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2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.3空间向量基本定理课时作业

3.1.3
课时目标

空间向量基本定理

1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底,并正确表示空间向量.

1.空间向量基本定理 如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实数组(x,y, z),使得______________________. 由此可知,如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么空间的每一个向量组成的集合就是 ________________________________.这个集合可看作是由向量 e1,e2,e3 生成的,我 们把__________叫做空间的一个基底, ____________都叫做基向量. 空间任何三个不共 面的向量都可构成空间的一个基底. 2.正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是______________, 那么这个基底叫做正交基底, 当一 个正交基底的三个基向量都是______________时, 称这个基底为单位正交基底, 通常用 ____________表示. 3.推论 设 O,A,B,C 是__________的四点,则对空间任意一点 P,都存在惟一的有序实数组 (x,y,z),使得______________________.

一、填空题 → → → → 1. 若存在实数 x、 y、 z, 使OP=xOA+yOB+zOC成立, 则下列判断正确的是________. (写 出正确的序号) → → → ①对于某些 x、y、z 的值,向量组{PA,PB,PC}不能作为空间的一个基底; → → → ②对于任意的 x、y、z 的值,向量组{PA,PB,PC}都不能作为空间的一个基底; → → → ③对于任意的 x、y、z 的值,向量组{PA,PB,PC}都能作为空间的一个基底; ④根据已知条件,无法作出相应的判断. → → → → 2.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=xOA+yOB+zOC, 则(x,y,z)为____________. 3.在以下 3 个命题中,真命题的个数是________. ①三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面; ②若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线; ③若 a,b 是两个不共线向量,而 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R 且 λ μ ≠0),则{a,b,c} 构成空间的一个基底. 4. 若{a, b, c}是空间的一个基底, 则下列各组中能构成空间一个基底的是________. (写 出符合要求的序号) ①a,2b,3c; ②a+b,b+c,c+a; ③a+2b,2b+3c,3a-9c; ④a+b+c,b,c. 5.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i, 则点 A 在基底{i,j,k}下的坐标是______________. 6.下列结论中,正确的是________.(写出所有正确的序号) ①若 a、b、c 共面,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; ②若 a、b、c 不共面,则不存在实数 x,y,使 a=xb+yc;
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③若 a、b、c 共面,b、c 不共线,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; ④若 a=xb+yc,则 a、b、c 共面. → → → 7.如图所示,空间四边形 OABC 中,OA=a, OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上且 OM=MA, 1 → BN= NC,则MN=__________________. 2 8.命题:①若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;②向量 a、b、c 共面,则它 们所在的直线也共面;③若 a 与 b 共线,则存在惟一的实数 λ ,使 b=λ a.上述命题中 的真命题的个数是________. 二、解答题 9.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,那么向量 a+b,b+c,c+a 能构成空间的 一个基底吗?为什么?

10.

如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. → 1→ 1→ (1)化简:A1O- AB- AD; 2 2 → 2→ → → → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点且DE= DD1,若EO=xAB+yAD+zAA1,试求 x、y、z 的值. 3

2

能力提升 11.

如图所示,已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′. → → → → 求证:AC+AB′+AD′=2AC′.

→ → 12.如图所示,空间四边形 OABC 中,G、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心,设OA=a, OB → → =b,OC=c,试用向量 a、b、c 表示向量GH.

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1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量,空间的基底可以有无穷多个.一个 基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基向量指一个基底的某一个向量. 2. 利用向量解决立体几何中的一些问题时, 其一般思路是将要解决的问题用向量表示, 用已知向量表示所需向量, 对表示出的所需向量进行运算, 最后再将运算结果转化为要 解决的问题. 3.1.3 空间向量基本定理 知识梳理 1.p=xe1+ye2+ze3 {p|p=xe1+ye2+ze3,x,y,z∈R} {e1,e2,e3} e1,e2,e3 2.两两互相垂直 单位向量 {i,j,k} → → → → 3.不共面 OP=xOA+yOB+zOC 作业设计 1.① → → → → → → 解析 当OA,OB,OC共面时,则PA,PB,PC共面,故不能构成空间的一个基底. 1 1 1 2.( , , ) 4 4 4 → 3→ 3 → → 解析 因为OG= OG1= (OA+AG1) 4 4 3→ 3 2 1 → → = OA+ × [ (AB+AC)] 4 4 3 2 3→ 1 → → → → = OA+ [(OB-OA)+(OC-OA)] 4 4 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC, 4 4 4 → → → → 而OG=xOA+yOB+zOC, 1 1 1 所以 x= ,y= ,z= . 4 4 4 3.2 解析 命题①,②是真命题,命题③是假命题. 4.①②④ 解析 ∵-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0, ∴3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c), 即三向量 3a-9c,a+2b,2b+3c 共面.
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5.(12,14,10) 解析 设点 A 在基底{a,b,c}下对应的向量为 p, 则 p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i =12i+14j+10k,故点 A 在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10). 6.②③④ 解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件. 所以第②个命题正确. 但定理的应用 又有一个前提:b、c 是不共线向量,否则即使三个向量 a、b、c 共面,也不一定具有 线性关系,故①不正确,③④正确. 1 2 1 7.- a+ b+ c 2 3 3 8.0 9.解 假设 a+b,b+c,c+a 共面, 则存在实数 λ 、μ 使得 a+b=λ (b+c)+μ (c+a), ∴a+b=λ b+μ a+(λ +μ )c. ∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c 不共面. 1=μ , ? ? ∴?1=λ , ? ?0=λ +μ .

此方程组无解.

∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. → → → 10.解 (1)∵AB+AD=AC, → 1→ 1→ → 1 → → → 1→ → → → ∴A1O- AB- AD=A1O- (AB+AD)=A1O- AC=A1O-AO=A1A. 2 2 2 2 → → → 2 → 1→ (2)∵EO=ED+DO= D1D+ DB 3 2 2→ 1 → → = D1D+ (DA+AB) 3 2 2 → 1→ 1→ = A1A+ DA+ AB 3 2 2 1→ 1→ 2 → = AB- AD- AA1, 2 2 3 1 1 2 ∴x= ,y=- ,z=- . 2 2 3 11.证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形, → → → → → → 所以AC=AB+AD,AB′=AB+AA′,

AD′=AD+AA′.
→ → → 所以AC+AB′+AD′ → → → → → → =(AB+AD)+(AB+AA′)+(AD+AA′)







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→ → → =2(AB+AD+AA′). → → → → 又因为AA′=CC′,AD=BC, → → → → → → 所以AB+AD+AA′=AB+BC+CC′ → → → =AC+CC′=AC′, → → → → 故AC+AB′+AD′=2AC′. → → → → 2→ 12.解 GH=OH-OG,∵OH= OD, 3 → 2 1 → → 1 ∴OH= × (OB+OC)= (b+c), 3 2 3 →

OG=OA+AG=OA+ AD
→ 2 → → =OA+ (OD-OA) 3

→ → →

2→ 3

1→ 2 1 → → = OA+ × (OB+OC) 3 3 2 1 1 = a+ (b+c), 3 3 1 1 1 → 1 ∴GH= (b+c)- a- (b+c)=- a, 3 3 3 3 1 → 即GH=- a. 3

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