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如何突破抽象函数求定义域

如何突破抽象函数求定义域 宣威市第一中学 王知涛 在刚由初中升上高中的学生开始学函数的时候, 会遇到求函数定义域的问题, 有一类问题——抽象函数定义域问题。 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的 函数,抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽, 技巧性强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性, 大多数学生 在解决这类问题时, 感到束手无策. 在人教版必修 1 的教学中涉及到抽象函数定 义域的求解,学生普遍感到难以理解。我们从如下方面,并结合例题看看常考题 型。 一、首先让学生明确两点: ①单独看某个函数,定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围(无论是已知 的定义域还是所求的定义域) 。 ②函数 y=f(□) (其中 “□” 是关于 x 的表达式) , 函数 y=f(□)的定义域指 “□” 中 X 的取值范围而 y=f(□)中的“□”等价于 y=f(x)中的 X,把括号内的“□” 看作一个整体, “□”的范围与“X”的范围相同。所以 y=(□)的定义域只需根 据“□”所满足的条件求出“□”对应的 X 的范围即为函数 y=(□)的定义域。 首先明确下列三个问题: 1、函数 f(x)的定义域为[a,b]是指谁的范围? 2、函数 f(2x+1)的定义域为[a,b]是指谁的范围? 3、函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(2x+1)中谁的范围是[a,b]? 函数 f(2x+1)的定义域为[a,b],则函数 f(x)的定义域为[a,b]对吗? 二、抽象函数常见的四中题型 1.已知 f ( x) 的定义域 (□=x),求复合函数 f [ g ?x ?] (□=g(x))的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含 于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若 出
f [ g ( x )]

f ( x)

的定义域为 x ? ?a, b ? ,求

中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为

f [ g ( x )]

的定义域。
f ( x)

2.已知复合函数 f [ g ?x ?] (□=g(x))的定义域,求

(□=x)的定义域

方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即 为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] (□=g(x))的定义域,求 f [h( x)] (□=h(x))的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由

f [ g ?x ?] 定义域求得 f ? x ? 的定义域,再由 f ? x ? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。
4.已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为各基本函数 定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 二、对应例题

一、已知 f ( x) 的定义域,求 f ? g ( x)? 的定义域 例 1、已知函数 f ( x) 的定义域为 ??15 , ? ,求 f (3x ? 5) 的定义域. 分析:该函数是由 u ? 3x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数,其中 x 是自变量,u 是 中间变量,由于 f ( x) 与 f (u ) 是同一个函数,因此这里是已知 ?1 ≤ u ≤ 5 ,即
?1 ≤ 3x ? 5≤ 5,求 x 的取值范围.
4 10 解:? f ( x) 的定义域为 ??15 , ? ,??1≤ 3x ? 5 ≤ 5 ,? 3 ≤ x ≤ 3 .

? 4 10 ? 故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 ? , ? . ?3 3 ?

二、已知 f ? g ( x)? 的定义域,求 f ( x) 的定义域 例2 已知函数 f ( x2 ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域.

分析:令 u ? x2 ? 2 x ? 2 ,则 f ( x2 ? 2x ? 2) ? f (u) , 由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域. 解:由 0 ≤ x ≤ 3 ,得 1≤ x 2 ? 2 x ? 2 ≤ 5 . 令 u ? x2 ? 2 x ? 2 ,则 f ( x2 ? 2x ? 2) ? f (u) , 1 ≤ u ≤ 5 . 故 f ( x) 的定义域为 ?1 , 5? . 三、已知 f ? g ( x)? 的定义域,求 f ?h( x)? 的定义域 例 3. 函数 分析:已知 定义域是 的定义域,求 的定义域求得 ,则 的定义域‘ 定义域求得

的定义域,可先由 的定义域

的定义域,再由 解:先求 的定义域 的定义域是





的定义域是

,再求

的定义域

的定义域是 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出 各个函数的定义域,然后再求交集. 例4 若 f ( x) 的定义域为 ??3 , 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.

??3 ≤ ? x ≤ 5, 解 : 由 f ( x) 的 定 义 域 为 ??3 解得 , 5? , 则 ? ( x) 必 有 ? ??3 ≤ 2 x ? 5 ≤ 5,
?4 ≤ x ≤ 0 .

所以函数 ? ( x) 的定义域为 ? ?4, 0? . 由以上例题可知在同一对应法则下,不管接受法则的对象是什么字母、符号 或代数式,其制约的条件是一致的,即都在同一取值范围内。也就是 y=f(□)和 y=f(x)是等价的, 但要让学生明确的是复合函数的定义域是指复合函数解析式中 x 的取值范围,这一点对学生解决抽象函数的定义域问题之关重要。


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