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【5年高考3年模拟】(新课标版)2014年高考数学真题分类汇编 17 坐标系与参数方程 理

第十七章
考点一 坐标系与极坐标

坐标系与参数方程

1.(2014 安徽,4,5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是(t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ρ =4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 答案 D 2.(2014 湖南,11,5 分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线 l 与曲线 C:(α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐 标方程是 答案 ρ cos=1 3.(2014 广东,14,5 分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρ sin θ =cos θ 和 ρ sin θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建 立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 答案 (1,1) 4.(2014 天津,13,5 分)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 和直线 ρ sin θ =a 相交 于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为 答案 3 5.(2014 重庆,15,5 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin θ -4cos θ =0(ρ ≥0,0≤θ <2π ),则 直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ = 答案 6.(2014 陕西,15C,5 分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线 ρ sin=1 的距离 是 答案 1 7.(2014 辽宁,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得 由+=1 得 x +=1,即曲线 C 的方程为 x +=1. 故 C 的参数方程为(t 为参数). (2)由解得或 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为,所求直线斜率为 k=,于是所求直线方程为 y-1=, 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3, 即 ρ =.
1
2 2 2 2 2 2

) D.2

B.2

C.

.

.

.

.

.

考点二 参数方程 8.(2014 北京,3,5 分)曲线(θ 为参数)的对称中心( A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上 答案 B 9.(2014 江西,11(2),5 分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ =,0≤θ ≤ 答案 A 10.(2014 湖北,16,5 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 答案 (,1) 11.(2014 课标Ⅰ,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C:+=1,直线 l:(t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 解析 (1)曲线 C 的参数方程为(θ 为参数). 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离为 d=|4cos θ +3sin θ -6|. 则|PA|==|5sin(θ +α )-6|, 其中 α 为锐角,且 tan α =. 当 sin(θ +α )=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为. 当 sin(θ +α )=1 时,|PA|取得最小值,最小值为. 12.(2014 课标Ⅱ,23,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为 ρ =2cos θ ,θ ∈. (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. 解析 (1)C 的普通方程为(x-1) +y =1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为(t 为参数,0≤t≤π ). (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆. 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t=,t=. 故 D 的直角坐标为,即. 13.(2014 江苏,21C,10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 2

)

D.在直线 y=x+1 上

)

B.ρ =,0≤θ ≤

C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤

.

2

在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交 于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 解析 将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y =4x,得=4,解得 t1=0,t2=-8. 所以 AB=|t1-t2|=8. 14.(2014 福建,21(2),7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),圆 C 的参数方程为(θ 为参数). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x +y =16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点,故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d=≤4,解得-2≤a≤2.
2 2 2

2

3