当前位置:首页 >> >>

高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用


高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一:已知椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 ∠F1PF2 = θ , 则 a 2 b2

S ?F1PF2 = b 2 tan

θ
2
2

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∵ (2c) 2 = F1 F2 ∴ PF1 PF2 =

= PF1 + PF2 ? 2 PF1 PF2 cos θ = ( PF1 + PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 (1 + cos θ )
2 2

( PF1 + PF2 ) 2 ? 4c 2 2(1 + cos θ )

=

4 a 2 ? 4c 2 2b 2 = 2(1 + cos θ ) 1 + cos θ

∴ S ?F1PF2 =

1 b2 θ PF1 PF2 sin θ = = b 2 tan 2 1 + cos θ 2

x2 y2 性质二: 已知椭圆方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 , ∠F1 PF2 最 若 a b
大,则点 P 为椭圆短轴的端点 证明:设 P ( x o , y o ) ,由焦半径公式可知: PF1 = a + exo , PF1 = a ? exo 在 ?F1 PF2 中, cos θ =

PF1 + PF1 ? F1 F2
2 2

2

2 PF1 PF2

=

( PF1 + PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

=

4 a 2 ? 4c 2 4b 2 2b 2 ?1 = ?1= 2 ?1 2 2 PF1 PF2 2(a + exo )(a ? exo ) a ? e 2 xo
2 ∴ xo ≤ a 2

∵ ?a ≤ x0 ≤ a
性质三:已知椭圆方程为 性质三

x2 y2 + = 1(a > b > 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 ∠F1 PF2 = θ , 则 a 2 b2

cos θ ≥ 1 ? 2e 2 .
证明:设 PF1 = r1 , PF2 = r2 , 则在 ?F1 PF2 中,由余弦定理得: 证明

cos θ =

r12 + r22 ? F1 F2 (r + r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 = 1 2 = ?1 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2
2



2 a 2 ? 2c 2 2 a 2 ? 2c 2 ?1 = ? 1 = 1 ? 2e 2 . r1 + r2 2 2a 2 2( ) 2

命题得证。

x2 y2 0 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在一点 P, 使得 ∠F1 PF2 = 120 , 求椭圆的 a b
离心率 e 的取值范围。

简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 ≥ 1 ? 2e . 即 ? 简解
0 2

1 ≥ 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

? 3 ? ,1?. 2 ? ? ?

x2 y2 性 质 四 : 已 知 椭 圆 方 程 为 2 + 2 = 1( a > b > 0), 两 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 设 焦 点 三 角 形 PF1 F2 , a b

∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β , 则椭圆的离心率 e = ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β ,
由正弦定理得:

sin(α + β ) 。 sin α + sin β

F 1F2 sin(180 o ? α ? β ) =

=

PF2 sin α

=

PF 1 sin β

由等比定理得:

F 1F2 sin(α + β )

PF 1 + PF2 sin α + sin β



F 1F2 sin(α + β )

=

PF 1 + PF2 2c 2a , = sin(α + β ) sin α + sin β sin α + sin β

∴e =

sin(α + β ) c = 。 a sin α + sin β

已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2. 解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3

∴椭圆的方程为

x2 y2 + =1. 4 3 1 2 sin θ 3 + sin(60 o ? θ ) 2


(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°-θ

∵ 椭圆的离心率 e =


1 sin(180 o ? θ ) = = 2 sin 120 o + sin(60 o ? θ )

整理得:5sinθ= 3 (1+cosθ)

3 2? θ 3 sin θ 3 5 = 5 3 .w.w.w. 故 tan = ,tanF1PF2=tanθ= ∴ = 3 1 + cos θ 5 11 2 5 1? 25


相关文章:
高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用.doc
高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用_数学_高中教育_教育专区。高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称...
椭圆中焦点三角形的性质(含答案).doc
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。焦点三角形习题 性质一:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为 2 b2 a ...
椭圆中焦点三角形的性质(含答案).doc
椭圆中焦点三角形的性质(含答案) - 鞍山三中高二文科数学 专题 1:椭圆中焦点三角形的性质及应用 b2 性质一:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,...
椭圆的焦点三角形的性质及其应用.ppt
椭圆的焦点三角形的性质及其应用_数学_高中教育_教育专区。椭圆的焦点三角形 (...高考数学椭圆中常见的焦... 2页 5下载券 椭圆焦点三角形性质的探... 暂无...
椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用.doc
椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用 - 高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用 定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一:已知...
椭圆的焦点三角形的性质_图文.ppt
椭圆的焦点三角形的性质_数学_高中教育_教育专区。椭圆的焦点三角形的 性质 一、定义: ? 椭圆上一点和两焦点 组成的三角形叫焦点 三角形;有一个角为 直角的...
椭圆中的焦点三角形应用_图文.ppt
4 9 9 7 D. 或 4 7 性质四:过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦...椭圆焦点三角形面积公式... 6页 1下载券 高考数学椭圆中常见的焦... 2页...
椭圆中的焦点三角形(公开课)_图文.ppt
椭圆中的焦点三角形(公开课)_数学_高中教育_教育专区。镇海中学 高三备课组 ...焦点弦四边形(如面积的最值) 归纳小结: 焦点三角形 基本概念 性质及应用 思想...
高中数学 第二章《椭圆中焦点三角形的性质及应用》教案....doc
高中数学 第二章《椭圆中焦点三角形的性质及应用》教案 新人教A版选修2-1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义:椭圆上...
111椭圆中焦点三角形的性质及应用.doc
椭圆中焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为...椭圆中焦点三角形的性质... 3页 1下载券 高考数学椭圆中常见的焦... ...
高中数学2.3第05课时椭圆中焦点三角形的性质及应用学案....doc
高中数学2.3第05课时椭圆中焦点三角形的性质及应用学案理新人教A版选修2-1(2) - 课题:椭圆中焦点三角形的性质及应用(实验班) 学时:05 课型:新受课 学习...
椭圆焦点三角形的性质.doc
椭圆焦点三角形的性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。本文档重点介绍了椭圆的定义,焦点三角形的性质,适合高三一轮复习使用 椭圆的焦点三角形基础再现:已知椭圆 ...
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用.doc
椭圆中的焦点三角形性质及应用 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 椭圆中的焦点三角形性质及应用 作者:章显军 来源:《中学教学参考 理科版》...
高中数学2.2.4椭圆中焦点三角形的性质及应用教案新人教....doc
高中数学2.2.4椭圆中焦点三角形的性质及应用教案新人教A版选修1-1 - 甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质 及应用教案 新...
...数学教案:2.3~05《椭圆中焦点三角形的性质及应用》(....doc
2015-2016学年吉林东北师大附中高二数学教案:2.3~05《椭圆中焦点三角形的性质及应用》(人教A版选修2-1)_资格考试/认证_教育专区。课题:椭圆中焦点三角形的性质...
椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习).doc
椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1(选填题课直接用,大题需论证): 在椭圆 x...6页 免费 高考数学椭圆中常见的焦... 2页 5下载券 2018 Baidu |由 ...
椭圆中焦点三角形的性质及应用.doc
椭圆中焦点三角形的性质及应用 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一...高考数学椭圆中常见的焦... 2页 5下载券 椭圆的焦点三角形的性质... ...
椭圆中与焦点三角形有关的问题.doc
椭圆中与焦点三角形有关的问题_数学_自然科学_专业资料。椭圆中与焦点三角形有...椭圆中焦点三角形的性质... 3页 免费 高考数学椭圆中常见的焦... 10页 5...
焦点三角形的性质(经典!必看).doc
焦点三角形的性质(经典!必看) - 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的 关问题意地考...
椭圆中焦点三角形的性质及应用.doc
椭圆中焦点三角形的性质及应用_数学_高中教育_教育专区。人教版B版高中教案 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角...
更多相关标签: