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7.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理


分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)

问题1: 从甲地到乙地,可以乘火 车,也可以乘汽车,一天中, 火车有 3 班,汽车有2 班,那 么一天中,乘这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的 火车3 走法?

火车2 火车1 汽车1 汽车2

问题2: 从甲地到乙地有3条不同路径,从 乙地到丙地有2条不同的路径,从 甲地到丙地共有多少条不同的路径 (假设甲地不能直接到丙地)
a b c





乙 1



2

从甲地到乙地,有2类办 法,第1类办法乘火车,有3 种不同的走法,第2类办法乘 汽车,有2种不同的走法,那 么从甲地到乙地共有 3+2 = 5 种不同的走法。

从甲地到丙地,需要分成2 个步骤,第1步从甲地到乙地有 3种不同的走法,第2步从乙地 到丙地有2种不同的走法,那么 从甲地到乙地共有 3×2 = 6 种不同的走法。

完成一件事,有n类方法. 在第1类方法中有m1种不同 的方法,在第2类方法中有m2种不同的方法,……,在第n 类方法中有mn种不同的方法,则完成这件事共有

分类加法计数原理

N= m1+m2+… + mn 种不同的方法

注:各类办法之间相互独立 ,都能独立的完成这件事,要计算方 完成一件事有两类不同方法,在第 1类方法中有 m 种不 法种数 ,只需将各类方法数相加 因此分类计数原理又称加法原理 同的方法,在第 2类方法中有,n 种不同的方法. 那么完成这件 事共有N=m+n种不同的方法. 完成一件事,需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的 方法,做第2步有m2种不同的方法, ……,做第n步有mn种不 同的方法,则完成这件事共有

分步乘法计数原理

N= m1×m2×… ×mn种不同的方法

完成一件事需要两个步骤,第 1 步有 m 种不同的方法, 注 :2 各个步骤相互依存 ,只有各个步骤都完成了 ,这件事才算完成 第 步有中有n种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=m×n ,将 各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 ,又称乘法原理 种不同的方法.

例1、 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两 位数共有多少个?
析:个位数字,可以分为以下几类: 个位是9,则十位数字可以是1,2,3, …,8中的一个,共8个

个位是8,则十位数字可以是1,2,3, …,7中的一个,共7个
…,…, 个位是2,只有1个 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数共有: 1+2+3+4+5+6+7+8=36

例2、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

例3、把20个不加区分的

小球放入编号为1,2,3
的三个盒子中,要求每个 盒子内的球数不小于它的 编号,则不同的放法共有 多少种?

随堂练习

1、 某大厦有8个门供顾客出入,某顾客从任一门进入, 从另一门走出,则有不同的走法的多少个?
析: 顾客从大厦出入需要分两步:一是进入,二是走出
8×7=56 2、

例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左右两 边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?

3× 2
变式1: 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班, 有多少种不同的选法? 3*2=6种 变式2:要把3个球放入2两个不同的口袋,有几种不同的放法? 4种 变式3: 要把1,2,3,4四个数放入下面三个格子里,数字不可重复,有 多少种不同的放法?

4*3*2*1=24

总结:分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)

例1、如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电 ?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

例2:体育彩票中的排列5中奖号码有5位数字,每位数若是0-9这十个数字中任一个,则产生中奖号码所有可能的种数是 多少?

10

× 10

×10 × 10 × 10

=105

变式1:0---9这十个数一共可以组成多少5位数?

9

× 10

×10 × 10 × 10

=9 × 104

变式3:0---9这十个数一共可以组成多少个数字不重复的5位数?

9

×9

×8

×7 × 6

=27216

注意:分步乘法计数关键要算好每一步的方法数

随堂练习
1、如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3条路;从 甲地到丙地有4条路可以走,从丙地到丁地有2条路。从甲地到 甲地 乙地 丁地共有多少种不同地走法? N1=2×3=6 N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地

2.四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位作自己的导师, 34 种选法;三名教授各从四名研究生中选一位作自己 共有______ 43 种选法。 的学生,共有_____ 3、

随堂练习
1、


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