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2014—2015学年第一学期《高等数学(上)》A卷评分标准

2014—2015 学年第一学期《高等数学(上)》A 卷评分标准

一、填空题(每小题 2 分,共 16 分)

sin 4 x ?C 1. ? cos 4 xdx =______ 4 _____.
2.曲线 y ?
1 的水平渐近线为 y ? 0 ________. x ? 4x ? 5
2

3. 若

1 ? ? x sin x ? b, x ? 0, ? f ( x) ? ? a, x ? 0, ? sin x ? , x ? 0. x ?

则当 a ? ____ 1, b ? ____ 1 时, f ( x) 在 x ? 0 处连续.
1? x ? _____ . e?1 4. lim x x ?1 1

5. 抛物线

y ? x2 ? 3 上过点 ? 2,1? 的切线方程为

________.

2 dy ? ______. 3 6. 已知 y ? ln ? 2x ? 1? ,则 dx x?1
7. 求得 1.03 的近似值(精确到 0.001 )为1.015 ________.

8. xlim ???

ln ? x10 ? x9 ? x ? 1?

ln ? 3x 2 ? 2 x ? 1?

1 ? _____ . 5

二、选择题(每小题 2 分,共 14 分) 1.下列式子中正确的是 ?

?.B
B. lim x sin
x ??

sin A. lim x ?0

1 ?1 x

1 ?1 x

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1 1 C. lim sin ? 1 x ?0 x x
2. lim
sin | x ? 3 | _______ . D x ?3 x ?3 A.等于 1 B. 等于 ?1
1 x

1 1 D. lim sin ? 1 x ?? x x

C. 等于 ?

D. 不存在

3. x ? 0 是 f ? x ? ? ?1 ? x ? 的 ? A.无穷间断点 C. 跳跃间断点 4. lim

?.C
B. 可去间断点 D. 振荡间断点

5n ? 4n ? ________. A n?? 5n ?1 ? 4n ?1
1 5
B.

A.

4 5

C. 0

D. 1

5. 当 x ? 0 时, x3 是 100 x 的 A ? A.高阶 B. 低阶
3

? 无穷小.
C. 同阶 D. 等价

6. 点 (1,0) 是曲线 y ? ? x ? 1? 的①驻点;②拐点;③可导点.上述 三个判断中正确的是 ? A.①和②

? .D
C.①和③ D.①、②和③

B.②和③

n n ? ? n ? 2 ?L ? 2 7. lim ? ? ? _______ . B n ?? n 2 ? 1 n ?2 n ?n? ?

A. ? 1. B 2. D

B. 1 3. C 4. A

C. 0 5. A

D. 不存在 6. D 7. B

三、计算题(每小题 9 分,共 63 分)

? 5? x ? 1. 计算 lim ? ? . x ?? 4 ? x ? ?

x

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1 ? ? 5? x ? ? 解 lim ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? 4 ? x x ?? ? ? ? 4? x ? 1 ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? ? 4? x ?
4? x

x

x

3分
?4

1 ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? ? 4? x ?

6分 9分

?e
ln x dx. 2. 计算 ? ? ? x ln x dx ? ? ln 3 xd ? ln x ? 解 ? ? ? x
? 1 4 ln x ? C. 4
3 3

6分 9分

sin 3 x dx. 3. 计算 ? ? ? 2 ? cos x

解 令 t ? cos x,
sin 3 x t 2 ?1 dx ? ? 2 ? cos x ? t ? 2 dt

3分

3 ? t2 ? ? ??t ? 2 ? dt ? ? 2t ? 3ln t ? 2 ? C ? t ?2? 2 ?
? cos 2 x ? 2 cos x ? 3ln ? cos x ? 2 ? ? C 2

6分

9分

4. 计算 ? 3cos xdx . 解 设 x ? t , x ? t 2 , dx ? 2tdt , 3分 6分

? cos

xdx ? 3? t cos tdt ? 3? td sin t

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? 6 ? t sin t ? cos t ? C ? ? 6

?

x sin x ? cos x ? C

?

9分

? ? x ?1 x ?1 ? ? 5. 计算 ? ? ? dx. ? x ?1 ? ? ? x ?1 ? ? ? x ?1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1 ? ? dx ? ? dx 解 ?? ? ? ? ? x2 ?1 x2 ?1 ? ? x ?1 ? x ? 1 ? ?? ?

4分

?

2x x ?1
2

dx ? 2 x 2 ? 1 ? C

9分

?x ? 1? t2, d2y 6.设函数 y ? f ? x ? 由参数方程 ? 所确定,求 2 . dx ? y ? cos t


dy dy dt ? sin t sin t , ? ? ?? dx dx 2t 2t dt
d 2 y d ? dy ? d ? dy ? dt d ? dy ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? dx2 dx ? dx ? dt ? dx ? dx dt ? dx ? dx dt

3分

5分

?

d ? sin t ? 1 ?? ?? dt ? 2t ? 1 ? t 2 ? ? ?

7分

t

??

1 t cos t ? sin t 1 sin t ? t cos t ? ? . 2 t2 2t 4t 3
2

9分

7. 求函数 f ( x) ? ? x ? 2? 3 ? 2 x ? 1? 的极值. 解 由 f ?( x) ?
10( x ? 1) 33 x ? 2 ?0 ? x ? 1 为驻点;

3分

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又 f ??( x) ?

10 ? 3 10 10 2 x ? 5 ?? ?0 ,所以 f ??(1) ? ? ? 4 9 1 3 9 3 ( x ? 2)

所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,且极大值为 f (1) ? 3 .

6分

又 f ( x) 在 x ? 2 处不可导,对充分小的 ? ? 0 当 x ? (2 ? ? ,2) 时,
f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2,2 ? ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,可知 f ( x) 在 x ? 2 处取

得极小值,且极小值为 f (2) ? 0 . 四、证明题(7 分)

9分

若 f ( x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) ? f (1) ? 0 ,

?1? f ? ? ? 1 ,证明:在(0,1)内至少有一点 ? ,使 f ?(? ) ? 1. ? 3?
证 设 F ( x) ? f ( x) ? x , ………2 分

显然 F ( x ) 在 ? ,1? 上连续,在 ? ,1? 内可导,且

?1 ? ?3 ?

?1 ? ?3 ?

?1? 2 F ? ? ? ? 0 , F (1) ? ?1 ? 0 . ? 3? 3
由零点定理知存在 x1 ? ? ,1? ,使 F ( x1 ) ? 0 .

?1 ? ?3 ?

………4 分

由 F (0) ? 0 ,在 [0, x1 ] 上应用罗尔定理知,至少存在一点

? ? (0, x1 ) ? (0,1) ,使 F ?(? ) ? f ?(? ) ? 1 ? 0 ,即 f ?(? ) ? 1 …7 分


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