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均值不等式


均值不等式

学习目标:
1.知识与技能: (1)理解并掌握均值定理及其推导, (2)培养学生探究能力以及分析问题、 解决问题的能力。 (3)会用均值不等式进行简单证明和求 最值。 2.过程与方法:渗透数形结合的思想 方法。 3.情态与价值:通过本节的学习,体 会数学来源于生活,通过数学思维认识世 界,提高学习数学的兴趣。

学习重难点:
?学习重点:理解均值不等式。 ?学习难点:均值不等式的应用。

复习回顾:
1、不等式的性质: 2、两个数或式怎样比较大小?

问题1:求函数 的最值?

1 y = x + (x>0) x

今天要学习的,正是简洁处理这类问 题的一种新的思想方法.

定义:
对任意两个正实数a,b:
a+b 数 2 叫做a,b的算术平均数。



ab

叫做a,b的几何平均数。

问题2:
两个正数a,b的算术平均数和几何 平均数之间具有怎样的大小关系?

2 2 a?b 1? ? ab ? a ? b ?2 a b? ? ? ? 2 2? 2 1 ? a ? b ? 0, 2

? ? ? ?
? ?

当且仅当 a = b, 即a = b时, 取" = "号.
a?b 计算结果表明 ab ? .也就是说, 两个正数的 2 几何平均数不大于它们的算术平均数, 当两数相等 时等号成立

均值定理: 如果a,b ? R+
均值定理应注意:

a?b ? ab ,那么 2 当且仅当a=b时,式中等号成立。
1、适用条件: a, b ? R
2、等号成立的条件:
?

当且仅当a=b时,式中等号成立
2 a ? b ? 2 ab , 即 ( a ? b ) ? 0. 3、变形 a?b 2 也 可 以 : ab ?( ). 2

a?b ? ab 的几何解释: 2
做 线 段 AB ? a ? b ,以 AB为 直 径 作 半 圆 O, 在 直 径 AB 上取一点 D, 使 AD ? a,DB ? b, 过 D作 弦 DC ? AB, 交 半 圆 于 点 C, 连 接 C, A OC, BC.
C

探究一: a+b ab 2 1、图中CO,CD的长度 B A a b D O 分别是多少? 2、CO与CD的大小关系 ? 半径不小于半弦 如何? 3、等号何时成立?

课堂互动探究:
1.探究均值不等式与 不 等 式 a ? b ? 2ab
2 2

即 ( ( a- b) ? 0) 的 关 系 如 何? 1,适用条件,
2

重要不等式
如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab

2,结构特征, 3,等号成立的 条件。

(当且仅当a=b时,取“=”号)

问题回馈: 作用一:求最值 那么均值不等式有什么作用呢?重新 1 思考问题1:求函数 y = x + (x>0) x 的最值? 变式1:x ? 0 函数的最值是什么?还 能直接运用均值定理吗? 变式2:去掉限定条件时,函数的值 域是什么?

作用二:证明不等式 b a 已知a,b ? 0,求证: ? ? 2, a b 并推导出式中等号成立 的条件。
问题1:a,b ? 0 还可以满足上式吗?

练习

问题2:a,b异号时得出什么样的结论?

思维提升
例1(1)我校操场上的生物实验田为矩
形,其面积为100m2。问这个矩形试 验田的长、宽各为多少时,矩形的 周长最短?最短周长是多少?

河口一中生物实验田

解:设矩形的长、宽分 别为x(m)、y(m ), 依题意得 xy ? 100(m2 ).

x?y 因为x ? 0,y ? 0, 所以 ? xy.因此 2 2(x ? y) ? 4 100,即2(x ? y)? 40. 当且仅当x ? y时,式中等号成立,此时x ? y ? 10

结论1:两个正数积为常数时,则和有最小值

即x ? y ? 2 xy

(2)我校操场上的生物实验田为矩 形,其周长为36m。问这个矩形试验 田的长、宽各为多少时,它的面积 最大?最大的面积是多少?

解:设矩形的长、宽分 别为x(m)、y(m ), 依题意得 x ? y ? 18(m ).

x?y 因为x ? 0, y ? 0, 所以 xy ? .因此 2 xy ? 9.将这个正值不等式 两边平方, 得:xy ? 81.

当且仅当x ? y时,式中等号成立, 此时x ? y ? 9

结论2:两个正数和为定值,则积有最大值
x?y 2 即:xy ? ( ). 2

归纳总结:
已知两个正数x,y,求x+y与积xy的最 值:

(1)xy为定值p, 那么当x ? y时,x ? y有最小值2 p.

1 2 (2)x ? y为定值S,那么当x ? y时,xy有最大值 S . 4

探究并归纳:运用均值不等式求最值 时注意什么问题?

运用均值不等式求最值时注意:
1、不等式的适用范围 2、运用均值不等式求最值时,要把一端化 为常数(定值)即和为定值积有最大值, 积为定值和有最小值。 3、等号是否成立,即是否能取得此最值, 若取得要注明等号成立的条件; 一正 、二定 、三相等

巩固提升:让我们共同探究:

例2.下列函数中,最小值为4的函

数是 ④ 4 ①y=x+ x
2x ②y=e +

.
一正
-x 4e (x≥0)

二定

4 三相等 2 sin x ④y=log3x+logx81(x>1)
③y=sin2x+

课堂练习1:下面解法正确吗?问什么?

4 已知x ? 3, 求x ? 的最小值. x 4 4 解 : x ? ? 2 x ? ? 4, ? 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x ? ,即x ? 2时, 等号成立. x

练习2.下列函数的最 小值为2的是____ :
1 A、 y ? x ? x

1 ? B、y ? sin x ? (0 ? x ? ) sin x 2
1 x2 ? 2
1 π D、y ? tan x ? (0 ? x ? ) tan x 2

C、y ? x ? 2 ?
2

3 练习3、求函数y ? x ? ( x ? 2)的 x?2 最小值以及相应的x的值。

课堂小结
? 知识要点: (1)两个不等式: (2)利用均值不等式求最值的两个结论: ? (3)利用均值不等式求最值需注意的三个要点: ? 思想方法技巧: (1)数形结合思想 (2)比较法 ? (3)简单的配凑等技巧

作业:P72页:A4,B2


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