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高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用


高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一:已知椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

两焦点分别为 F1 , F 2 , 设焦点三

角形 PF 1 F 2 中 ? F1 PF 2 ? ? , 则 S ? F PF ? b 2 tan
1 2

?
2

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? (2c)

2

? F1 F 2

2

? PF 1

2

? PF 2

2

? 2 PF 1 PF 2 cos ?

? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos ? )
2

? PF 1 PF 2 ?

( PF 1 ? PF 2 ) ? 4 c
2

2

2 (1 ? cos ? )
b
2

?

4a

2

? 4c

2

2 (1 ? cos ? )

?

2b

2

1 ? cos ?

? S ? F1 PF 2 ?

1 2

PF 1 PF 2 sin ? ?

1 ? cos ? x a
2 2

? b tan
2

?
2

性质二:已知椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

左右两焦点分别为 F1 , F 2 , 设焦

点三角形 PF 1 F 2 ,若 ? F1 PF 2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点 证明:设 P ( x o , y o ) ,由焦半径公式可知: PF 1 ? a ? ex o , PF 1 ? a ? ex o 在 ? F1 PF 2 中, cos ? ?
PF 1
2

? PF 1

2

? F1 F 2

2

?

( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 ? 4 c
2

2

2 PF 1 PF 2
4a
2

2 PF 1 PF 2
4b
2

?

? 4c

2

?1 ?

2 PF 1 PF 2

2 ( a ? ex o )( a ? ex o )

?1=

2b a
2

2 2 2

? e xo

?1

? ?a ? x0 ? a

? xo ? a
2

2

性质三:已知椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

两焦点分别为 F1 , F 2 , 设焦点三

角形 PF 1 F 2 中 ? F1 PF 2 ? ? , 则 cos ? ? 1 ? 2 e 2 .

证明:设 PF

1

? r1 , PF 2 ? r2 , 则在 ? F1 PF 2 中,由余弦定理得:
r1 ? r2 ? F1 F 2
2 2 2

cos ? ?

?

( r1 ? r2 ) ? 2 r1 r2 ? 4 c
2

2

?

2a

2

? 2c

2

?1

2 r1 r2

2 r1 r2

2 r1 r2

1

?

2a 2(

2

? 2c 2

2

r1 ? r 2

?1 ?
2

2a

2

? 2c
2

2

? 1 ? 1 ? 2e .
2

命题得证。

)

2a

已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两焦点分别为 F1 , F 2 ,

若椭圆上存在一点 P , 使得

? F1 PF 2 ? 120 , 求椭圆的离心率 e
0

的取值范围。
? 1 ? 2e . 即 ?
2

简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos 120 0
于是得到 e 的取值范围是 ?
x a
2 2

1 2

? 1 ? 2e

2

,

?

? ,1 ? . ? ? 2 ? 3

性质四:已知椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

两焦点分别为 F1 , F 2 , 设焦点三
sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?

角形 PF 1 F 2 , ? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?
? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ? ? ,
F 1F 2 sin( 180
o



由正弦定理得:

?? ? ?)

?

PF 2 sin ?

?

PF

1

sin ?

由等比定理得:

F 1F 2 sin( ? ? ? ) 2c sin( ? ? ? )

?

PF

1

? PF 2

sin ? ? sin ? PF ? PF 2 2a sin ? ? sin ?



F 1F 2 sin( ? ? ? )
c a ?

?



1

sin ? ? sin ?

?

∴e ?

sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?



已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和| PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2. 解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3
x
2

∴椭圆的方程为

?

y

2

=1.

4

3

2

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ
? 椭圆的离心率 e ?

1 2



1 2

?

sin( 180 sin 120
o

o

??)
o

? sin( 60

??)

? 3 2

sin ? ? sin( 60
o


??)

整理得:5sinθ = 3 (1+cosθ )
?
2
2? 3 5 3 5 ? . 3 11 25
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m



sin ? 1 ? cos ?

?

3 5

故 tan

?

3 5

,tanF1PF2=tanθ =
1?

3


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