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金融工程-第11章-期权定价的BS公式


金融工程 Financial Engineering
金融工程课程组

第11章 股票期权定价的B-S公式
本章导读 股票价格如何变化的假设 预期收益率和波动率及其估计 B-S公式的基本假设及推导 风险中性定价及其应用 隐含波动率和波动率产生的原因 红利的影响

11.1 从离散时间到连续时间

二叉树模型假设未来只发生一次变化,要么上 涨,要么下跌 现实情况:每时每刻都在变动,变动的幅度也 不确定

股票价格如何变化的假设

对数正态分布

对数正态分布和正态分布

未来股票价格分布

未来股票价格的期望值和方差

股票价格变化假设:连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性

dS ? ?Sdt ? ?Sdz ?2 d ln S ? ( ? ? )dt ? ?dz
2
2 ? ln ST ~ [ln S ? ( ? ? )(T ? t ),? T ? t ] 2
2

ln ST ? ln S ~ ?[(? ?

?2

)(T ? t ),? T ? t ]

期望值

方差
2 2 ? (T ?t )

E(ST ) ? Se

? (T ?t )

var(ST ) ? S e

[e

? 2 (T ?t )

? 1]

例子

例子

练习

11.2 预期收益率和波动率及其估



A、预期收益率
风险中性定价:预期收益率无关

算术平均收益率和几何平均收益率

B、波动率

波动率的估计

波动率的估计

波动率估计的注意事项

11.3 B-S公式的基本假设及推



BS模型推导

Black-Scholes微分方程的正式推导
dS ? ?Sdt ? ?Sdz
?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?f df ? ( ?S ? ? ? S ) dt ? ?Sdz 2 ?S ?t 2 ?S ?S
?S ? ?S?t ? ?S?z
?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ?f ? ( ?S ? ? ? S ) ? t ? ?S?z 2 ?S ?t 2 ?S ?S

证券组合: 衍生证券:-1 ?f 股票: ?

?S

Black-Scholes微分方程
?f ? ? ? f ? ?S S
?f 1 ? 2 f 2 2 ?? ? (? ? ? S )?t 2 ?t 2 ?S

?? ? ??f ?

?f ?S ?S

?? ? r? ?t

?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ( ? ? S )?t ? r ( f ? S )?t 2 ?t 2 ?S ?S

?f ?f 1 2 2 ? 2 f ? rS ? ? S ? rf 2 ?t ?S 2 ?S

Black-Scholes微分方程
解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件

欧式看涨期权,当t=T时:

f ? max(S ? X ,0)

欧式看跌期权,当t=T时:

f ? max(X ? S ,0)

B-S公式

N(x)的计算

Black-Scholes公式的性质
股票价格S很大时 期望看涨期权价格
S ? Xe? rT

波动率趋近于0
看涨期权盈利状况 现值

max[SerT ? X ,0]

e?rT max[SerT ? X ,0] ? max[S ? Xe?rT ,0]
c ? S ? Xe? rT

练习

11.4 风险中性定价及其应用

Black-Scholes微分方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变 量。 方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风 险利率;都独立于风险偏好。 假设:所有的投资者都是风险中性的。

风险中性定价步骤

应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值
f ?e
f ?e
?
? rT

ST ? K

E ( ST ? K )
E ( ST ) ? Ke ?rT
?

?

? rT

E ( ST ) ? SerT

f ? S ? Ke ? rT

应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为
E[max( S T ? X ,0)]
?

c?e

? r (T ? t )

E[max( ST ? X ,0)]

?

ln ST ~ ?[ln S ? r ?

?2
2

(T ? t ),? T ? t ]

11.5 隐含波动率
隐含波动率:在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。

计算隐含波动率

波动率产生的原因

Fama&French的研究

波动率计算的时间问题

11.6 红利的影响

有红利的欧式期权

有红利的欧式看涨期权

有红利的美式看涨期权

Black近似

例子


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