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yb1912com:函数的基本性质_图文

1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性
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一般地, 设函数 f(x) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) < f(x2), 那 么就说函数 f(x) 在区间 D上是增函数.

如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) > f(x2), 那 么就说函数 f(x) 在区间 D上是减函数. 函数在某个区间是增函数或减函数的性质叫函数 的单调性, 这个区间叫函数的单调区间.

? 3.函数单调性在图象上的反映:若f(x)是区间A上的单调增 函数,则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的,若 上升 f(x)是单调减函数,则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的. ________ 取值 作差 , ? 4.用定义证明单调性的步骤:__________ ,________ 变形 ,________ 定号 ,________. 结论 ________

问题2. 如图是函数 f(x)=x2 的图象, (1) 当x≤0时, 图象是怎样倾斜的? x 增大时间, 函数值是增大还是 减小? 如果取 x1<x2≤0, f(x1) 与 f(x2)哪个大? (2) 当 x>0 呢? y
(1) 当 x≤0 时, 图象左高右低. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小. x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2). 函数 f(x)= x2 在(-∞, 0]上是减函数. (2) 当 x≥0 时, 图象左低右高. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 也增大. x1>x2≥0 时, f(x1)>f(x2). 函数 f(x)=x2 在 [0, +∞)上是增函数.
f(x1) f(x1) f(x2) f(x2) x1 x2o x2 x1 x

例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y

解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].

3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2

x

其中 [-5, -2), [1, 3)

是单调减区间, [-2, 1), [3, 5] 是单调增区间. 下面我们观察图象上动点 P 随 x 坐标的增大, y 坐标的变化情况.

? 3.函数单调性在图象上的反映:若f(x)是区间A上的单调增 上升 函数,则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的,若 f(x)是单调减函数,则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 ________的. 取值 作差 ? 4.用定义证明单调性的步骤: 变形 定号 结论__________,________, ________,________,________.

例3 (课本探究). 画出反比例函数 y = 1 的图象. x (1) 这个函数的定义域 I 是什么? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你 的结论. y 1 y = 2 1 x 解: 画出函数 y = 的图象如图: x 1 (1) 函数的定义域 o
I = {x|x<0, 或 x>0}. (2) 函数在定义域 I 内的区间
-2 -1 -1 -2 1 2

x

(-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数. x2 - x1 1 1 证明: f ( x1 ) - f ( x2 ) = x - x = x x , 1 2 1 2

例3 (课本探究). 画出反比例函数 y = 1 的图象. x (1) 这个函数的定义域 I 是什么? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你 的结论. y 1 y = 2 1 x 解: 画出函数 y = 的图象如图: x 1 (1) 函数的定义域 o
-2 -1 -1 >0}. I = {x|x<0, 在区间 (-∞, x0) 上任取 x1<x2<0, -2 (2) 函数在定义域 I 内的区间 则 x x >0, x -x >0,
1 2 2 1

1 2

x

(-∞, 0)上是减函数 ,x )>0, 在区间(0, +∞)上也是减函数. ∴ f ( x 1) - f ( 2 x2 - x1 1 1 x1 )x )= - = , 即 : f f (x > f ((x ), 证明 1) 22 x1 x2 x1 x2 ∴函数在(-∞, 0)上是减函数.

解: 画出函数 y = 1 的图象如图: x (1) 函数的定义域 I = {x|x<0, x>0}.
(2) 函数在定义域 I 内的区间

2 1 -2 -1 o -1 -2

y= 1 x
1 2 x

(-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数. x2 - x1 1 1 证明: f ( x1 ) - f ( x2 ) = x - x = x x , 1 2 1 2 在区间(0, +∞)上任取 x1>x2>0, 则 x1x2>0, x2-x1<0,

∴ f(x1) - f(x2)<0,
即 f(x1) < f(x2), ∴函数在(0, +∞)上也是减函数.

?用定义证明函数的单调性 证明:函数f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上是减函数. ? [分析] 函数解析式和区间已给出,要证明函数是减函数, 只需用定义证明即可. ? ? [证明] 设x1<x2≤-1,则Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=(2x+4x2)-(2x+4x1)

?
? ?

=2(x-x)+4(x2-x1)
=2(x2-x1)(x1+x2+2). ∵x1<x2≤-1,x1+x2+2<0,∴Δy<0.

?

∴f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

?证明含参数的函数的单调性

ax 已知函数 f(x)= 2 (a 为常数且 a≠0), 试判断 x -1 导学号62240356 函数 f(x)在(-1,1)上的单调性.

[解析] 任取 x1、x2,使得-1<x1<x2<1, 则 Δx=x2-x1>0. a?x1x2+1??x1-x2? Δy=f(x2)-f(x1)= , 2 ?x2 - 1 ?? x - 1 ? 1 2

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x1x2+1>0,x2 1-1<0,x2-1<0,

?x1x2+1??x1-x2? ∴ 2 <0, ?x1-1??x2 - 1 ? 2 ∴当 a>0 时,f(x2)-f(x1)<0, 故此时函数 f(x)在(-1,1)上是减函数, 当 a<0 时,f(x2)-f(x1)>0, 故此时 f(x)在(-1,1)上是增函数. 综上所述,当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数, 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上为增函数.

【课时小结】
1. 函数的单调性
增函数: x 增大时, y 也增大, 图象左低右高. 减函数: x 增大时, y 减小, 图象左高右低.

单调性:
在区间 D 内, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)< f(x2), 函 数在区间 D 内单增; 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) > f(x2), 函数在区间 D 内 单减.

【课时小结】
2. 函数单调性的证明 ① 在区间 D 内任取 x1<x2; ② 计算 f(x1)-f(x2); ③ 判断 f(x1)-f(x2) 的值的正负; ④ 由③确定 f(x1) 与 f(x2) 的大小;

⑤ 与 x1<x2 对照, 如果自变量与函数值的大小 一致, 则是增函数, 否则是减函数.

习题 1.3 A组 1. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x) 的单调区间, 以及在各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增 函数还是减函数. (1) y=x2-5x+5; (2) y=9-x2. 解: (1) 函数是二次函数, y 其图象是开口向上的抛物线, 3 2 顶点 ( 5 , - 5 ). 2 4 1 两对称点 (1, 1), (4, 1). -1 o -1 5 函数在 (-?, ] 上是减函数, - 5 2 4 5 , + ?) [ 在 上是增函数. 2

1

2

3

4

x

习题 1.3 A组 1. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x) 的单调区间, 以及在各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增 函数还是减函数. y (1) y=x2-5x+5; (2) y=9-x2. 解: (2) 函数也是二次函数, 其图象是开口向下的抛物线,
9 8 7 6 5 4 3 2 1

·

顶点 (0, 9).
两对称点 (-3, 0), (3, 0). 函数在 (-∞, 0]上是增函数, 在 [0, +∞)上是减函数.

-3 -2 -1 o

·

1 2 3

·x

2. 证明: (1) 函数 f(x)=x2+1 在 (-∞, 0) 上是减函数; (2) 函数 f(x)=1- 1 在 (-∞, 0) 上是增函数. x 证明: (1) 任取 x1<x2<0, f(x1) - f(x2) = (x12+1)-(x22+1) = x12-x22 = (x1+x2)(x1-x2), ∵ x1<x2<0, ∴ x1+x2<0, x1-x2<0, 则 (x1+x2)(x1-x2)>0, 得 f(x1) > f(x2), ∴ 函数 f(x)=x2+1 在 (-∞, 0) 上是减函数.

2. 证明: (1) 函数 f(x)=x2+1 在 (-∞, 0) 上是减函数; (2) 函数 f(x)=1- 1 在 (-∞, 0) 上是增函数. x 证明: (2) 任取 x1<x2<0, x1 - x2 1 1 f(x1) - f(x2) = (1 - ) - (1 - ) = , x1 x2 x1 x2 ∵ x1<x2<0, ∴ x1x2>0, x1-x2<0, x1 - x2 < 0, 则 x1 x2 得 f(x1) < f(x2), ∴ 函数 f ( x) = 1 - 1 在 (-∞, 0) 上是增函数. x

1.3.1 单调性与最大(小)值
第二课时 函数的最大(小)值

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1. 什么是函数的最大值和最小值? 2. 怎样求函数的最大值和最小值?

问题2. 画出函数 f(x)=x2 的图象, 观察图象, 是否 存在一个自变量 x0, 对定义域内任意 x, 使 f(x)≥f(x0) 或 f(x)≤f(x0)? 若存在, x0 是多少? f(x0) 是多少? y 图象在 x 轴的上方, 向上无 y=x2 限延伸, 最低点是原点. 不存在一个 x0, 使定义域内 的任意 x, 都有 f(x)≤f(x0). o x

存在一个 x0=0, 使定义域内
的任意 x, 都有 f(x)≥f(0) = 0. 这时 f(0) = 0 是最小值.

一般地, 设函数 y=f(x) 的定义域为 I, 如果存在 实数 M 满足: (1) 对于任意的 x?I, 都有 f(x)≤M; (2) 存在 x0?I, 使得 f(x0)=M. 那么, 我们称 M 是函数 y=f(x) 的最大值. 如果存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x?I, 都有 f(x)≥M; (2) 存在 x0?I, 使得 f(x0)=M. 那么, 我们称 M 是函数 y=f(x) 的最小值.

例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2

1

这时函数取得最小值

o
-1

p
2

p

x

2 这时函数取得最大值 f ( x0 ) = f (p ) = 1. 2

p f ( x0 ) = f (- ) = -1. 2 p x = (2) 当 0 时, f(x)≤f(x0),

例3. “菊花” 烟花是最壮观的烟花之一, 制造时 一般是期望在它达到最高点 (大约是在距地面高度 25 m 到 30 m 处) 时爆裂. 如果在距地面高度 18 m 的地 方点火, 并且烟花冲出的速度是14.7 m/s. (1) 写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式. (2) 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少 (精确到 1 m)? 解: (1) 设烟花冲出 t s 时距地面的高度为 h m, 由上抛物体的运动原理知 h(t ) = vt - 1 gt 2 + h0 2 = 14.7t - 4.9t 2 + 18.

例3. “菊花” 烟花是最壮观的烟花之一, 制造时 一般是期望在它达到最高点 (大约是在距地面高度 25 m 到 30 m 处) 时爆裂. 如果在距地面高度 18 m 的地 方点火, 并且烟花冲出的速度是14.7 m/s. (1) 写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式. (2) 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少 (精确到 1 m)? 解: (2) 由(1)得 h(t ) = 14.7t - 4.9t 2 + 18. 这是一个二次函数, 其图象开口向下, 顶点为最高点. 当 t = - b = - 14.7 =1.5 时, h(t)取得最大值为 2(-4.9) 2a 2 2 4 ? ( 4 . 9 ) ? 18 14 . 7 h(t ) = 4ac - b = ≈29 (m). 4? (-4.9) 4a 答: 烟花冲出1.5秒时爆裂最佳, 此时距地面约29米.

例4. 求函数 y = 2 在区间 [2, 6] 上的最大值和 x -1 最小值. y
分析: 由函数图象可知, 2 y= x - 1是[2, 6]上的减函数, 当x=2最小时, 函数值最大, 当x=6最大时, 函数值最小.
2.5 2 1.5 1 0.5

O

1 2 3 4 5 6

x

例4. 求函数 y = 2 在区间 [2, 6] 上的最大值和 x -1 求最值时, 要注意闭区间的端点值 . 最小值. y
解: 在区间[2, 6]上任取 2.5 2 2≤x1<x2≤6, 1.5 1 f ( x1 ) - f ( x2 ) = 2 - 2 0.5 x1 - 1 x2 - 1 2( x2 - x1 ) O 1 2 3 4 5 6 x = , ( x1 - 1)( x2 - 1) 则 x=2 时取得 ∵ 2≤x1<x2≤6, 最大值 f(2) = 2; ∴ x1-1>0, x2-1>0, x2-x1>0, 2( x2 - x1 ) x = 6 时取得 > 0, ? f(x1)>f(x2), 则 ( x1 - 1)( x2 - 1) 最小值 f(6) = 0.4. 2 ∴ 函数 y = 是[2, 6]上的减函数, x -1

练习: (课本32页) 第 5 题. 习题 1.3 A组 第 5 题.

练习: (课本32页) 5. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, -2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .

解: 函数在 [-6, -2] 上递减, 图象左高右低; 在 [-2, 11] 上递增,
图象左低右高.
-6

y

-2 o

11 x

习题 1.3 A 组 5. 某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租 2 x 金 x 元间的关系为 y = - + 162 x - 21000, 那么, 每辆 50 车的月租金多少元时, 租赁公司的月收益最大? 最大 月收益是多少? 解: 收入函数是二次函数, 二次项系数为负, y 图象开口向下, 对称轴是 x = - b =4050, 2a 图象如图所示. x o 4050 即每辆车的月租金为4050元时, 公司月收益最大, 最大月收益是 2 4050 + 162? 4050- 21000 =307050(元). (答略) 50

【课时小结】
函数的最值 (1) 在定义域内, 若 f(x)≤f(x0)=M, 在 x0 处取 得最大值 M; 若 f(x)≥f(x0)=M, 在 x0 处取得最小 值 M; (2) 最大值处, 图象是最高点; 最小值处, 图象是最低点. (3) 在闭区间上求最大值和最小值时, 要注意 端点.

习题 1.3

B组 第 1、 2 题 .

B组 1. 已知函数 f(x)=x2-2x, g(x)=x2-2x (x?[2, 4]). (1) 求 f(x), g(x) 的单调区间; (2) 求 f(x), g(x) 的最小值. 解: (1) 任取 x1<x2, f(x1)-f(x2) = (x12-2x1)-(x22-2x2) = (x12-x22)-2(x1-x2) = (x1-x2)(x1+x2-2). 当 x1<x2<1 时, (x1-x2)(x1+x2-2)>0,
此时 f(x1)>f(x2), 得 f(x) 在 (-∞, 1] 上是减函数. 当 1<x1<x2 时, (x1-x2)(x1+x2-2)<0, 得 f(x1)<f(x2), 函数 f(x) 在 [1, +∞) 上是增函数. 于是得 g(x) 在 [2, 4] 上是增函数.

B组 1. 已知函数 f(x)=x2-2x, g(x)=x2-2x (x?[2, 4]). (1) 求 f(x), g(x) 的单调区间; (2) 求 f(x), g(x) 的最小值. 解: (1) 其实, f(x) 是二次函数, y 开口向上, 对称轴方程是 x=1, (如图). (2) f(x)的最小值是
f(1)=12-2?1 = -1. g(x)的最小值是 g(2)=22-2?2 = 0. o 1 2
4 x

2. 如图所示, 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积 相同的矩形熊猫居室, 如果可供建造围墙的材料总长 是 30 m, 那么宽 x (单位: m) 为多少才能使所建造的 熊猫居室面积最大? 熊猫居室的最大面积是多少? 解: 由图得每个 熊猫居室的长为 x (30-3x)÷2 =15-1.5x, ∴面积 S = (15-1.5x)x = -1.5x2+15x, (0<x<10). 根据二次函数的性质, b x = 当 时, 即 x=5 时, 面积 S 最大, 2a 最大面积为 S最大= -1.5?52+15?5 =37.5(m2). (答略)

2. 如图所示, 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积 相同的矩形熊猫居室, 如果可供建造围墙的材料总长 是 30 m, 那么宽 x (单位: m) 为多少才能使所建造的 熊猫居室面积最大? 熊猫居室的最大面积是多少? 解: 由图得每个 熊猫居室的长为 x (30-3x)÷2 =15-1.5x, ∴面积 S = (15-1.5x)x = -1.5x2+15x, (0<x<10). 或配方为, S = -1.5(x-5)2+37.5 当 x=5 时, 面积 S 最大, 最大面积为 S最大= 37.5(m2). (答略)

1.3.2

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1. 什么是偶函数, 它的图象有什么特点? 2. 什么是奇函数, 它的图象有什么特点?

3. 怎样判断函数的奇偶性?

问题1. 观察下面两个图象. (1) 各图象有什么样 的对称性? (2) 各函数中, 自变量取一对相反数时, 函数值是什么关系? 即 f(x) 与 f(-x) 有什么关系?
y f(x)=x2 3 2 1 -3-2-1o 1 2 3 x y 3 2 1 -3-2-1o 1 2 3 x

f(x)=|x|

(1) 两图象都关于 y 轴对称.

(2) 第一个函数 f(x)=x2, f(1)=f(-1)=1, f(2)=f(-2)=4, …… f(3)=f(-3)=9,
第二个函数 f(x)=|x|, f(1)=f(-1)=1, f(2)=f(-2)=2, …… f(3)=f(-3)=3,

问题1. 观察下面两个图象. (1) 各图象有什么样 的对称性? (2) 各函数中, 自变量取一对相反数时, 函数值是什么关系? 即 f(x) 与 f(-x) 有什么关系?
y f(x)=x2 3 2 1 -3-2-1o 1 2 3 x y 3 2 1 -3-2-1o 1 2 3 x

f(x)=|x|

(1) 两图象都关于 y 轴对称. (2) 第一个函数 f(x)=x2, f(1)=f(-1)=1, f(2)=f(-2)=4, …… f(3)=f(-3)=9, 自变量取一对相反数时 , = 函数值相同 , 即 =f(-2)=2, 第二个函数 f(x)=|x|, f(1) f(-1)=1, f(2) f(-x) = f(x). f(3)=f(-3)=3, ……

定义: 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称.
如: 问题 1中, f(x)=x2, f(-x)=(-x)2 =x2,

得 f(-x)=f(x),
∴ f(x)=x2是偶函数. 同样, f(x)=|x|, f(-x)=|-x| =|x|, 得 f(-x) = f(x), ∴ f(x)=|x|也是偶函数.

问题2. 观察下面两个图象. (1) 图象有什么样的 对称性? (2) 各函数中, 自变量取一对相反数时, 函 数值是什么关系? 即 f(x) 与 f(-x) 有什么关系?
y f(x)=x 3 1 -3 -1o 1 3 x
-3 y 3 f ( x) = 1 x 1 -3 -1o 1 3 x

-3

(1) 两图象都关于原点对称. (2) 第一个函数 f(x)=x, f(1) =1, f(-1) = -1, f(2) = 2, f(-2) = -2, …… 第二个函数 f ( x) = 1 , f(1) =1, f(-1) = -1, x f (2) = 1 , f (-2) = - 1 , …… 2 2

问题2. 观察下面两个图象. (1) 图象有什么样的 对称性? (2) 各函数中, 自变量取一对相反数时, 函 数值是什么关系? 即 f(x) 与 f(-x) 有什么关系?
y f(x)=x 3 1 -3 -1o 1 3 x
-3 y 3 f ( x) = 1 x 1 -3 -1o 1 3 x

-3

(1) 两图象都关于原点对称. (2) 第一个函数 f(x)=x, f(1) =1, f(-1) = -1, f(2) = 2, f(-2) = -2, ……
1, 第二个函数 f ( x ) = f(1) =1, f(-1) = -1, , 即 自变量取一对相反数时, 函数值也互为相反数 x f(-x) = -f(x). f (2) = 1 , f (-2) = - 1 , …… 2 2

定义: 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x) = -f(x), 那么函数 f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称. 如: 问题 2中, f(x)=x, f(- x) = - x, 得 f(-x) = -f(x), ∴ f(x) = x是奇函数. 同样, f ( x) = 1 , x f (- x ) = - 1 , x 得 f(-x) = -f(x), ? f ( x) = 1 也是奇函数. x

例(补充): 如图是函数 y = f(x) 的图象的一部分, 根据下列条件, 画出函数的另一部分. (1) 函数是奇函数; (2) 函数是偶函数.

解: (1) 奇函数的图象关于 原点对称.
y

y

O
O x

x

y

(2) 偶函数的图象关于 y 轴对称.
O x

问题3. 奇函数的图象是否过原点, 你能举例 说明吗? 不一定.
1, f ( x ) = 如: x 1 1 f (- x ) = = - = -f(x), -x x f ( x) = 1 是奇函数. x 其图象不过原点, 如图:
y 3 f ( x) = 1 x 1 -3 -1o 1 3 x -3

但如果奇函数的定义域为 R 时, 一定有 f(0)=0, 你知道为什么吗? 这时图象就一定过原点.

例5. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x4; (2) f(x)=x5; (3) f ( x ) = x + 1 ; (4) f ( x) = 12 . x x 解: (1) ∵ f(x) = x4, 其定义域为 R, 则对任意 x 都有 f(-x) = (-x)4 = x4 = f(x), ∴ f(x) = x4 是偶函数. (2) ∵ f(x) = x5, 其定义域为 R,
则 R 内任意 x 都有 f(-x) = (-x)5= - x5 = - f(x), ∴ f(x) = x5 是奇函数.

例5. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x4; (2) f(x)=x5; (3) f ( x ) = x + 1 ; (4) f ( x) = 12 . x x 解: (3) ? f ( x) = x + 1 , 其定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), x 在定义域内的任意 x 都有 f (- x) = (- x) + 1 = -( x + 1 ) = - f(x), (- x ) x ? f ( x) = x + 1 是奇函数. x 1 (4) ? f ( x ) = 2 , 其定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), x 在定义域内的任意 x 都有 1 1 = f(x), f (- x ) = 2 = 2 (- x ) x 1 ? f ( x) = 2 是偶函数. x

练习: (课本36页) 第 1、 2 题 .

练习: (课本36页) 1. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x4+3x2; (2) f(x)=x3-2x; 2 x (3) f ( x) = + 1; (4) f(x)=x2+1. x 解: (1) f(x)=2x4+3x2的定义域是(-∞, +∞), 在其定义域内的任意 x 都有 f(-x) = 2(-x)4+3(-x)2

= 2 x 4+ 3 x 2 = f(x),
∴ f(x)=2x4+3x2是偶函数.

练习: (课本36页) 1. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x4+3x2; (2) f(x)=x3-2x; 2 x (3) f ( x) = + 1; (4) f(x)=x2+1. x 解: (2) f(x)=x3-2x 的定义域是(-∞, +∞), 在其定义域内的任意 x 都有 f(-x) = (-x)3-2(-x) = -x3+2x = - (x3-2x) = - f(x), ∴ f(x)=x3-2x是奇函数.

练习: (课本36页) 1. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x4+3x2; (2) f(x)=x3-2x; 2 x (3) f ( x) = + 1; (4) f(x)=x2+1. x 2 解: (3) f ( x ) = x + 1的定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞), x 在其定义域内都有 (- x)2 + 1 f (- x ) = -x 2 x + 1 =x = -f(x), ∴f(x) 是奇函数.

练习: (课本36页) 1. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=2x4+3x2; (2) f(x)=x3-2x; 2 x (3) f ( x) = + 1; (4) f(x)=x2+1. x 解: (4) f(x)=x2+1 的定义域是(-∞, +∞), 在其定义域内的任意 x 都有 f(-x) = (-x)2+1 = x2+1 = f(x), ∴ f(x)=x2+1 是偶函数.

2. 已知 f(x) 是偶函数, g(x) 是奇函数, 试将下图 补充完整. y y
f(x)
O x O g(x) x

解: f(x)是偶函数, 其图象关于 y 轴对称, 如图. g(x)是奇函数, 其图象关于原点对称, 如图.

【课时小结】
1. 函数的奇偶性 偶函数: 若定义域内任一 x 都有 f(-x)=f(x), 则 f(x) 是偶函数. 奇函数: 若定义域内任一 x 都有 f(-x)= -f(x), 则 f(x) 是奇函数.

【课时小结】
2. 奇偶函数的图象特点

偶函数的图象关于 y 轴对称;
奇函数的图象关于原点对称. 奇函数的定义域为 R 时, 图象过原点.

【课时小结】
3. 奇偶函数的判定

(1) 由代数定义判定: 计算 f(-x) 与 f(x) 比较符号.
(2) 由图象判定: 看图象的对称性.

习题 1.3 A组 第 6 题. B组 第 3 题.

习题 1.3 A 组 6. 已知函数 f(x) 是定义在R上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x) = x(1+x). 画出函数 f(x) 的图象, 并求 出函数的解析式. 解: f(x) = x(1+x)=x2+x 是二次函数,

x≥0 的部份如图.
奇函数的图象关于原点对称, 则 x<0 的部份如图.

y

-1 2

O

x

习题 1.3 A 组 6. 已知函数 f(x) 是定义在R上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x) = x(1+x). 画出函数 f(x) 的图象, 并求 出函数的解析式. 解: 当 x>0 时, f(x) = x(1+x),

当 x<0 时, ? -x>0, 则 f(-x) = -x(1-x), ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(-x) = - f(x), 则 - f?x? = -x(1-x),
得 f?x? = x(1-x). x(1 + x), x ? 0 ? . 即 f ( x) = ? ? x(1 - x), x < 0

y

-1 2

O

x

B组 3. 已知函数 f(x) 是偶函数, 而且在(0, +∞)上是 减函数, 判断 f(x) 在(-∞, 0)上是增函数还是减函数 并证明你的判断. 解: f(x)在(0, +∞)上是减函数, 这部分的图象 y 左高右低. f(x) 是偶函数, 图象关于 y 轴对称. 于是得 f(x) 在 (-∞, 0) 上
O x

是增函数.

B组 3. 已知函数 f(x) 是偶函数, 而且在(0, +∞)上是 减函数, 判断 f(x) 在(-∞, 0)上是增函数还是减函数 并证明你的判断. 证明: 在(-∞, 0)上任取 x1<x2<0, y 则 -x1>-x2>0. 而 f(x)在(0, +∞)上是减函数, ∴ f(-x1) < f(-x2). O x 又 f(x) 是偶函数, 即 f(-x1) = f(x1), f(-x2) = f(x2), ∴ f(x1) < f(x2). ∵ x1<x2<0, ∴ f(x) 在(-∞, 0)上是增函数.

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1. 函数的单调性 (1) 图象特点: 增函数区间, 左低右高; 减函数区间, 左高右低. (2) 代数定义: 在区间 D 内, 任意 x1<x2 都有 f(x1)<f(x2), 增函数; 任意 x1<x2 都有 f(x1)>f(x2), 减函数.

2. 最大值与最小值 (1) 图象特点: 最大值, 定义域内的最高点; 最小值, 定义域内的最低点. (2) 代数定义: 若 f(x)≤f(x0), 则在 x0 处取得最大值 f(x0); 若 f(x)≥f(x0), 则在 x0 处取得最小值 f(x0).

(3) 在闭区间内求最值, 要注意比较端点值.

3. 函数的奇偶性 偶函数: 定义域内任一 x, f(-x)=f(x). 偶函数的图象关于 y 轴对称. 奇函数: 定义域内任一 x, f(-x)=-f(x). 奇函数的图象关于原点对称. 奇函数的定义域为 R 时, 图象过原点.

例1. 已知函数 y=f(x) 在 R 上是减函数, 求满足 不等式 f(x-2)<f(3x+2) 的 x 的取值范围. 解: 因为 f(x) 在 R 上是减函数. 则函数值小时, 自变量大. ∴由 f(x-2)<f(3x+2) 得 x-2>3x+2, 解得 x<-2. 即 x 的取值范围是 (-∞, -2).

1 y = 例2. 求函数 x + 2 的单调区间. 解: 设 x1<x2, x2 - x1 f ( x 1) - f ( x 2 ) = 1 - 1 = , x1 + 2 x2 + 2 ( x1 + 2)( x2 + 2) x1, x2不能为-2, 且应在同一个单调区间,

取 x1<x2<-2, 则 x2-x1>0, x1+2<0, x2+2<0, x2 - x1 ? > 0, ( x1 + 2)( x2 + 2) 得 f(x1)>f(x2), ∴函数在 (-∞, -2) 上是减函数.

1 y = 例2. 求函数 x + 2 的单调区间. 解: 设 x1<x2, x2 - x1 f ( x 1) - f ( x 2 ) = 1 - 1 = , x1 + 2 x2 + 2 ( x1 + 2)( x2 + 2) x1, x2不能为-2, 且应在同一个单调区间,

取 x1>x2>-2, 则 x2-x1<0, x1+2>0, x2+2>0, x2 - x1 ? < 0, ( x1 + 2)( x2 + 2) 得 f(x1)<f(x2), ∴函数在 (-2, +∞) 上也是减函数. 1 即函数 y = 在区间 (-∞, -2) 和区域 (-2, +∞) x+2 上分别都是减函数.

例3. 若函数 f ( x) =

x 为奇函数, 求 a 的值. (2 x + 1)( x - a) 解: ∵f(x) 是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), -x x 即 =, (-2 x + 1)(- x - a) (2 x + 1)( x - a)

得 (-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a), 1 解得 a = . 2

例4. 设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b (b为常数), 则 f(-1) 等于( D ) (A) 3 (B) 1 (C) -1 (D) -3 解: ∵f(x) 是 R 上的奇函数, ∴ f(0)=0, 即有 f(0)=20+2?0+b=0, 得 b= -1, 又 f(-1)= -f(1) = -(21+2?1-1) = -3.

例5. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 且在 [1, +∞) 上是增函数, 则下列结论中: ① f(x) 在 (-∞, 1] 上是增函数; ② f(x) 在 (-∞, -1] 上是增函数; ③ f(x) 在 (-∞, 0)上是增函数; ④ f(0)=0. 其中一定成立的 有② ④ . 分析: f(x) 在 [1, +∞) 上是增函数, 如图: 又是在 R 上的奇函数, 图象 y 关于原点对称, 如图: ① 不一定, 如图: O 1 ② 肯定对. ③ 不对. ④ 是对的.

x

补充练习
共 10 题

1. 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0时, f(x)=2x2-x, 则 f(1) 等于( (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3 2. 若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R, 则 ( ) (A) f(x) 与 g(x) 均为偶函数 (B) f(x) 为偶函数, g(x) 为奇函数 (C) f(x) 与 g(x) 均为奇函数 (D) f(x) 为偶函数, g(x) 为奇函数 3. 已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1, 若g(x)=f(x)+2, 则 g(-1) = .

)

4. 若 f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数, 则实数 a=

.

5. 若函数 y=f(x) 在 x=2 时取得最小值-1, 则函数y=f(x-1)-2 在何处取得最值? 是最大 值还是最小值?是多少? 最 6. 已知函数 y=f(x) 是 R 上的偶函数, 在 [0, +∞) 上是减函数, 且 f(0)=0, 则函数 f(x) 有 值是 . 7. 已知函数 y=f(x) 是 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x2-3x, 则当 x<0 时, f(x)= 8. 下列函数中, 既是奇函数, 又是增函数的是( (A) y=x+1 ( (B) y=-x2 (C) y = 1 (D) y=x|x| ) .

9. 已知偶函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递增, 则满足 f (2 x - 1) < f ( 1 ), 的 x 的取值范围是 3 ) (A) ( 1 , 2 ) (B) [ 1 , 2 ) (C) ( 1 , 2 ) (D) [ 1 , 2 ) 3 3 2 3 3 3 2 3
10. 若函数 f(x)=|2x+a| 的单调递增区间是 [3, +∞), 则 a= .

x

1. 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时, f(x)=2x2-x, 则 f(1) 等于( A ) (A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3

解: ∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(1) = -f(-1) = -[2(-1)2-(-1)] = -3.

2. 若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均 为 R, 则 ( B ) (A) f(x) 与 g(x) 均为偶函数 (B) f(x) 为偶函数, g(x) 为奇函数 (C) f(x) 与 g(x) 均为奇函数 (D) f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数 解: f(-x)=3-x+3-(-x) =3x+3-x =f(x), 得 f(x) 是偶函数. g(-x)=3-x-3-(-x) = -(3x-3-x) = -g(x), 得 g(x) 是奇函数.

3. 已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1, 若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1) = -1 . 解 : 由 g(x)= f(x )+ 2 得

g(-1)= f(-1)+2,
∵y=f(x)+x2 是奇函数, ∴f(-1)+(-1)2= -[f(1)+12] = -2, 则 f(-1)=-3, ∴g(-1)= -3+2 = -1.

4. 若 f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数, 则实数 a= 4
解: ∵ f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数, 则 (-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4) 解得 a=4.

.

5. 若函数 y=f(x) 在 x=2 时取得最小值-1, 则函数 y=f(x-1)-2 在何处取得最值? 是最大值还是最小值? 是多少? 解: ∵ y=f(x) 在 x=2 时取得最小值-1, 若令 x=t-1, 则有 y=f(t-1) 在 t-1=2 时取得最小值 -1, 即 y=f(t-1) 在 t=3 时取得最小值 -1, 那么 y=f(x-1)-2 在 x=3 时取得最小值 -3.

6. 已知函数 y=f(x) 是 R 上的偶函数, 在 [0, +∞) 上是减函数, 且 f(0)=0, 则函数 f(x) 有最 大 值是 0 . 解: 图象法, 函数在 [0, +∞) 上是减函数, 其 f(0)=0, 如图: 又在 R 上是偶函数, 图象 关于 y 轴对称, 如图: 由图可知函数有最大值 0.

y

O 1

x

7. 已知函数 y=f(x) 是 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x2-3x, 则当 x<0 时, f(x) = -x2-3x . 解: 当 x<0 时, -x>0, 则 -x>0 时, f(-x)=(-x)2-3(-x) =x2+3x, ∵ y=f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(-x)= -f(x), 即 -f(x)=x2+3x, 得 f(x)= -x2-3x.

8. 下列函数中, 既是奇函数, 又是增函数的是 ( D) 1 2 y = (A) y=x+1 (B) y=-x (C) (D) y=x|x| x 分析: 由奇偶性的代数定义可判断 A, B 选项不是 奇函数 由反比例函数知 C 选项不是增函数. 四个选项的图象如图: y
1 O

y x
O

y

y

x

O

x

1 O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

9. 已知偶函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递增, 则满足 f (2 x - 1) < f ( 1 ), 的 x 的取值范围是( A ) 3 (A) ( 1 , 2 ) (B)[ 1 , 2 ) (C) ( 1 , 2 ) (D) [ 1 , 2 ) 3 3 3 3 2 3 2 3 解: 函数 f(x) 的图象如图: y f ( 1 ) = f (- 1 ), 3 3 即 f (2 x - 1) < f ( 1 ) = f (- 1 ), 3 3 O 1 x 1 函数在[0, +∞)上是增函数得 3 3 2x-1≥0, 1 ? x < 2. 解得 1 2 3 2x -1< , 3 2x-1≤0, 1 < x? 1. 函数在(-∞, 0]上是减函数得 解得 1 3 2 2x -1> - , 3 1 2 ∴x 的范围为 ( , ). 3 3

10. 若函数 f(x)=|2x+a| 的单调递增区间是 [3, +∞), 则 a= - 6 . 解: 将函数化为分段函数, ?2 x + a , x ? - a , ? 2 f ( x) = ? a - 2 x - a, x < - . ? ? 2 画出图象如图: 要使函数的单增区间是 [3, +∞), 需 - a = 3, 2 得 a= -6.

y

- aO 2

3

x


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