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高二数学人教A必修5练习:3.3.2 简单的线性规划问题(一) Word版含解析

3.3.2 简单的线性规划问题(一) 课时目标 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题. 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 一、选择题 x+3y-3≥0, ? ? 1.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, 15 7 A.9 B. C.1 D. 7 15 答案 A 解析 画出可行域如图: 则 x+y 的最大值为( ) 当直线 y=-x+z 过点 A 时,z 最大. ? ?2x-y-3=0, 由? 得 A(4,5),∴zmax=4+5=9. ?x-y+1=0 ? x+y≤4, ? ? 2.已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, ? ?x≥1, A. 10 B.8 C.16 D.10 则 x2+y2 的最大值为( ) 答案 D 解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示: 易得 A(1,1),|OA|= 2,B(2,2), |OB|=2 2, C(1,3),|OC|= 10. ∴(x2+y2)max=|OC|2=( 10)2=10. y≥0 ? ? ? ? 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M=??x,y?|?y≤x ?,区域 N= ? ?y≤2-x ? ? {(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)的表达式 为( ) 1 A.-t2+t+ B.-2t2+2t 2 12 1 C.1- t D. (t-2)2 2 2 答案 A 解析 y≥0 ? ? 作出不等式组?y≤x ? ?y≤2-x 所表示的平面区域. 由 t≤x≤t+1,0≤t≤1,得 f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC 1 1 =1- t2- (1-t)2 2 2 1 2 =-t +t+ . 2 x-y+2≥0, ? ? 4.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0, 则目标函数 z=3x-4y 的最大值和最 小值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 答案 A 解析 作出可行域如图阴影部分所示,由图可知 z=3x-4y 经过点 A 时 z 有最小值,经 过点 B 时 z 有最大值.易求 A(3,5),B(5,3).∴z 最大=3×5-4×3=3,z 最小=3×3-4×5= -11. x≥1, ? ? 5 设不等式组?x-2y+3≥0 ? ?y≥x ,所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0 对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,则|AB|的最小值为( ) 28 12 A. B.4 C. D.2 5 5 答案 B 解析 如图所示.由约束条件作出可行域,得 D(1,1),E(1,2),C(3,3). 要求|AB|min,可通过求 D、E、C 三点到直线 3x-4y-9=0 距离最小值的 2 倍来求. |3×1-4×1-9| 经分析,D(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离 d= =2 最小,∴|AB|min= 5 4. 二、填空题 x+y≥3, ? ? 6 .设变量 x , y 满足约束条件 ?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3. ________. 答案 7 解析 作出可行域如图所示. 则目标函数 z = 2x + 3y 的最小值为 由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为 7. 7.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间 表示) 答案 (3,8) ?-1<x+y<4, ? 解析 由? 得平面区域如图阴影部分所示. ? ?2<x-y<3 ? ? ?x+y=-1, ?x=1, 由? 得? ?x-y=3 ?y=-2. ? ? ?x+y=4, ?x=3, ? ? 由? 得? ?x-y=2 ?y=1. ? ? ∴2×3-3×1<z=2x-3y<2×1-3×(-2), 即 3<z<8,故 z=2x-3y 的取值范围是(3,8). x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 8.已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0, 答案 2 x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 画出不等式组? y≥0, ? ?x+2y-3≥0 y 则 的最大值为________. x 解析 y y-0 对应的平面区域 Ω, = 表示平面区域 Ω x x-0 上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率. y A(1,2),B(3,0),∴0≤ ≤2. x 三、解答题 x+3y≥12 ? ? 9.线性约束条件?x+y≤10 ? ?3x+y≥12 解 如图作出线性约束条件 下,求 z=2x-y 的最大值和最小值. x+3y≥12 ? ? ?x+y≤10 ? ?3x+y≥12 下的可行域,包含边界:其中三条直线中 x+3y=12 与 3x+y=12 交于点 A(3,3), x+y=10 与 x+3y=12 交于点 B(9,1), x+y=10 与 3x+y=12 交于点 C(1,9), 作一组与直线 2x-y=0 平行的直线 l:2x-y=z, 即 y=2x-z,然后平行移动直线 l,直线 l 在 y 轴上的截距为-z,当 l 经过点 B 时,- z 取最小值,此时 z 最大,即 zmax=2×9-1=17;当 l 经过点 C 时,-z 取最大值,此时 z 最小

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