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2012高考总复习《走向清华北大》精品课件29等比数列_图文

第二十九讲等比数列

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1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同

一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比
数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中

am,an,ap,aq的关系为am·an=ap·aq,如果a、G、b成等比
数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=± ab (ab>0).

2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0);其前n项和公

式为:

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1 ? q 或 1 ? q (q ? 1) ?

3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序

排列,构成的新数列仍然是等比数列.
(2)若{an}是等比数列,则{λan}?{|an|}皆为等比数列,公比分别 为q和|q|(λ为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比 是原公比的k次幂.

(4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列.

(5)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 为等比数列,其中m是不为零的常数.

man b仍 n

(6)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要
条件,这时

a1 k? . 1? q

4.等比数列的判定方法 (1)定义法:

列.
等比数列.

an ?1 (q是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数 ?q an

(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)?{an}是

(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an} 是等比数列.

a1 a1 nn-k(k= (4)前n项和公式法:Sn= q ?q =kq q ?1 1 数,且q≠0,q≠1)?{an}是等比数列.

a1 是常 q ?1

考点陪练

1.已知数列的前n项和为Sn=an-2(a是不为0的实数),那么数列 {an}( )

A.是等比数列
B.当a≠1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列

解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当

a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从
第二项起成等差数列. 答案:D

2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
a2 ? a3 a1q ? a2 q 6 ? ? q ? ? 2, 又 a1 ? a2 a1 ? a2 3

C.128 D.243
解析:∵{an}是等比数列,∴ 答案:A

∵a1+a1q=3,∴a1=1,a7=a1q6=1×26=64.

1 3.已知?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2, a 5 ? , 则a1a 2 ? a 2a 3 ??? 4 a n a n ?1等于( ) A.16 ?1 ? 4 ? n ? B.16 ?1 ? 2 ? n ? 32 C. ?1 ? 4? n ? 3 32 D. ?1 ? 2 ? n ? 3

解析 : 设 ?a n ? 公比为q, 1 1 a 2 ? 2, a 5 ? a 2 q ? ,? q ? . 4 2
3

1 b n ? a n a n ?1 ,??b n ? 是首项为8, 公比为 的等比数列. 4 ?1? 8[1 ? ? ? ] 32 4? ? ? Sn ? ? ?1 ? 4? n ? . 1 3 1? 4
答案:C
n

4.(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a42,3S2=a3-2,则公比q=( )

A.3
C.5

B.4
D.6

?3S3 ? a4 ? 2① 解析 : ? , ① ? ②得 : 3a 3 ? a 4 ? a 3 , 4a 3 ? a 4 , ?3S 2 ? a3 ? 2② a4 q? ? 4. a3
答案:B

5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )

A.2
C.4

B.3
D.8

解析:依题意得 答案:A

a2010 =q3=8,q=2,选A. a2007

类型一

等比数列的判断与证明
an ?1 =q(q≠0,n∈N*),二是 an

解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是

利用等比数列的定义,即证明

利用等比中项法,即证明a2n+1=anan+2≠0(n∈N*).在解题中, 要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变

形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论.

【典例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,?),求证:

n?2 n

(1)数列{

Sn n

}是等比数列;

(2)Sn+1=4an.

n?2 [证明] ?1? a n ?1 ? Sn ?1 ? Sn , a n ?1 ? Sn . n ? ? n ? 2 ? Sn ? n ? Sn ?1 ? Sn ? .整理得nSn ?1 ? 2 ? n ? 1? Sn , 所以 S n ?1 2 S n ? . n ?1 n Sn 故 是以2为公比的等比数列. n

Sn ?1 Sn ?1 ?4 ? 2 ?由?1? 知 ? n≥2 ? . n ?1 n ?1 Sn ?1 于是Sn ?1 ? 4 ? n ? 1? ? 4a n ? n≥2 ? . n ?1 又a 2 ? 3S1 ? 3, 故S2 ? a1 ? a 2 ? 4. 因此对于任意正整数n ? 1, 都有Sn ?1 ? 4a n .

[反思感悟](1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末 项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确.

(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互
为相反数.

类型二

等比数列的基本量运算

解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有

a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余
两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.

【典例2】设数列{an}为等比数列,且a1>0,它的前n项和为80, 且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的 通项公式.

[解]设数列的公比为q,由Sn ? 80,S2n ? 6560, 得q ? 1, 否则S2n ? 2Sn . ? a1 (1 ? q n ) ? 80, ? ? 1? q ?? 2n a (1 ? q ) ? 1 ? 6560. ? ? 1? q ① 得q n ? 81. ② ① ②

将qn=81代入①得,a1=q-1.③ 又∵a1>0,∴q>1.∴数列{an}是递增数列.

从而,a1qn-1=54,
∴a1qn=54q,∴81a1=54q.④ ③④联立,解得q=3,a1=2. ∴an=a1qn-1=2×3n-1.

[反思感悟]因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供 了条件,由此可求得首项a1与公比q之间的关系,进而确定

an.
求解本题时,有两个易错点:一是不判断q≠1而直接利用公式
a1 (1 ? q n ) Sn= 1? q

;二是不借助a1>0导出q>1,进而判断数列

{an}的单调性得出最大项为an,而是想当然地认为an为最大 项.

类型三

等比数列性质的应用

解题准备:1.等比数列的单调性

(1)若a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{an}是递增数列.
(2)若a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,则数列{an}是递减数列. (3)若q=1,则数列{an}是常数列. (4)若q<0,则数列{an}是摆动数列且各项的正负号间隔.

2.等比数列的简单性质 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.

(1)数列{c?an}(c≠0),{|an|},{an?bn}({bn}也是等比数列),{a2n},{ 1 }等也是等比数列 . an (2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列.
(3)若m+n=p+q,则am?an=ap?aq, 特别地,若m+n=2p,则am?an=a2p.

(4)a1an=a2an-1=?=aman-m+1. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m.?仍是等比数列(此时{an}的公比

q≠-1).
(6)当n是偶数时,S偶=S奇·q. 当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.

【典例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12, 求再后面3n项的和.

[解]解法一:利用等比数列的性质.
由已知a1+a2+?+an=2, an+1+an+2+?+a2n+a2n+1+a2n+2+?+a3n=12. 注意到 (a1+a2+?+an),(an+1+an+2+?+a2n),(a2n+1+a2n+2+?+a3n),(a
n 3n+1+a3n+2+?+a4n),?也成等比数列,其公比为q ,于是,问题

转化为已知:

A1=2,A1qn+A1q2n=12,要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值. 由A1=2,A1qn+A1q2n=12,

得q2n+qn-6=0,则qn=2,或qn=-3.
故A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
n ? ?112(q ? 2), ?? n ? 378( q ? ?3). ? ?

解法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于a1+a2+?+an=2,可知an+1+?+a3n=4,与

已知不符,
∴q≠1.由求和公式,得
a1 (1 ? q n ) ? 2, 1? q





式②除以式①得qn(1+qn)=6, ∴q2n+qn=6.解得qn=2,或qn=-3.

a1q n (1 ? q 2 n ) ② ? 12, 1? q

a1q 3n (1 ? q 3n ) 又再后3n项的和S ? ③式③除以式① 1? q S 得 ? q 3n ?1 ? q n ? q 2n ? , 2 n ? 112 ( q ? 2), ? 3n ? S ? 14q ? ? n ? 378 ( q ? ?3). ? ?

[反思感悟]由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和 公比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样

可能较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问
题就会变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.解 法一利用等比数列的性质;解法二利用求和公式,但需先确

定q≠1,否则不可断定用q≠1时的公式.

类型四

等比数列前n项和及其性质

解题准备:1.等比数列的前n项和公式:

?na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1), (q ? 1).

2.等比数列的前n项和公式中涉及的基本量有a1,q,an,n,Sn.使 用公式时,必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q

可能等于1,则需分q=1和q≠1两种情况进行讨论.

【典例4】设正项等比数列{an}的首项a1= 且210S30-(210+1)S20+S10=0.

1 , n项和为Sn, 前 2

(1)求{an}的通项;
(2)求{nSn}的前n项和Tn.

[分析](1)利用S2n-Sn?S3n-S2n?的关系化简210S30(210+1)S20+S10=0.

(2)利用错位相减法求和.
[解](1)由210S30-(210+1)S20+S10=0得 210(S30-S20)=S20-S10, 即210(a21+a22+?+a30)=a11+a12+?+a20, 可得210?q10(a11+a12+?+a20)=a11+a12+?+a20.

因为an>0,所以210q10=1, 1 解得q= ,因而an=a1qn-1= 2

1 *). (n ∈ N 2n

1 1 ? 2 ?因为?a n ? 是首项a1 ? , 公比q ? 的等比数列, 故 2 2 1? 1 ? ?1 ? n ? 1 n 2? 2 ? Sn ? ? 1 ? n , nSn ? n ? n . 1 2 2 1? 2 ?1 2 则数列?nSn ?的前n项和Tn ? (1 ? 2 ??? n) ? ? ? 2 ? ?2 2 Tn 1 ? (1 ? 2 ? 2 2 ? 1 2 ? n) ? ? 2 ? 3 ? ?2 2 ? n ?1 n ? ? n ?1 ? . n 2 2 ?

n ? n 2

? ?, ?

前两式相减, 得 ?1 1 ? n) ? ? ? 2 ? ?2 2 1? 1 ? 1? n ? ? n(n ? 1) 2 ? 2 ? n ? ? ? n ?1 ,即 1 4 2 1? 2 n(n ? 1) 1 n Tn ? ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2 Tn 1 ? (1 ? 2 ? 2 2 1 ? n ? n ? ? n ?1 2 ? 2

错源一

对公比q的范围、取值考虑不周全

【典例1】已知三角形的三边构成公比为q的等比数列,则q的

取值范围(

)

1? 5 A.(0, ) 2 1? 5 C.[1, ) 2

5 ?1 B.( ,1] 2 5 ?1 1 ? 5 D.( , ) 2 2

[错解]设三角形的三边分别为a,aq,aq2,且a>0,q>0.由三角形 的两边之和大于第三边,得a+aq>aq2,即

1+q>q2,解得0<q<

[剖析]不考虑q的范围就认为aq2是最大边是错误的,事实上, 由于a>0,当q>1时数列是递增的,aq2是最大边;而当0<q<1 时,数列是递减的,此时a是最大边.

1? 5 . 2

[正解]当q ? 1时,由a ? aq ? aq 2 , 1? 5 解得1≤q ? ; 2 5 ?1 当0 ? q ? 1时,由aq ? aq ? a, 解得 ? q ? 1. 2 5 ?1 1 ? 5 所以q的范围是( , ).故选D. 2 2
2

[答案]D

错源二

题意理解不透、忽视隐含条件

【典例2】一个数列{an},当n为奇数时,an=5n+1,当n为偶数时 n 2,则这个数列的前2m项和为________. ,an= 2

[错解]当n为奇数时,由an+1-an=[5(n+1)+1]-(5n+1)=5,知{an} 是以a1=6,d=5的等差数列.
n ?1 2 n 2

当n为偶数时,由 比数列. 所以S2m

2

? 2, 知?a n ? 是以a?1 ? 2, q ? 2的等

2

?(1 ? q m ) a1 m(m ? 1) ? a 1m ? d? 2 1? q

5m2 ? 7m ? ? 2(1 ? 2)(1 ? ( 2) m ). 2

[剖析]将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路 是正确的,但分析是由a1,a3,a5,?构成等差数列,由

a2,a4,a6,?构成等比数列,并不是相邻的两项.

[正解]当n为奇数时,由an+2-an=[5(n+2)+1]-(5n+1)=10,知{an} 是以a1=6,d=10的等差数列.

当n为偶数时,由
列.

2

n?2 2 n 2

=2,知{an}是以a′1=2,q=2的等比数

2

所以S2m=6m+

m(m ? 1) 2(1 ? 2m ) ?10 ? =5m2+m+2m+1-2. 2 1? 2

[答案]5m2+m+2m+1-2

技法一

巧用公式

【典例1】设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若

Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________.
[解析]由题设知,Sn-Sn+1=Sn+2-Sn, 即-an+1=an+1+an+2, 故2an+1+an+2=0,即 [答案]-2
an ? 2 ? q ? ?2. an ?1

技法二

巧用等比数列中部分项的性质

“若数列{an}是公比为q的等比数列,则

ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N+)组成首项为ak,公比为qm的等比
数列.”

【典例2】若等比数列{an}中,公比q=2,且a1+a2+?+a99=30, 则a3+a6+a9+?+a99=________.

a1 (1 ? 299 ) [解析]由题意知 : S99 ? ? 30, 1? 2 30 解得a1 ? 99 . 2 ?1

由等比数列的性质可知 : a 3 , a 6 , a 9 , ?, a 99仍成等比数列, 30 120 2 且首项为a 3 ? a1q ? 99 ? 2 ? 33 , 公比为q 3 ? 8, 2 ?1 8 ?1 共有33项. 120 33 ? (1 ? 8 ) a3 (1 ? 833 ) 833 ? 1 120 所以a 3 ? a 6 ? a 9 ? ?? a 99 ? ? ? . 1? 8 1? 8 7
2

120 [答案] 7