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北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的前n项和_图文

北师大版高中数学必修5 第一章《数列》

法门高中姚连省制作
1

一、教学目标:1、知识与技能:⑴了解现实生活中存在 着大量的等比数列求和的计算问题;⑵探索并掌握等比数列 前n项和公式;⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式, 利用公式知三求一;⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转 化化归的思想。2、过程与方法:⑴采用观察、思考、类比、 归纳、探究得出结论的方法进行教学;⑵发挥学生的主体作 用,作好探究性活动。3、情感态度与价值观:⑴通过生活 中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究 精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; ⑵在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法;⑶通过对 有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激 发学生学习的兴趣。 二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数 列前n项和公式的应用。教学难点 :等比数列前n项和公式的 推导。 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 2 四、教学过程

古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发 明人——宰相西萨· 达依尔。国王问他想要什 班·

么,发明者说:“请在第一个格子里放上1粒麦
子,在第二个格子里放上2粒麦子,在第三个格

子里放上 4粒麦子,在第四个格子里放上8粒麦
子,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前

一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。
请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉 得太容易了,就同意了他的要求。
3

当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时, 国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来,也满足不了那位宰相的要求。 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢? 第第第第 第 一 二 三 四 ……64 格格格格 格 1 2 63

= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。
4 人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子!

1 ? 2 ? 2 ? ?? 2

等比数列前n项和公式的推导
1 2

3
4
5

复习导入

等比数列及前n项和
? an+1:an ? an ? Sn

=q

= a1 q n – 1 = a1 + a2 +…+an Sn – Sn-1 (n>1)
6

? Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1) ? an=

(一) 用等比定理推导 因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

7

Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1

= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
a1 ( 1 – q n )
1–q

Sn =

(q ? 1)
8

Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 qSn = a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
….

S n = ……….
9

Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1
= a1(1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1)

10

1、等比数列1,2,4,8,…从第5项到 第10项的和为 6 4 6
a5 1 ? q 2 1? 2 1? 2 1? 2 ? ? S ? S10 ? S4 ? 或S ? 1? 2 1? 2 1? q 1? 2
10 4

?

?

?

?

2、求数列1,x,x2,x3,…,xn,…的 前n项和。
1 1 1 2 n 3、求和:( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y
11

例3 某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均

每年的产量比上一年增加10%,那么 从第1年起,约几年内可使总产量达到 30万吨(保留到个位)?
5

分析:第1年产量为

第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1 第3年产量为 5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12 …… 第n年产量为 5 ?1.1
n ?1

则n年内的总产量为:

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1
2

n ?1
12

解:由题意,从第1年起,每年的产量

组成一个等比数列 其中

?an ?,

∴ 5?1 ? 1.1 ? ? 30.
n

a1 ? 5, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30,
即 1.1n ? 1.6.
n ? lg 1.1 ? lg 1.6

1 ? 1.1

两边取对数,得 ∴

lg 1.6 0.20 n? ? ? 5 (年) lg 1.1 0.041
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答:约5年内可以使总产量达到30万吨.

印度还有一古老传说:在世界中心贝拿勒斯 (在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝 石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在 其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片 金片,这就是所谓梵塔。不论白天黑夜,总有一 个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只 移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上

面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到
另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,

梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

14

不管这个传说是否可信,如果考虑一下把

64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始
终保持上小下大的顺序,一共需要移动多少次,

那么,不难发现,不管把哪一片移到另一根针上
,移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这

样,移动第1片只需1次,第2片则需2次,第3片
需4次,第64片需2的63次方次。全部次数为:

18446744073709551615次这和“麦粒问题”的计
算结果是完全相同的! 假如每秒钟移动一次,共

需要多长时间呢?一年大约有31556926秒,计算
表明,移完这些金片需要5800多亿年!
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用数学的观点看问题, 一些所谓不可理解的事就可 以给出合理的解释,从而帮 助我们用科学的态度认识世 界。
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练习:?教材练习第1、2、3题.?? 课堂小结:本节学习了如下内容:?1.等比数列 前n项和公式的推导;特别是在推导过程中,学 到了“错位相减法”.? 2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到 等比数列的基本量中的4个量,一般需要知道其 中的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的 是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题 意所给的条件,适当选择运用哪一个公式.?在 使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关 重要的一个环节,需要放在第一位来思考. 布置作业:课本习题1-3 B组2、3? 五、教学反思:
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