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2014年高三数学第一轮复习:对数函数


2014 年高三数学第一轮复习:对数函数
一、考纲点击 对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常 用对数;了解对数在简化运算中的作用。 (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型。 (4)了解指数函数 y=ax 与对数函数 y ? log a 互为反函数( a ? 0, 且a ? 1 )
x

二、热点提示 对数函数 (1)对数函数在高考的考查中,重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数学思想 方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。 (2)以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质;也有可能与其他知识结合,在 知识交汇点处命题,以解答形式出现,属中低档题。

【考纲知识梳理】
对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果 a ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x ? log a ,其
x
N

中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。 (2)几种常见对数
表格 1

对数形式 一般对数 常用对数 自然对数

特点 底数为 a a ? 0, 且a ? 1 底数为 10 底数为 e

记法

log a N
lg N

ln N

2、对数的性质与运算法则 (1)对数的性质( a ? 0, 且a ? 1 ): ① log a ? 0 ,② log a ? 1 ,③ a
1 a

log a N

? N ,④ log a a ? N 。
N

(2)对数的重要公式: ①换底公式:

log b

N

log a N ? (a, b均为大于零且不等于1, N ? 0) ; log a b
1 ,推广 log a b? b c? c d ? log a d 。 log log logb a

② log a b ?

(3)对数的运算法则: 如果 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 那么 ①

log a ( MN ) ? log a M ? log a N



② ③

log a

M ? log a M ? log a N N ;
R);

log a M n ? n log a M (n ?



log a m b n ?

n log a b m 。

3、对数函数的图象与性质

a ?1
图 象

0 ? a ?1

性 质

(1)定义域:(0,+ ? ) (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 ? x ? 1 时, y ? (??, 0) ; 当 x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为增函数 (4)当 x ? 1 时, y ? (??, 0) ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为减函数

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系 提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。

【热点难点精析】
对数函数 一、对数的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路 (1) 利用换底公式及,尽量地转化为同底的和、差、积、商运算; (2) 利用对数的运算法则,将对数的和、 差、倍数运算, 转化为对数真数的积、商、 幂再运算; (3) 约分、合并同类项,尽量求出具体值。 〖例 1〗计算

(log3 2 ? log9 2) ? (log 4 3 ? log8 3) (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;(2) ;
2

lg 5 ? lg 8000 ? (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2 (3)
解:(1)原式 ? (lg 2) ? (1 ? lg 5) lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ? lg 5 ? 1) lg 2 ? 2lg 5
2 2

? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg5 ? 2(lg 2 ? lg5) ? 2 ;

?(
(2)原式

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ? )?( ? )?( ? )?( ? ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2 3lg 2 5lg 3 5 ? ? 2 lg 3 6 lg 2 4 ;
2

?

(3)分子= lg 5(3 ? 3 lg 2) ? 3(lg 2) ? 3 lg 5 ? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3 ;

(lg 6 ? 2) ? lg
分母=

36 1 6 ? ? lg 6 ? 2 ? lg ?4 1000 10 100 ;

3 ?原式= 4 。
二、比较大小 1、相关链接 (1)比较同底的两个对数值的大小,可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x) ? f(x)>g(x)>0; ②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x) ? 0<f(x)<g(x)

(2)比较两个同真数对数值的大小,可先确定其底数,然后再比较。 ①若 a>b>1,如图 1. 当 f(x)>1 时,logbf(x)>logaf(x); 当 0<f(x)<1 时,logaf(x)> logbf(x).

②若 1>a>b>0,如图 2。 当 f(x)>1 时,logbf(x)> logaf(x); 当 1>f(x)>0 时,logaf(x)> logbf(x). ③若 a>1>b>0。 当 f(x)>1 时,则 logaf(x)> logbf(x); 当 0<f(x)<时,则 logaf(x)<logbf(x). (3)比较大小常用的方法 ①作差(商)法;②利用函数的单调性;③特殊值法(特别是 1 和 0 为中间值) 2、例题解析 〖例〗对于 0 ? a ? 1,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a) ? log a (a ? ); ② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ;
1? a

1 a

1 a

③a

?a

1?

1 a 1 a

; ; 其中成立的是( )

④ a1? a ? a

1?

(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④
x 分析:从题设可知,该题主要考查 y ? log a x 与 y ? a 两个函数的单调性,故可先考

虑函数的单调性,再比较大小。 解答:选 D。∵0<a<1,∴a< ②④正确。 三、对数函数性质应用 1、相关链接
1? 1 1 1 ,1+a<1+ ,∴ log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) , a1? a ? a a ; 即 a a a 1

(1) 对数函数的性质是每年高考必考内容之一, 其中单调性和对数函数的定义域是热点 问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。 (2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”。 即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决。 (3)与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域; ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x) ③分别确定这两个函数的单调区间; ④若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数, 即“同增异减”。 2、例题解析 〖例〗设函数 f ?x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间;

?1 ? x ? ? ? 1, e ? 1? ?e ? 时,(其中 e ? 2.718 ?)不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的 (2)若当
取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2?上的根的个数.
2

1 ? 2 x? x ? 2 ? ? f ??x ? ? 2??x ? 1? ? ? x ? 1? x ?1 . ? ? 解 (1)函数的定义域为 ?? 1,?? ?,

1分 2分 3分 4分

? 由 f ?x ? ? 0 得 x ? 0 ; ? 由 f ?x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,
则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? .

(2)令

f ??x ? ?

?1 ? 2 x? x ? 2 ? ? 1,0? ? 0, f ?x ? 在 ? e ? ? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上递增, x ?1 得 x ? 0 ,由(1)知
6分

?1 ? 1 1 f ? ? 1? ? 2 ? 2, e2 ? 2 ? 2 ? 2 f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 ? e e 由 ?e ,

8分

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? ?e ? 时, f ? x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m 恒成
立. 9分

2 (3)方程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? 1 ? x x ? 1 .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 .

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时, 方程无解. 字上所述,a ? (1,??) ? (??,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ? (3 ? 2 ln 3,1] 或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

10 分

13 分

14 分

注:解决对数函数问题,首先要看函数的定义域,在函数的定义域内再研究函数的单调 性,判断时可利用定义,也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的 应用。 四、对数函数的综合应用 〖例 1〗(12 分)已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、B 两点, 分别过 A、B 作 y,轴的平行线与函数 y ? log8 x 的图象交于 C、D 两点。 (1) 证明点 C、D 和原点 O 在同一直线上; (2) 当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标。 分析:(1)证明三点在同一条直线上只需证明 kOC ? kOD ; (2)解方程组得 x1 , x2 ,代入解析式即可求解。 解答:(1)设点 A,B 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,由题设知 x1 >1, x2 >1 则点 A、B 的纵坐标分别为 log8 x1 、 log8 x2 。 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log 8 x1 log 8 x2 , ? x1 x2

点 C、D 的坐标分别为( x1 , log 2 x1 )、( x2 , log 2 x2 ) 由于 log 2 x1 ?

log8 x1 ? 3log8 x1 , log 2 x2 ? 3log 8 x2 log8 2
log 2 x1 3log8 x1 , ? x1 x1

OC 的斜率为 k1 =

OD 的斜率为 k2 ?

log 2 x2 3log8 x2 , ? x2 x2

由此可知 k1 ? k2 ,即 O、C、D 在同一直线上。 注:在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到 x1 与 x2 关系无法进行正确地转化, 并且求解坐标进忽略函数定义域的情况,导致此种错误的原因是:没有正确地理解题意,没 有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系,或对 x1 、 x2 的范围没有搞清楚。 (2)由于 BC 平行于 x 轴,知 log 2 x1 = log8 x2 , 即得 log 2 x1 = log 2 x2 , x2 ? x1

1 3

3

代入 x2 log8 x1 ? x1 log8 x2 ,得 x1 log8 x1 ? 3x1 log8 x1
3

由于 x1 ? 1 ,知 log8 x1 ? 0, 故 x1 ? 3 x1
3

考虑 x1 ? 1 ,解得 x1 ?

3,

于是点 A 的坐标为( 3 , log 8 3 ) 注:本题是典型的在知识交汇点处的命题,若用传统方法设直线方程,解方程组求交点 必然思路受阻,而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。 〖例 2〗设 A、B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D (1)求点 D 的坐标; (2)当△ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围 解:(1)易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)), 所以由中点公式得 D(a+2, log2

a(a ? 4)

)

(2)S△ABC=S 梯形 AA′CC′+S 梯形 CC′B′B- S 梯形 AA′B′B=?=

( a ? 2) 2 log2 a ( a ? 4) ,
其中 A′,B′,C′为 A,B,C 在 x 轴上的射影

( a ? 2) 2 由 S△ABC= log2 a ( a ? 4) >1, 得 0< a<2 2 -2

【感悟高考真题】
1、(2008 年湖南卷 13)设函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,且函数
y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2),则函数 y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点

.

(-1,2)
?1 2、(2009 重庆卷文)记 f ( x) ? log3 (x ? 1)的反函数为 y ? f ( x) ,则方程

f ?1 ( x ) ? 8 的解 x ?



【答案】2
?1 y ?1 解 法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) , 得 x ? 3 , 即 f ( x) ? 3x? 1 于 是 由 ,

3x ? 1? 8,解得 x ? 2
解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2 3、(2009 北京文)为了得到函数
所有的点 ( )

y ? lg

x?3 10 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【答案】C 解析:本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A. B.

y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3?




y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3?
y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg x?3 10 , x ?3 10 .

C.

y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg
D. 故应选 C.

4、(2009 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和
3

y ? ax 2 ?

15 x ?9 4 都相切,

则 a 等于

25 A. ?1 或 64 答案:A

21 B. ?1 或 4

7 25 C. 4 或 64 ?

7 D. 4 或 7 ?

3 (x , x ) ) 【 解 析 】 设 过 ( 1 , 0的 直 线 与 y ? x 相 切 于 点 0 0 , 所 以 切 线 方 程 为
3

y ? x03 ? 3x0 2 ( x ? x0 )



y ? 3x0 2 x ? 2 x03

3 x ?? (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 0 2, ,又 y ? ax 2 ? 15 25 x ?9 a?? 4 64 , 相切可得



x0 ? 0

时,由 y ? 0 与



x0 ? ?

3 27 27 15 y? x? y ? ax 2 ? x ? 9 2 时,由 4 4 与 4 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A .
y? 1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 2 的反函数是
2 x ?1

5. (2010 全国卷 2 理数)(2).函数 (A)

y ? e2 x ?1 ? 1( x ? 0)
2 x ?1

(B) y ? e (D) y ? e

? 1( x ? 0)

(C) y ? e 【答案】D

? 1( x ? R)

2 x ?1

? 1( x ? R)

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

6. (2010 陕西文数)7.下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f (x+y)=f(x)f(y)”的是 [C] (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数

解析:本题考查幂的运算性质

f ( x) f ( y ) ? a x a y ? a x ? y ? f ( x ? y )
7. (2010 上海文数)9.函数 (0,?2) 。

f ( x) ? log (x ? 3) 3

的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是

解析:考查反函数相关概念、性质 法一:函数 法二:函数

f ( x) ? log3 ( x ? 3)

的反函数为 y ? 3 ? 3 ,另 x=0,有 y=-2
x

f ( x) ? log (x? 3) 3

图像与 x 轴交点为(-2,0),利用对称性可知,函数

f ( x) ? log3 ( x ? 3)

的反函数的图像与 y 轴的交点为(0,-2)


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