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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.2.2平面与平面平行的判定_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理, 明确定理中“相交”两字的重要性. ? 2.能利用判定定理解决有关面面平行问题.

? ●温故知新 ? 旧知再现 相交和平行 ? 1.两个平面之间的位置关系: ____________, 公共点的个数 两平面之间的位置关系依据 a?α ________________ 来划分的. 判定 ? 2.a∥b,b?α,______则a∥α(线面平行的 判定定理). ? 3.判定线面平行的方法有:定义和________ 定理,虽然可以用定义判定,但不易操作, 所以常用判定定理,转化为证明“线线平 行”,体现了“空间问题平面化”的基本思

? 4.长方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F分别是平 面ABCD、平面A′B′C′D′的中心,长方体的6个 面中与EF平行的有( ) ? A.1个 B.2个 ? C.3个 D.4个 ? [答案] D

? 5.若直线m不平行于平面α,且m?α,则下 列结论成立的是( ) ? A.α内的所有直线与m异面 ? B.α内不存在与m平行的直线 ? C.α内存在唯一的直线与m平行 ? D.α内的直线与m都相交 ? [答案] B

? 新知导学 ? 平面与平面平行的判定定理
文字 语言 图形 语言 符号语言 作用

相交 一个平面内的两条__________ 直线与另一个平 平行 面__________ ,则这两个平面平行

a∩b=P ,a∥α,b∥α?α∥β a?β,b?β,__________ 平行 证明两个平面__________

? [破疑点] 平面与平面平行的判定定理告诉我 们,可以通过直线与平面平行来证明平面与 平面平行.通常我们将其记为:线面平行, 则面面平行.因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行,进一步转化为处理线 线问题(即平面问题)来解决,以后证明平面与 平面平行,只要在一个平面内找到两条相交 直线和另一个平面平行即可. ? 关于判定两平面平行的另一种方法:若一个 平面内的两条相交直线与另一个平面内的两 条相交直线对应平行,则这两个平面平行.

? ●自我检测 ? 1.点P是平面α外一点,过点P且平行于平面 α的平面有( ) ? A.0个 B.1个 ? C.2个 D.无数个 ? [答案] B

? 2.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B, BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC 与平面A1B1C1平行吗?________(填“是”或 “否”).

? [答案] 是

? 3.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱 PA,PB,PC的中点.求证:平面DEF∥平面 ABC. ? [证明] 如图所示,在△PAB中, ? 因为D,E分别是PA,PB的中点, ? 所以DE∥AB. ? 又AB?平面ABC,DE?平面ABC, ? 因此DE∥平面ABC. ? 同理,EF∥平面ABC. ? 又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC.

互动课堂

●典例探究
平面与平面平行判定定理的理解
下列命题正确的是( 个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这 两个平面平行; )

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两

? ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平 行,则这两个平面平行; ? ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个 平面平行,则这两个平面平行. ? A.①③ B.②④ ? C.②③④ D.③④

? [解析] 如果两个平面没有任何一个公共点, 那么我们就说这两个平面平行,也即是两个 平面没有任何公共直线. ? 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一 个平面平行,如果这两条直线不相交,而是 平行,那么这两个平面相交也能够找得到这 样的直线存在. ? 对于②:一个平面内有无数条直线都与另外 一个平面平行,同①.

? 对于③:一个平面内任何直线都与另外一个 平面平行,则这两个平面平行.这是两个平 面平行的定义. ? 对于④:一个平面内有两条相交直线都与另 外一个平面平行,则这两个平面平行.这是 两个平面平行的判定定理. ? 所以只有③④正确,选择D. ? [答案] D

?

规律总结:对面面平行的判定定理的理

解 ? (1)定理可简记为:线面平行,则面面平 行.这里的“线面”是指一个平面内的两条 相交直线和另一个平面. ? (2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个 条件: ? a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β.

? a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三 个不重合平面,现给出六个命题. ? ①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b; ? ③α∥c,β∥c?α∥β;④α∥γ,β∥γ?α∥β; ? ⑤α∥c,a∥c?α∥a;⑥a∥γ,α∥γ?α∥a. ? 其中正确的命题是( ) ? A.①②③ B.①④⑤ ? C.①④ D.①③④ ? [答案] C

? [解析] ①平行公理.
? ②两直线同时平行于一平面,这两条直线可 相交、平行或异面. ? ③两平面同时平行于一直线,这两个平面相 交或平行. ? ④面面平行传递性. ? ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这 条直线和平面或平行或直线在平面内. ? ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这 直线和平面可平行也可能直线在平面内.故 ①④正确.

两个平面平行的判定的应用

如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,E 分别是 BC 与 B1C1 的中点.求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.

? [分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1,只需证平 面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即 可. ? [证明] 如图,由棱柱的性质知,B1C1∥BC, B1C1=BC. ? 又D,E分别为BC,B1C1的中点, ? 所以C1E∥DB,C1E=DB, ? 则四边形C1DBE为平行四边形, ? 因此EB∥C1D. ? 又C1D?平面ADC1,EB?平面ADC1, ? 所以EB∥平面ADC1.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

连接DE,同理,EB1∥BD,EB1=BD, 所以四边形EDBB1为平行四边形, 则ED∥B1B,ED=B1B. 因为B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱的性质), 所以ED∥A1A,ED=A1A, 则四边形EDAA1为平行四边形, 所以A1E∥AD. 又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1, 所以A1E∥平面ADC1. 由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,A1E?平 面A EB,EB?平面A EB,且A E∩EB=E,所以

? 规律总结:平面与平面平行的判定方法: ? (1)定义法:两个平面没有公共点; ? (2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分 别平行于另一个平面; ? (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直 线与平面β内的两条相交直线分别平行,则 α∥β; ? (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ, 则α∥γ.

特别提醒:在证明线线、线面以及面面平行时,常常进行 如下转化: 线面平行的判定 面面平行的判定 线线平行 ――→ 线面平行 ――→ 面面平 行.

? (2013~2014·江西上饶中学高一期末)如图, 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边 形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面 MNQ∥平面PBC.

? [证明] ∵在三角形PBD中,BN∶ND= PQ∶QD, ? ∴QN∥PB,∴QN∥平面PBC, ? 同理PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD. ? 又底面ABCD是平行四边形,则AD∥BC, ? ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面PBC. ? 而MQ∩NQ=Q,MQ?平面MNQ,NQ?平面 MNQ, ? ∴平面MNQ∥平面PBC.

平行的综合问题

已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1,在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥面 AEC?证明你的结论,并说出点 F 的位置.

? [分析] 解答本题应抓住BF∥面AEC.先找BF所 在的平面平行于平面AEC,再确定F的位置.

? [解析] 如下图所示,连接BD交AC于O点,连 接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点 G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∵BG∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC, ∴BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC, 又BG∩GF=G. ∴平面BGF∥平面AEC, 又∵BF?平面BGF, ∴BF∥平面AEC. ∵BG∥OE,O是BD中点, ∴E是GD中点. 又∵PE∶ED=2∶1,∴G是PE中点. 而GF∥CE,∴F为PC中点. 综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC.

?

规律总结:探索性问题,一般采用执果 索因的方法,假设求解的结果存在,从这个 结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件, 如果找到了符合题目结果要求的条件,则存 在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出 现矛盾),则不存在.

? 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,O为底面 ABCD的中心,P是DD1的中 点,设Q是CC1上的点,问: 当点Q在什么位置时,平面 D1BQ∥平面PAO?
[分析]

观察图形的特点,只需在两个平面中分别找到两

条相交直线互相平行,在CC1上选取中点Q恰好有AP∥BQ.

? [解析] 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平 面PAO. ? ∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点, ? ∴QB∥PA.而QB?平面PAO,PA?平面PAO, ? ∴QB∥平面PAO.

? ? ? ? ? ?

连接DB,∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴PO为△DBD1的中位线, ∴D1B∥PO. 而D1B?平面PAO,PO?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO. 又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.

●误区警示 易错点 证明面面平行不严密 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分 别是 AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面 EG∥平面 AC.

? [错解] ∵E,F分别是AA1和BB1的中点, ∴EF∥AB, ? 又EF?平面AC,AB?平面AC, ? ∴EF∥平面AC, ? 同理可证,HG∥平面AC. ? 又EF?平面 EG,HG?平面EG, ? ∴平面EG∥平面AC. ? [错因分析] 错解中,EF与HG是平面EG内的 两条平行直线,不是相交直线,不符合面面 平行的判定定理的条件,因此证明不正确.

? ? ? ? ? ? ?

[正解] ∵E,F分别是AA1和BB1的中点, ∴EF∥AB,又EF?平面AC,AB?平面AC, ∴EF∥平面AC. 同理可证EH∥平面AC. 又EF?平面EG,EH?平面EG,EF∩EH=E, ∴平面EG∥平面AC. [反思] 利用面面平行的判定定理证明两个平 面平行时,所满足的条件必须是明显或已经 证明成立的,并且要与定理条件保持一致, 否则证明不正确.

? (2013~2014·肇庆高一检测) 已知P是?ABCD所在平面外一 点.E,F,G分别是PB,AB, BC的中点. ? 证明:平面PAC∥平面EFG.
[分析]

(1)平面与平面平行的定义是什么?在应用平面与

平面平行的判定定理时,容易忽视哪个条件? (2)用判定定理证明平面与平面平行时,关键是什么?

? ? ? ? ? ? ?

[证明] 因为EF是△PAB的中位线, 所以EF∥PA. 又EF?平面PAC,PA?平面PAC, 所以EF∥平面PAC. 同理可让EG∥平面PAC, 又EF?平面EFG,EG?平面EFG,EF∩EG=E, 所以平面PAC∥平面EFG.

随堂测评

? 1.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有 ( ) ? A.2对 B.3对 ? C.4对 D.5 ? [答案] C ? [解析] 底面为正六边形的六棱柱,互相平行 的面最多.

? 2.若两个平面内分别有一条直线,这两条直 线互相平行,则这两个平面的公共点个数 ( ) ? A.有限个 B.无限个 ? C.没有 D.没有或无限个 ? [答案] D ? [解析] 两平面相交或平行,故选D.

? 3.已知一条直线与两个平行平面中的一个相 交,则它必与另一个平面( ) ? A.平行 B.相交 ? C.平行或相交 D.平行或在平面内 ? [答案] B

? 4.若a,b,c,d是直线,α,β是平面,且a、 b?α,c、d?β,且a∥c,b∥d,则平面α与平 面β( ) ? A.平行 B.相交 ? C.异面 D.不能确定 ? [答案] D

? 5.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形 ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD, PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四 个结论: ? ①平面EFGH∥平面ABCD; ? ②平面PAD∥BC; ? ③平面PCD∥AB; ? ④平面PAD∥平面PAB. ? 其中正确的有________.(填序号) ? [答案] ①②③

? [解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示, 则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证 EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD; 平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是 四棱锥的四个侧面,则它们两两相 交.∵AB∥CD,∴平面PCD∥AB.同理平面 PAD∥BC.

? 6.(2013·陕西)如图,已知四棱柱ABCD- A1B1C1D1,证明:平面A1BD∥平面CD1B1.

? [分析] 结合棱柱的特征,在其中一个平面内 找到两条相交直线与另一平面平行即可.

[证明] 由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1,∴A1B∥平面 CD1B1. 又 BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.

课后强化作业
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