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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练48含答案


题组层级快练(四十八)
1 1 1 127 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n-1> (n∈N*) 成立,其初始值至少应取 2 4 64 2 ( ) A.7 C .9 答案 B 1 1- n 2 127 1 1 1 解析 1+ + +…+ n 1= > , 2 4 2 - 1-1 64 2 整理得 2n>128,解得 n>7. ∴初始值至少应取 8. 1 1 1 2.设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 1 A. 3n+2 1 1 C. + 3n+1 3n+2 答案 D 1 3.若数列{an}的通项公式 an= ,记 cn=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算 c1, ?n+1?2 c2,c3 的值,推测 cn=__________. 答案 n+2 n+1 1 1 B. + 3n 3n+1 1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2 ) B.8 D.10

1 3 解析 c1=2(1-a1)=2×(1- )= , 4 2 1 1 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1- )×(1- )= , 4 9 3 1 1 1 5 c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1- )×(1- )×(1- )= , 4 9 16 4 n+2 故由归纳推理得 cn= . n+1 4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有:(Sn-1)2=anSn. (1)求 S1,S2,S3; (2)猜想 Sn 的表达式并证明.

答案

1 2 3 (1)S1= ,S2= ,S3= 2 3 4

n (2)Sn= ,证明略 n+1 解析 1 (1)由(S1-1)2=S2 1,得 S1= ; 2

2 由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得 S2= ; 3 3 由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得 S3= . 4 n (2)猜想:Sn= . n+1 证明:①当 n=1 时,显然成立; k ②假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,Sk= 成立. k+1 则当 n=k+1 时,由(Sk+1-1)2=ak+1Sk+1,得 Sk+1= k+1 1 = = . 2-Sk 2- k k+2 k+1 1

从而 n=k+1 时,猜想也成立. 综合①②得结论成立. 1 5.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1= an· (4-an),(n∈N). 2 证明:an<an+1<2,(n∈N). 证明 略 证明 方法一:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= , 2 2 所以 a0<a1<2,命题正确. (2)假设 n=k 时命题成立,即 ak-1<ak<2. 则当 n=k+1 时,ak-ak+1 1 1 = ak-1(4-ak-1)- ak(4-ak) 2 2 1 =2(ak-1-ak)- (ak-1-ak)(ak-1+ak) 2

1 = (ak-1-ak)(4-ak-1-ak). 2 而 ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以 ak-ak+1<0. 1 1 又 ak+1= ak(4-ak)= [4-(ak-2)2]<2. 2 2 所以 n=k+1 时命题成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N 时有 an<an+1<2. 方法二:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= , 2 2 所以 0<a0<a1<2. (2)假设 n=k 时有 ak-1<ak<2 成立, 1 令 f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增, 2 所以由假设有 f(ak-1)<f(ak)<f(2). 1 1 1 即 ak-1(4-ak-1)< ak(4-ak)< ×2×(4-2). 2 2 2 也即当 n=k+1 时,ak<ak+1<2 成立. 所以对一切 n∈N,有 ak<ak+1<2. 6.(2014· 安徽理选编)设整数 p>1,n∈N*. 证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px. 答案 略 证明 用数学归纳法证明, ①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ②假设当 p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. 则当 p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)· (1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以当 p=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,当 x>-1,x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. 7.(2014· 陕西理选编)设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=

xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. 令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求 gn(x)的表达式. x 答案 gn(x)= 1+nx x 解析 由题设,得 g(x)= (x≥0). 1+x x 由已知, g1(x)= 1+x x x x , g2(x)=g(g1(x))= = , g3(x)= , …, 可得 gn(x)= . x 1+x 1+2x 1+3x 1+nx 1+ 1+x x

下面用数学归纳法证明. x ①当 n=1 时,g1(x)= ,结论成立. 1+x x ②假设 n=k 时结论成立,即 gk(x)= . 1+kx 那么,当 n=k+1 时, x 1+kx gk?x? x gk+1(x)=g(gk(x))= = = ,即结论成立. x 1+gk?x? 1+ 1+?k+1?x 1+kx 由①②可知,结论对 n∈N*成立. 8.(2015· 衡水调研)首项为正数的数列{an}满足 an+1= 1 2 (a +3),n∈N*. 4 n (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N*都有 an+1>an,求 a1 的取值范围. 答案 解析 (1)略 (2)0<a1<1 或 a1>3

(1)证明:已知 a1 是奇数,假设 ak=2m-1 是奇数,其中 m 为正整数,

a2 k +3 则由递推关系,得 ak+1= =m(m-1)+1 是奇数. 4 根据数学归纳法,可知对任何 n∈N*,an 都是奇数. 1 (2)方法一:由 an+1-an= (an-1)(an-3),知当且仅当 an<1 或 an>3 时,an+1>an. 4

1+3 32+3 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< =1;若 ak>3,则 ak+1> =3. 4 4 根据数学归纳法,可知?n∈N*,0<a1<1?0<an<1;?n∈N*,a1>3?an>3. 综上所述,对一切 n∈N*都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. a2 1 +3 方法二:由 a2= >a1,得 a2 1-4a1+3>0.于是 0<a1<1 或 a1>3. 4 a2 a2 n+3 n-1+3 ?an+an-1??an-an-1? an+1-an= - = . 4 4 4 a2 n+3 因为 a1>0,an+1= ,所以对任意 n∈N*,an 均大于 0.因此 an+1-an 与 an-an-1 同号. 4 根据数学归纳法,可知?n∈N*,an+1-an 与 a2-a1 同号. 因此,对于一切 n∈N*都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3.


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