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[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第10讲 函数与方程[配套课件]


第 10 讲

函数与方程

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似 解.

1.函数的零点

(1) 方 程 f(x) = 0 有 实 根 ? 函 数 y = f(x) 的 图 象与x轴有
交点 ?函数 y=f(x)有零点; ________

(2)如果函数 y=f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的, < ,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点.一 且有 f(a)· f(b)____0
般把这一结论称为零点存在性定理.

2.二分法 如果函数 y=f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的 曲线,且 f(m)· f(n)<0,通过不断地把函数 y=f(x)的零点所在区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法.

1.如图 2-10-1 所示的是函数 f(x)的图象,它与 x 轴有 4 个 不同的公共点.给出下列四个区间,不能用二分法求出函数 f(x)

零点的区间是( B )

图 2-10-1
A.[-2.1,-1] B.[1.9,2.3]

C.[4.1,5]

D.[5,6.1]

2.(2012 年广东韶关一模)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一 个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:

f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.437 5)=0.165

f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.406 25)=-0.052

那么方程 x3 +x2 -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为 ( C ) A.1.2 C.1.4

B.1.3
D.1.5

3.方程 2x+x-4=0 的解所在的区间为( C ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

解析:令 f(x)=2x+x-4,∵f(1)· f(2)=-2<0,∴f(x)在(1,2) 内有零点. 4.函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析:函数f(x)=log3x+x-2 的定义域为(0,+∞),且在(0, +∞)上单调递增.又f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,∴函数f(x) 有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.

考点 1 判断函数零点所在的区间 例 1:(1)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下

表:
x
0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …

y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y=x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程 2x=x2 的一个根位于下列区间中的( A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0) )

解析:令 f(x)=2x-x2.由 f(0.6)=1.516-0.36>0,f(1.0)=2.0 -1.0>0 ,排除A ;由 f(1.4) =2.639 -1.96>0 ,f(1.8) =3.482 -

3.24>0,排除 B;由 f(2.6)=6.063-6.76<0,f(3.0)=8.0-9.0<0,
排除 D;由 f(1.8)=3.482-3.24>0,f(2.2)=4.595-4.84<0,可

确定方程 2x=x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上.
答案:C

6 (2)(2014年北京)已知函数f(x)= x -log2x,在下列区间中, 包含f(x)的零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4) )

B.(1,2) D.(4,+∞)

3 解析:∵f(2)=3-1>0,f(4)= -2<0,∴由根的存在性定 2 理知,f(x)的零点在区间(2,4)内.故选C.

答案:C

【规律方法】判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,
常用以下三种方法: ①当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落 在给定区间上;

②利用函数零点的存在性定理进行判断; ③通过函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交
点来判断.

【互动探究】

1.(2013 年重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x -b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A )
A.(a,b)和(b,c)内

B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:f(a)=(a-b)(a-c)>0;f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c -a)(c-b)>0,f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以两个零点分别位于区 间(a,b)和(b,c)内.

考点2

二分法的应用

例2:已知函数 f(x)=lnx+2x-6. (1)求证:函数 f(x)在其定义域上是增函数; (2)求证:函数 f(x)有且只有一个零点;
1 (3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过4.

(1)证明:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 设 x1<x2,则 lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1+2x1-6<lnx2+2x2-6.

∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(2)证明:∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0, ∴f(2)· f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 又由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函数,因此 f(x)=0 至多

有一个根,从而函数 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(3)解:由(2)知,f(x)的零点 x0 在(2,3)上,
?5? ?5? ?5 ? 5 5 取 x1=2,∵f?2?=ln2-1<0,∴f?2?· f(3)<0.∴x0∈?2,3?. ? ? ? ? ? ? ?11? ?5? ?11? ?5 11? 11 11 1 取 x1= 4 , ∵f? 4 ?=ln 4 -2>0, ∴f?2?· f? 4 ?<0.∴x0∈?2, 4 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 5? 1 1 ?5 11? 而? 4 -2?=4≤4,∴?2, 4 ?即为符合条件的区间. ? ? ? ?

【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方 法,它只能用来求函数的变号零点; (2)给定精度ε,用二分法求函数y=f(x)的零点近似值的步骤 如下: ①确定区间[m,n],验证 f(m)· f(n)<0,给定精度ε; ②求区间[m,n]的中点 x1; ③计算 f(x1):ⅰ)若 f(x1)=0,则x1 就是函数y=f(x)的零点; ⅱ) 若 f(m)· f(x1)<0 ,则令n=x1[ 此时零点x0 ∈(m ,x1)] ;ⅲ) 若

f(x1)· f(n)<0,则令m=x1[此时零点x0∈(x1,n)].

【互动探究】 2.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对 值不超过 0.25,则 f(x)可以是( A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex-1
? 1? D.f(x)=ln?x-2? ? ?

)

1 解析:f(x)=4x-1的零点为x= 4 ,f(x)=(x-1)2的零点为x =1,f(x)=e
x

? 1? 3 ? ? -1的零点为x=0,f(x)=ln x-2 的零点为x= 2 .现 ? ?
x

在我们来估算g(x)=4 +2x-2的零点,因为g(0)=-1,g

?1? ? ? ?2?



? 1? 1,所以g(x)的零点x∈ ?0,2? ,又函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x ? ?

-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适 合.
答案:A

考点 3 利用导数讨论方程的根的分布

例 3:(2013 年广东广州一模)已知 f(x)是二次函数,不等式

f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 6x+y
+1=0 平行.
(1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在 t∈N,使得方程 f(x)+ =0 在区间(t,t+1) x 内有两个不相等的实数根?若存在,求出 t 的值;若不存在, 请说明理由.

思维点拨:(1)由二次不等式f(x)<0 的解集可设出 f(x)解析 式,利用条件求出 f′(1),解出待定系数.

(2)对方程作等价变形,利用导数和变号零点判定法则探求 t.
解:(1)方法一:∵f(x)是二次函数,不等式f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5),a>0. ∴f′(x)=2ax-5a. ∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 6x+y+1=0 平行,

∴f′(1)=-6.
∴2a-5a=-6,解得 a=2. ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.

方法二:设 f(x)=ax2+bx+c,

∵不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两根为 0,5. ∴c=0,25a+5b=0. ① ∵f′(x)=2ax+b,

又函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 6x+y+1=0 平行,

∴f′(1)=-6.
∴2a+b=-6. ② 由①②,解得 a=2,b=-10. ∴f(x)=2x2-10x.

(2)由(1)知, 37 方程f(x)+ =0等价于方程2x3-10x2+37=0. x 设h(x)=2x3-10x2+37, 则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 当x∈ 减;
?10 ? ?10 ? 当x∈ ? 3 ,+∞? 时,h′(x)>0,函数h(x)在 ? 3 ,+∞? 上单 ? ? ? ? ? 10? ?0, ? 3? ?

时,h′(x)<0,函数h(x)在

? 10? ?0, ? 3? ?

上单调递

调递增.

?10? 1 ? ? ? ? ∵h(3)=1>0,h 3 =- <0,h??4??=5>0, 27 ? ?

∴方程h(x)=0在区间

? 10? ?10 ? ?3, ? , ? ,4? 3? ?3 ? ?

内分别有唯一实数

根,在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根. 37 ∴存在唯一的自然数t=3,使得方程f(x)+ x =0在区间 (t,t+1)内有且只有两个不相等的实数根.

37 【规律方法】方程f(x)+ =0等价于2x3-10x2+37=0.设 x h(x)=2x3-10x2+37,则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).函数
? ?10 ? 10? h(x)在?0, 3 ?上单调递减;函数h(x)在? 3 ,+∞?上单调递增. ? ? ? ? ?10? 1 10 ∵h ? 3 ? =- 27 <0,则t与 3 有关,应该是3,然后利用零点 ? ?

存在性定理验证.

【互动探究】 3.函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:因为 f′(x)=2xln2+3x2≥0,所以函数 f(x)=2x+x3 -2 在(0,1)内单调递增.又 f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2+1-2

=1>0,所以由零点存在性定理知,在区间(0,1)内函数的零点个
数为 1 个.故选 B.

●思想与方法● ⊙运用分类讨论思想判断方程根的分布 例题:已知函数 f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[-1,1] 上有零点,求实数 a 的取值范围. 解:方法一:当a=0 时,f(x)=x-1. 令 f(x)=0,得 x=1 是区间[-1,1]上的零点. 当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[-1,1]上有零点分三种情况:

①方程 f(x)=0 在区间[-1,1]上有重根. 1 1 令 Δ=1-4a(-1+3a)=0,解得 a=-6或 a=2. 1 当 a=-6时,令 f(x)=0,得 x=3,不是[-1,1]上的零点; 1 当 a=2时,令 f(x)=0,得 x=-1,是[-1,1]上的零点; ②若函数 y=f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点,但不是 f(x)=0 的重根. 1 令 f(1)f(-1)=4a(4a-2)≤0,解得 0<a≤ ; 2

③若函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有两个零点,则 ?a>0, ? 2 Δ =- 12 a +4a+1>0, ? ? 1 ?-1<- <1, 2a ? ?f(1)≥0, ? ?f(- 1)≥0 解得 a∈?. 综上所述,实数 a
? 1? 的取值范围为?0,2?. ? ?

?a<0, ? 2 Δ =- 12 a +4a+1>0, ? ? 1 或?-1<- <1, 2a ? ?f(1)≤0, ? ?f(-1)≤0.

方法二:当 a=0 时,f(x)=x-1,令 f(x)=0,得 x=1,是 区间[-1,1]上的零点. 当 a≠0 时,f(x)=ax2+x- 1+3a 在区间[-1,1] 上有零点 1-x ?(x +3)a=1-x 在区间[-1,1]上有解?a= 2 在区间[-1,1] x +3
2

上有解. 1-x 问题转化为求函数 y= 2 在区间[-1,1]上的值域. x +3 设 t=1-x,由 x∈[-1,1],得 t∈[0,2]. t 1 而 y= = 4 ≥0. 2 (1-t) +3 t+ -2 t

4 设 g(t)=t+ ,可以证明当 t∈(0,2]时,g(t)单调递减. t 事实上,设 0<t1<t2≤2,则
? 4? ? 4 ? (t1-t2)(t1t2-4) g(t1)-g(t2)=?t1+ ?-?t2+ ?= . t t t t ? ? 1? 2? 1 2

由 0<t1<t2≤2,得 t1-t2<0,0<t1t2<4,即 g(t1)-g(t2)>0. 所以 g(t)在 t∈(0,2]上单调递减. 故 g(t)≥g(2)=4. 1 1 所以 y= ≤2. g(t)-2

故实数 a

? 1? 的取值范围为?0,2?. ? ?

【规律方法】(1)函数 f(x)=ax2+x-1+3a(a∈R)在区间[- 1,1]上有零点,应该分类讨论:讨论 a=0 与 a≠0;讨论有一个 零点或有两个零点;如果只有一个零点还要讨论是否是重根.

(2)函数 f(x)的零点不是“点”,它是一个数,是方程 f(x)
=0 的实数根. (3)准确理解根的存在性定理:①f(x)在[a,b]上连续;

②f(a)· f(b)<0.其中②是零点存在的一个充分条件,不是必要条件, 并且满足 f(a)· f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上至少有一个零点;不满

足 f(a)· f(b)<0 时,f(x)在[a,b]上未必无零点,也可能有多个零点.


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