」 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 侧面 展开图 侧面 积公式
πrl 2πrl S 圆柱侧=______ S 圆锥侧=_____

圆锥

圆台

S 圆台侧=
π(r+r′)l _____________

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6

2.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 S 表面积=S 侧+S 上+S 下 S=________
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体积 V=_____ Sh

1 Sh V=_________ 3
1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3

4πR2

4 3 πR V=___________ 3
7

「应用提示研一研」 1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 3 (1)外接球:球心是正方体中心;半径 r= a(a 为正方体的棱长). 2 a (2)内切球:球心是正方体中心;半径 r= (a 为正方体的棱长). 2 2 (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径 r= a(a 为正方体的棱长). 2

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8

2.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) 6 外接球:球心是正四面体的中心;半径 r= a(a 为正四面体的棱长). 4 6 内切球:球心是正四面体的中心;半径 r= a(a 为正四面体的棱长). 12 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2.

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9

「基础小题练一练」 1.圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的表面积为( A.6π(4π+3) B.8π(3π+1) C.6π(4π+3)或 8π(3π+1) D.6π(4π+1)或 8π(3π+2) )

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10

解析:分两种情况: ①以长为 6π 的边为高时,4π 为圆柱底面周长, 则 2πr=4π,r=2, 所以 S 底=4π,S 侧=6π×4π=24π2,S 表=2S 底+S 侧=8π+24π2=8π(3π+1); ②以长为 4π 的边为高时,6π 为圆柱底面周长, 则 2πr=6π,r=3.所以 S 底=9π,S 表=2S 底+S 侧=18π+24π2=6π(4π+3).故选 C.

答案:C
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2.正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( 2 A. 2 3 2 C. 3 B. 2 4 D. 2 3

)

解析:因为正三棱锥的侧面均为直角三角形,故侧面为等腰直角三角形,且直角 顶点为棱锥的顶点, 1 1 2 2 所以侧棱长为 2,V= × ×( 2) × 2= .故选 C. 3 2 3

答案:C
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3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3, AA1=1,则球面面积为________.
解析:因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,则外接球的直
2 径是长方体的体对角线,而长方体的体对角线的长为 AB2+AD2+AA1 =2 2,所以

半径 R= 2,则球面面积为 4πR2=8π.

答案:8π

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13

4 .若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3,则这个圆锥的全面积为 ________.
解析:已知正三角形的面积求其边长,然后利用圆锥的母线,底面半径与轴截面 三角形之间的关系,根据圆锥的全面积公式可求. 3 2 如图所示,设圆锥轴截面三角形的边长为 a,则 a = 3, 4 ∴a2=4,∴a=2.则 r=1,∴S 全=π×12+π×1×2=3π.

答案:3π
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3

考点疑难突破

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15

空间几何体的表面积

[题 组 训 练] 1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

A.8+2 2 C.14+2 2

B.11+2 2 D.15

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16

解析:由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所 示.直角梯形斜腰长为 12+12= 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 2×(4+ 2) 1 =8+2 2, 两底面的面积和为 2× ×1×(1+2)=3, 所以该几何体的表面积为 8+ 2 2 +3=11+2 2.

答案:B
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2.某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积为(

)

A.12 5 C.24

B.24 2 D.12 3
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解析:由三视图得,这是一个正四棱台, 由条件知斜高 h= 22+12= 5, ?2+4?× 5 侧面积 S= ×4=12 5. 2

答案:A

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19

3.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 28π 径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( 3 )

A.17π C.20π

B.18π D.28π
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1 解析:由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体,设球的半径为 8 7 4 3 28 7 3 2 2 r,故 × πr = π,所以 r=2,表面积 S= ×4πr + πr =17π,选 A. 8 3 3 8 4

答案:A

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21

几何体的表面积的求法 (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题,即空间图形平面化, 这是解决立体几何的主要出发点. (2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体, 先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.

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22

空间几何体的体积

[题 组 训 练] 1.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分 体积与剩余部分体积的比值为(
1 A. 8 1 C. 6

)
1 B. 7 1 D. 5
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解析: 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部 分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为 1,则三棱锥的体积为 V1 1 1 1 = × ×1×1×1= , 3 2 6 1 5 剩余部分的体积 V2=1 - = . 6 6
3

1 V1 6 1 所以 = = . V2 5 5 6

答案:D
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2.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(

)

1 A. 6 1 C. 2

1 B. 3 D.1

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25

解析:由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥 A-BCD,将其放在长方体中如 图所示,其中 BD=CD=1,CD⊥平面 ABD,则三棱锥的高为 CD=1,所以三棱锥 1 1 1 的体积为 × ×1×1×1= ,故选 A. 3 2 6

答案:A
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3.(2018 届陕西西安第一次质量检测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为( )

4 A. 3 7 C. 3

5 B. 2 D.3

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27

解析:根据几何体的三视图,得该几何体是下部为直三棱柱,上部为三棱锥的组 1 1 1 合体,如图所示,则该几何体的体积是 V 几何体=V 三棱柱+V 三棱锥= ×2×1×1+ × 2 3 2 4 ×2×1×1= . 3

答案:A
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有关几何体体积的类型及解题策略

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29

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30

与球有关的切、接问题

[考 向 锁 定] 与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的难点、易失分点,命题角 度多变. 常见的命题角度有 (1)正方体(长方体)的内切、外接球; (2)直三棱柱的外接球; (3)正四面体的内切球与四棱锥的外接球.
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[多 维 视 角] 角度一 正方体(长方体)的内切、外接球 如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为( )

6 A. π 6 π C. 6

π B. 3 3 D. π 3
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【解析】 平面 ACD1 截球 O 的截面为△ACD1 的内切圆.因为正方体的棱长为 2 6 1,所以 AC=CD1=AD1= 2,所以内切圆的半径 r= ×tan30° = , 2 6

1 π 所以 S=πr =π× = . 6 6
2

【答案】 C
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角度二

直三棱柱的外接球 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=

3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( 3 17 A. 2 13 C. 2 B.2 10 D.3 10

)

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34

1 【解析】 如图,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M.又 AM= 2 5 1 BC= ,OM= AA1=6,所以球 O 的半径 R=OA= 2 2
?5? 13 ? ?2 2 ?2? +6 = 2 . ? ?

【答案】 C
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角度三 正四面体的内切球与四棱锥的外接球 (2017 届长春模拟)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面 S1 积为 S2,则 =________. S2

3 2 【解析】 设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4× ×a = 3a2, 4

1 1 6 6 其内切球半径为正四面体高的 ,即 r= × a= a,因此内切球表面积为 S2=4πr2 4 4 3 12 πa 2 S1 3a2 6 3 = ,则 = = . 6 S2 π 2 π a 6 6 3 【答案】 π

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36

“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点, 通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角 面来作. (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题. 解决这类问题的关键是 抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
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[自 主 演 练] 1.(2018 届河南省六市第一次联考)三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= 15,AC=6, PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为( 25 A. π 3 83 C. π 3 25 B. π 2 83 D. π 2 )

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38

解析:由题可知,△ABC 中 AC 边上的高为 15-32= 6,球心 O 在底面 ABC 的投影即为△ABC 的外心 D,设 DA=DB=DC=x,所以 x2=32+( 6-x)2,解得 x
?PC? 5 83 ? ?2 75 2 2 = 6, 所以 R =x +? 2 ? = +1= (其中 R 为三棱锥外接球的半径), 所以外接球 4 8 8 ? ?

83 的表面积 S=4πR = π,故选 D. 2
2

答案:D

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39

2.(2018 届唐山统一考试)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面 积为( )

A.2 C. 2

B.1 2 D. 2
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解析:由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为截面圆的直径,所以 ∠BAC=90° , △ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点, 同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 x x 的中点.设正方形 BCC1B1 边长为 x,在 Rt△OMC1 中,OM= ,MC1= ,OC1=R= 2 2 1(R
?x? ? ? ? ?2 ? x ?2 为球的半径),所以?2? +?2? =1,即 ? ? ? ?

x= 2,则 AB=AC=1,所以 S 矩形 ABB1A1

= 2×1= 2.

答案:C
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