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阻抗匹配与史密斯圆图


阻抗匹配与史密斯(Smith)圆图
摘要:本文利用史密斯圆图作为 RF 阻抗匹配的设计指南。文中给出了反射系数、阻抗和导 纳的作图范例,并给出了 MAX2472 工作在 900MHz 时匹配网络的作图范例。事实证明,史 密斯圆图仍然是确定传输线阻抗的基本工作。
在处理 RF 系统的实际应用问题时,总会遇到一些非常困难的工作,对各部分级联电路 的不同阻抗进行匹配就是其中之一。 一般情况下, 需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放 大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO 输出与混 频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。 在高频端,寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具 有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时,理论计算和仿真已经远远不能满足 要求,为了得到适当的最终结果,还必须考虑在实验室中进行 RF 测试、并进行适当调谐。 需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。 有很多种阻抗匹配的方法,包括: 计算机仿真: 由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配, 所以使用起来比较复杂。 设 计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。 设计人员还需要具有从大量的输出结果中找到 有用数据的技能。另外,除非计算机是专门为这个用途制造的,否则电路仿真软件不可能预 装在计算机上。 手工计算: 这是一种极其繁琐的方法, 因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、 并且被处理的 数据多为复数。 经验: 只有在 RF 领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之,它只适合于资深的专家。 史密斯圆图: 本文要重点讨论的内容。 本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识,并且总结它在实际中的应用方 法。讨论的主题包括参数的实际范例,比如找出匹配网络元件的数值。当然,史密斯圆图不 仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络, 还能帮助设计者优化噪声系数, 确定品质因数 的影响以及进行稳定性分析。

图 1. 阻抗和史密斯圆图基础
基础知识: 在介绍史密斯圆图的使用之前,最好回顾一下 RF 环境下(大于 100MHz) IC 连线的电磁 波传播现象。这对 RS-485 传输线、PA 和天线之间的连接、LNA 和下变频器/混频器之间的连 接等应用都是有效的。 大家都知道, 要使信号源传送到负载的功率最大, 信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗, 即: RS + jXS = RL - jXL

图 2. 表达式 RS + jXS = RL - jXL 的等效图
在这个条件下,从信号源到负载传输的能量最大。另外,为有效传输功率,满足这个条 件可以避免能量从负载反射到信号源,尤其是在诸如视频传输、RF 或微波网络的高频应用 环境更是如此。 史密斯圆图: 史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。 正确的使用它, 可以在不作任何计算的 前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗, 唯一需要作的就是沿着圆周线读取并 跟踪数据。 史密斯圆图是反射系数(伽马,以符号 Γ 表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上 定义为单端口散射参数,即 s11。 史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。 这里我们不直接考虑阻抗, 而是用反射 系数 Γ L,反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导),在处理 RF 频率的问题时

Γ L 更加有用。 我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:

图 3. 负载阻抗
负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。 反射系数的表达式定义 为:

由于阻抗是复数,反射系数也是复数。 为了减少未知参数的数量, 可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。 这里 Z0 (特性阻抗)通常为常数并且是实数,是常用的归一化标准值,如 50Ω 、75Ω 、100Ω 和 600Ω 。于是我们可以定义归一化的负载阻抗:

据此,将反射系数的公式重新写为:

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复 数,所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。 为了建立圆图,方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。 首先,由方程 2.3 求解出:

并且

令等式 2.5 的实部和虚部相等,得到两个独立的关系式:

重新整理等式 2.6,经过等式 2.8 至 2.13 得到最终的方程 2.14。这个方程是在复平面 (Γ r, Γ i)上、圆的参数方程(x - a)? + (y - b)? = R?,它以[r/(r + 1), 0]为圆心,半 径为 1/(1 + r)。

更多细节参见图 4a:

图 4a. 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如,r = 1 的圆,以(0.5, 0)为圆心, 半径为 0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配)。以(0, 0)为 圆心、半径为 1 的圆代表负载短路。负载开路时,圆退化为一个点(以 1, 0 为圆心,半径为 零)。与此对应的是最大的反射系数 1,即所有的入射波都被反射回来。
在作史密斯圆图时,有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面: 所有的圆周只有一个相同的,唯一的交点(1, 0)。 代表 0Ω 、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。

无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0) 实际中没有负的电阻,如果出现负阻值,有可能产生振荡。 选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。 作图: 经过等式 2.15 至 2.18 的变换,2.7 式可以推导出另一个参数方程,方程 2.19。

同样,2.19 也是在复平面(Γ r, Γ i)上的圆的参数方程(x - a)? + (y - b)? = R?, 它的圆心为(1, 1/x),半径 1/x。 更多细节参见图 4b:

图 4b. 圆周上的点表示具有相同虚部 x 的阻抗。例如,× = 1 的圆以(1, 1)为圆心, 半径为 1。所有的圆(x 为常数)都包括点(1, 0)。与实部圆周不同的是,x 既可以是正数也 可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上 1 点的垂直线上。
完成圆图: 为了完成史密斯圆图, 我们将两簇圆周放在一起。 可以发现一簇圆周的所有圆会与另一 簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为 r + jx,只需要找到对应于 r 和 x 的两个圆周的交点

就可以得到相应的反射系数。 可互换性: 上述过程是可逆的,如果已知反射系数,可以找到两个圆周的交点从而读取相应的 r 和×的值。过程如下: 确定阻抗在史密斯圆图上的对应点 找到与此阻抗对应的反射系数(Γ ) 已知特性阻抗和 Γ ,找出阻抗 将阻抗转换为导纳 找出等效的阻抗 找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件,见图 7) 推论: 因为史密斯圆图是一种基于图形的解法, 所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。 下 面是一个用史密斯圆图表示的 RF 应用实例: 例: 已知特性阻抗为 50Ω ,负载阻抗如下: Z1 = 100 + j50Ω Z2 = 75 - j100Ω Z3 = j200Ω Z4 = 150Ω Z8 = 184 - j900Ω

Z5 = ∞ (an open circuit) Z6 = 0 (a short circuit) Z7 = 50Ω

对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图 5):

z1 = 2 + j z5 = 8

z2 = 1.5 - j2 z3 = j4 z4 = 3 z6 = 0 z7 = 1 z8 = 3.68 - j18

图 5. 史密斯圆图上的点
现在可以通过图 5 的圆图直接解出反射系数 Γ 。 画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交 点),只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影,就得到了反射系数的实部 Γ r 和 虚部 Γ i (见图 6)。 该范例中可能存在八种情况,在图 6 所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数 Γ :

Γ Γ

1

= 0.4 + 0.2j Γ = 1 Γ

2

= 0.51 - 0.4j Γ = -1 Γ

3

= 0.875 + 0.48j Γ = 0 Γ

4

= 0.5 = 0.96 - 0.1j

5

6

7

8

图 6. 从 X-Y 轴直接读出反射系数 Γ 的实部和虚部
用导纳表示: 史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。 一旦做出了史密斯圆图, 就可以用它分析串 联和并联情况下的参数。 可以添加新的串联元件, 确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到 它们相应的数值即可。然而,增加并联元件时分析过程就不是这么简单了,需要考虑其它的 参数。通常,利用导纳更容易处理并联元件。 我们知道,根据定义 Y = 1/Z,Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧或者 Ω-1 (早些时候导纳的单 位是西门子或 S)。并且,如果 Z 是复数,则 Y 也一定是复数。 所以 Y = G + jB (2.20),其中 G 叫作元件的“电导”,B 称“电纳”。在演算的时候应该小 心谨慎, 按照似乎合乎逻辑的假设, 可以得出: = 1/R 及 B = 1/X, G 然而实际情况并非如此, 这样计算会导致结果错误。 用导纳表示时,第一件要做的事是归一化, y = Y/Y0,得出 y = g + jb。但是如何计算 反射系数呢?通过下面的式子进行推导:

结果是 G 的表达式符号与 z 相反,并有 Γ (y) = -Γ (z)。 如果知道 z,就能通过将它的符号取反找到一个与(0, 0)的距离相等但在反方向的点。 围绕原点旋转 180°可以得到同样的结果(见图 7)。

图 7. 180°度旋转后的结果
当然,表面上看新的点好像是一个不同的阻抗,实际上 Z 和 1/Z 表示的是同一个元件。 (在史密斯圆图上, 不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数, 依次类推)出现这种情况 的原因是我们的图形本身是一个阻抗图, 而新的点代表的是一个导纳。 因此在圆图上读出的 数值单位是西门子。 尽管用这种方法就可以进行转换,但是在解决很多并联元件电路的问题时仍不适用。 导纳圆图: 在前面的讨论中,我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以 Γ 复平面原点为中心 旋转 180°后得到与之对应的导纳点。 于是, 将整个阻抗圆图旋转 180°就得到了导纳圆图。 这种方法十分方便,它使我们不用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆) 自然出现在点(-1, 0)。使用导纳圆图,使得添加并联元件变得很容易。在数学上,导纳圆 图由下面的公式构造:

解这个方程:

接下来,令方程 3.3 的实部和虚部相等,我们得到两个新的独立的关系:

从等式 3.4,我们可以推导出下面的式子:

它也是复平面(Γ r, Γ i)上圆的参数方程(x - a)? + (y - b)? = R? (方程 3.12),以 [g/(g + 1), 0]为圆心,半径为 1/(1 + g)。 从等式 3.5,我们可以推导出下面的式子:

同样得到(x - a)? + (y - b)? = R?型的参数方程(方程 3.17)。 求解等效阻抗: 当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时, 可以使用同一个史密斯圆图, 在需要进 行从 z 到 y 或从 y 到 z 的转换时将图形旋转。 考虑图 8 所示网络(其中的元件以 Z0 = 50Ω 进行了归一化)。串联电抗(x)对电感元件 而言为正数,对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数,对电感元件而言 为负数。

图 8. 一个多元件电路
这个电路需要进行简化(见图 9)。从最右边开始,有一个电阻和一个电感,数值都是 1, 我们可以在 r = 1 的圆周和 I=1 的圆周的交点处得到一个串联等效点,即点 A。下一个元 件是并联元件,我们转到导纳圆图(将整个平面旋转 180°),此时需要将前面的那个点变成 导纳,记为 A'。现在我们将平面旋转 180°,于是我们在导纳模式下加入并联元件,沿着电 导圆逆时针方向(负值)移动距离 0.3,得到点 B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到 阻抗圆图。

图 9. 将图 8 网络中的元件拆开进行分析
在返回阻抗圆图之前, 还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳), 变换之后得到的点 记为 B',用上述方法,将圆图旋转 180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离 1.4 得到点 C 就增加了一个串联元件, 注意是逆时针移动(负值)。 进行同样的操作可增加下一个元件(进 行平面旋转变换到导纳), 沿着等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。 这 个点记为 D。最后,我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的 值,z,位于 0.2 电阻圆和 0.5 电抗圆的交点。至此,得出 z = 0.2 + j0.5。如果系统的特 性阻抗是 50Ω ,有 Z = 10 + j25Ω (见图 10)。

图 10. 在史密斯圆图上画出的网络元件
逐步进行阻抗匹配: 史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。 这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的 过程。此时,两端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的,如图 11 所示。我们的目标是在两 者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。

图 11. 阻抗已知而元件未知的典型电路
初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。 但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹 配网络具有类似的效果,而且还需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、品质因数和有限 的可选元件)。 实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元件、 直到得到我们想要的 阻抗。从图形上看,就是找到一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样,说明这种方法的最 好办法是给出一个实例。 我们的目标是在 60MHz 工作频率下匹配源阻抗(ZS)和负载阻抗(zL) (见图 11)。网络结 构已经确定为低通,L 型(也可以把问题看作是如何使负载转变成数值等于 ZS 的阻抗,即 ZS 复共轭)。下面是解的过程:

图 12. 图 11 的网络,将其对应的点画在史密斯圆图上
要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗,选择一个与负载/信号 源的数值在同一量级的阻抗值。假设 Z0 为 50Ω 。于是 zS = 0.5 - j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 - j0.5。 下一步,在图上标出这两个点,A 代表 zL,D 代表 z*S 然后判别与负载连接的第一个元件(并联电容),先把 zL 转化为导纳,得到点 A'。 确定连接电容 C 后下一个点出现在圆弧上的位置。由于不知道 C 的值,所以我们不知 道具体的位置, 然而我们确实知道移动的方向。 并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向 移动、直到找到对应的数值,得到点 B (导纳)。下一个元件是串联元件,所以必需把 B 转换 到阻抗平面上去,得到 B'。B'必需和 D 位于同一个电阻圆上。从图形上看,从 A'到 D 只有 一条路径,但是如果要经过中间的 B 点(也就是 B'),就需要经过多次的尝试和检验。在找到

点 B 和 B'后,我们就能够测量 A'到 B 和 B'到 D 的弧长,前者就是 C 的归一化电纳值,后 者为 L 的归一化电抗值。 A'到 B 的弧长为 b = 0.78, B = 0.78 ×Y0 = 0.0156S。 则 因为 ωC = B, 所以 C = B/ω = B/(2πf) = 0.0156/[2π(60 × 10 )] = 41.4pF。 B 到 D 的弧长为×= 1.2, 于是 X = 1.2 × Z0 = 60Ω。由 ωL = X, L = X/ω = X/(2πf)= 60/[2π(60 得 × 10 )] = 159nH。
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图 13. MAX2472 典型工作电路
第二个例子是 MAX2472 的输出匹配电路, 匹配于 50Ω 负载阻抗(zL), 工作频率为 900MHz (图 14 所示)。该网络采用与 MAX2472 数据资料相同的配置结构,上图给出了匹配网络,包 括一个并联电感和串联电容,以下给出了匹配网络元件值的查找过程。

图 14. 图 13 所示网络在史密斯圆 a 图上的相应工作点
首先将 S22 散射参数转换成等效的归一化源阻抗。MAX2472 的 Z0 为 50Ω ,S22 = 0.81/-29.4°转换成 zS = 1.4 - j3.2, zL = 1 和 zL* = 1。 下一步,在圆图上定位两个点,zS 标记为 A,zL*标记为 D。因为与信号源连接的是第一 个元件是并联电感,将源阻抗转换成导纳,得到点 A’。 确定连接电感 LMATCH 后下一个点所在的圆弧,由于不知道 LMATCH 的数值,因此不能确定圆 弧终止的位置。但是,我们了解连接 LMATCH 并将其转换成阻抗后,源阻抗应该位于 r = 1 的 圆周上。由此,串联电容后得到的阻抗应该为 z = 1 + j0。以原点为中心,在 r = 1 的圆 上旋转 180°,反射系数圆和等电纳圆的交点结合 A’点可以得到 B (导纳)。B 点对应的阻 抗为 B’点。 找到 B 和 B'后, 可以测量圆弧 A'B 以及圆弧 B'D 的长度, 第一个测量值可以得到 LMATCH。

电纳的归一化值,第二个测量值得到 CMATCH 电抗的归一化值。圆弧 A'B 的测量值为 b = -0.575, = -0.575 ×Y0 = 0.0115S。 B 因为 1/ωL = B, LMATCH = 1/Bω = 1/(B2πf) = 1/(0.01156 则 × 2 × π × 900 × 106) = 15.38nH, 近似为 15nH。 圆弧 B'D 的测量值为×= -2.81, = -2.81 × Z0 X = -140.5Ω。因为-1/ωC = X,则 CMATCH = -1/Xω = -1/(X2πf) = -1/(-140.5 × 2 × π × 900 × 106) = 1.259pF,近似为 1pF。这些计算值没有考虑寄生电感和寄生电容,所得到的数值接近与数 据资料中给出的数值: LMATCH = 12nH 和 CMATCH = 1pF。 总结: 在拥有功能强大的软件和高速、 高性能计算机的今天, 人们会怀疑在解决电路基本问题 的时候是否还需要这样一种基础和初级的方法。 实际上, 一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识, 更应该具有利用各种资源解决问题 的能力。在程序中加入几个数字,然后得出结果,的确是件容易的事情,尤其是当问题的解 十分复杂、并且不是唯一时,让计算机作这样的工作就更加方便。然而,如果能够理解计算 机的工作平台所使用的基本理论和原理, 知道它们的由来, 这样的工程师或设计者就能够成 为更加全面和值得信赖的专家,得到的结果也更加可靠。


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