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高中数学好题速递400题(01—50)

好题
1 是

递1

uuu r uuu r uuur y ∈ R ,则 y + 2 x 的取值范围 知 P 是 ?ABC 内任 点,且满足 AP = x AB + y AC , x ___ uuur r r 1 uuu x uuu y uuur x y AQ = AP = AB + AC , 系数和 + = 1 ,知点 Q 在线段 解法 x+ y x+ y x+ y x+ y x+ y uuu r AP ? x > 0, y > 0, BC 从而 x + y = uuur < 1 x y 满足条 ? 易知 y + 2 x ∈ (0, 2) AQ ? x + y < 1,
角形 所 妨设 等腰直角 角形 则

解法 因 题目没有特别说明 ?ABC 是什 立刻变 线性规划问题了
2

在 面直角 标系中 x轴 半轴 有5个点, y轴 半轴有3个点 将x轴 这5个点和y轴 这3个点连成15条线段 这15条线段在第 象限内的交点最多有 个

答案 30 个

好题
1

递2
A , 记 集 合 A 中 的 元 素个 数



函数 f ( x ) = [ x[ x]] ,其中 [ x] 表示
*

超过 x 的最大整数,如: [1.5] = 1 [?1.3] = ?2 ,当

x ∈ [0 n) (n ∈ N ) 时 , 设 函 数 f ( x) 的 值 域
an + 90 的最小值 n 答案 13

an , 则 式 子

解析 当 n ∈ [ 0,1) 时, ? ? x [ x ]? ? = 0 ,其间有 1 个整数 当 n ∈ [i, i + 1) , i = 1, 2,L , n ? 1 时, i ≤ ? ? x [ x ]? ? < i (i + 1) ,其间有 i 个 整数,故 a + 90 n 91 1 n(n ? 1) = + ? , an = 1 + 1 + 2 + L + (n ? 1) = +1, n n 2 n 2 2
2

n 91 = 得,当 n = 13 或 14 时,取得最小值 13 2 n
2

有七

学站成

排照

纪念照 种

其中



站在

中间

并且

两倍

学要

站在 起 则 答案 192 种

的站法有

好题
1

递3
AD = 1 AB = 2

知直线 l ⊥ 点 B 在 面α 设 AB 的中点

面α

垂足

O

在矩形 ABCD 中
D 两点间的最大距离

若点 A 在 l



动 解 所

移动 则 O
E

则 E 点的轨迹是球面的 部

OE = 1

DE = 2

OD ≤ OE + ED = 2 + 1

当且仅当 O, E , D
2

点共线时等 成立 四个球放入编
1 2 3 的



个盒子中 种

个盒子中

少放



球且

两个球 能放在

盒子中 则

的放法有

答案 30 种

好题
令 在 面直角 标系 xOy 中 设定点 A ( a, a )

递4
P 是函数 y =

1 ( x > 0) x



动点 若

点 P, A 之间的最短距离
2

2 2

则满足条 的实数 a 的所有值
2 2

解 函数解析式 含参数 求最值问题

AP = ( x ? a )
2

2

1? 1? ?? 1? ? ?1 ? ? ? + ? ? a ? = ? x + ? ? 2 a ? x + ? + 2 a 2 ? 2 = ?? x + ? ? a ? + a 2 ? 2 x? x? x? ? ?x ? ? ? ??
1 ≥2 x
两种情况 则 a = 10 则 a = ?1 班 少1 最多 2 则 的



x>0

则x+

1 当a ≥ 2时 2 当a < 2时

AP min = a 2 ? 2 = 2 2

AP min = 2a 2 ? 4a + 2 = 2 2
级的 3 个班实



将5

实 教师 配到高 种

配方案有 答案 90 种

好题
令 解 知 x, y ∈ R 构
? 2? 2 则 ( x + y ) + ? x ? ? 的最小值 y? ?
y2 = ? 2 x
2

递5

函数 y1 = x 象

则 ( x, x )

? 2? ? ? y, ? 两点 y? ?

别在

两个函数 方

故所求看成两点 ( x, x )

? 2? ? ? y, ? 之间的距离 y? ?

?y = x + m ? 2 2 2 ? x + mx + 2 = 0 ? ? = m ? 8 = 0 ? m = 2 2 ? = ? y ? x ?

所 所 工

y = x+2 2 是

y1 = x
2

行的 y2 = ? 的 线 故最小距离
4

2 x

d =2

( x + y)
某单

2

? 2? + ? x ? ? 的最小值 y? ?

要邀请 10

教师中的 6 人参加 种

个研讨会

其中



教师



时参

加 则邀请的 答案 140 种

方法有

好题
1

递6
圆心距 O1O2 = 2 动圆 C 圆 所示的两条双曲线 两条双曲线的

知定圆 O1 , O2 的半径



r1 , r2

O1 , O2 都相

圆心 C 的轨迹
e1 , e2



离心率 别
A D



e1 + e2 的值 e1e2

r1 和 r2 中的较大者 r1 ? r2

B

r1 和 r2 中的较小者

C

r1 + r2



取 O1 , O2

两个焦点 即 c = 1 时相外 时 个外 内 个内 则 CO1 ? CO2 = R ? r1 ? R + r2 = r2 ? r1 则 CO1 ? CO2 = R ? r1 ? R ? r2 = r2 + r1

若? C 若? C 因

? O1 , ? O2 ? O1 , ? O2

形成了两条双曲线
1 1 + r2 ? r1 r2 + r1 e1 + e2 2 2 时 = 1 1 e1e2 r2 ? r1 r2 + r1 2 2

妨设 r2 > r1



e1 + e2 = r2 e1e2

2

某班学生参加植树节活动 种树苗的种法共有

苗圃中有 种

3种

的树苗 从中取出 5 棵 别种

植在排成 排的 5 个树 内 答案 6 种

种树苗 能相邻 且第 个树 和第 5 个树 只能种

好题
令 知 F1 , F2 是双曲线 条渐 时 线交于点 M
e

递7
右焦点
F1 F2

x2 a2

?

y2 b2

= 1( a > 0, b > 0 ) 的

直径的圆

双曲线的

双曲线交于点 N

且M
2 x

N 均在第

象限

当直线 MF1 / / ON

双曲线的离心率

若函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ?

则 f (e) =



? x2 + y2 = c2 ? ? M ( a, b ) ? b ?y = x a ?

k F1M =

b a+c



kON =

b a+c



ON 的方程

y=

b x a+c



? x2 y2 =1 ? ? ? a (a + c) ? ab ? a 2 b2 ? N? , ? ? ? 2 ? 2 ?y = b x ? c + 2ac c + 2ac ? ? a+c ?

又 N 在圆 x 2 + y 2 = c 2



? a (a + c) ? ? ? ab 2 ? ? +? ? =c ? 2 ? ? 2 ? ? c + 2ac ? ? c + 2ac ? f ( e ) = e 2 + 2e ? 2 =2 e

2

2

所 工

e3 + 2e2 ? 2e ? 2 = 0



用 0

1

2

3

4 这五个数

组成无

复数

的五 个



其中恰有

个偶数数

夹在

两个奇数数 之间 这样的五 数的个数有 答案 28 个

好题
1

递8
最长边
1 9 且 + =1 a b

知 ?ABC 的

边长



a , b, c

其中边 c

则 c 的取值范围

是 解 又因 题意知
a+b > c
a ≤ c, b ≤ c

1 9 1 9 10 + ≥ + = 所 c ≥ 10 a b c c c b 9a ?1 9? 而 a + b = ( a + b ) ? + ? = 10 + + ≥ 16 a b ?a b?

故1 =

所 c < 16 故综 得 10 ≤ c < 16
2

从 5 其中
48 种

志愿者中选出 3

别从 翻译 导游

保洁

的 作 种

人承担

能从 翻译 作 则

的选派方案共有



好题
1

递9
个动点 点



面直角

标系 xoy 中

C 在线段 OA 的延长线

知点 A 是半圆 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 ( 2 ≤ x ≤ 4 ) 的 uuu r uuur 当 OA?OC = 20 时 则点 C 的纵 标的取值范围是
C ( 2λ + 2λ cos θ , 2λ sin θ )



设 A ( 2 + 2 cos θ , 2sin θ )
uuu r uuur OA?OC = 20 得

λ >1

? π π? θ ∈ ?? , ? ? 2 2?

λ=

5 2 + 2 cos θ


2

yC = 2 ?

5 ( sin θ ? 0 ) 5 5sin θ ? sin θ = = ∈ [ ?5,5] 2 + 2 cos θ 1 + cos θ cos θ ? ( ?1)



1 2

3 4 5 的五个人 别去 编

1

2 3

4 5 的五个

其中有

且只有两个的编 答案 20 种

的 法是



好题
1

递 10
动 点 使 ?B ' DC

点 D 是 直 角 ?ABC 斜 边 AB 将直角 ?ABC 沿着 CD 翻折 面角 则翻折
?ADC 构 成 直

AC = 3, BC = 2

AB ' 的 最 小 值

是 解 过点 B ' 作 B ' E ⊥ CD 于 E 连结 BE , AE 设 ∠BCD = ∠B ' CD = α 则有 B ' E = 2sin α , CE = 2 cos α , ∠ACE = 在 ?AEC 中 余 定理得
?π ? AE 2 = 9 + 4 cos 2 α ? 12 cos α cos ? ? α ? = 9 + 4 cos 2 α ? 12 sin α cos α 在 RT ?AEB ' 中 ?2 ? AB '2 = AE 2 + B ' E 2 = 9 + 4 cos 2 α ? 12 sin α cos α + 4 sin 2 α = 13 ? 6sin 2α 所

π
2



勾股定理得

当α =

π
4



AB ' 取

得最小值
2

7

从 1 到 10 这 是 个 数 中

任意选取 4 个数

其中第

大的数是 7 的情况共有

种 答案 45 种

好题
1

递 11

f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )

知函数 f ( x ) =

4x + k ? 2x + 1 4x + 2x + 1

若对于任意的实数 x1 , x2 , x3 均

边长的 角形 则实数 k 的取值范围是 解
f ( x) = 4x + k ? 2x + 1 4 + 2 +1
x x

= 1+

k ?1 1 2x + x + 1 2

g ( x) =

1 ? 1? ∈ ? 0, ? 1 2 + x +1 ? 3? 2
x

当k ≥1时 所
2≥

1 < f ( x) ≤

k +2 3

其中当且仅当 x = 0 时取得等 在
f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )

若 对于 任意的 实数 x1 , x2 , x3 均
k+2 3

边长 的

角形

只需



1≤ k ≤ 4

当k <1时 所

k +2 ≤ f ( x) < 1 3

其中当且仅当 x = 0 时取得等 在
f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )

若 对于 任意的 实数 x1 , x2 , x3 均

边长 的

角形

只需

2?

k+2 ≥1 3


?

?

1 ≤ k <1 2


2



1 ≤k≤4 2

在 条南 方向的 行街

侧有 8 块广告牌 牌的

色 选用红 蓝两种颜色 若只要 种

求相邻两块牌的 色 都 红色 则 答案 55 种

的配色方案共有

好题
1

递 12
等式 f ( f ( x ) ) < 0 的解集 空集 则实数

知函数 f ( x ) = x 2 ? 2ax + a 2 ? 1

若关于 x 的

a 的取值范围是

解 所 所 所
2

f ( x ) = x 2 ? 2ax + a 2 ? 1 = ? ? x ? ( a ? 1) ? ?? ? x ? ( a + 1) ? ? f ( x ) < 0 的解集

( a ? 1, a + 1)

若使 f ( f ( x ) ) < 0 的解集 空集就是 a ? 1 < f ( x) < a + 1 的解集 空 即 f min ( x) ≥ a + 1
?1 ≥ a + 1

即 a ≤ ?2 队 2 学 12 参赛 学中有 4 人 种 的 表队 则 获奖情况种数共有

某校举行奥 知识竞赛 有 6 支 表队参赛
CCCC 种
3 6 1 3 1 2 1 2

获奖 且这 4 人来自 3 人 答案

好题
1

递 13
f ( x ) ? f ( ?2 ? x ) = 0 ?2 x , x ≤ 0 ? 函数 g ( x ) = ?log x, x > 0 的 1 ? ? 2

知定

在R

的函数 f ( x ) 满足

f ( x) + f (2 ? x) = 0



[ ?1,1]

的表达式

2 ? ? 1 ? x , x ∈ [ ?1, 0] f ( x) = ? ? ?1 ? x, x ∈ ( 0,1]

则函数 f ( x )

象在区间 [ ?3,3]

的交点个数

2 若 (ax ? 1)5 的展开式中 x 3 的系数是 80 则实数 a 的值是 答案 2

好题
1
f ( x) 是 定

递 14
的 函 数 且 满 足
f (1) = 2015



整 数 集 则 f ( 2015 ) =

f (1) + f ( 2 ) + L + f ( n ) = n 2 f ( n )



f (1) + f ( 2 ) + L + f ( n ) = n 2 f ( n )
2

f (1) + f ( 2 ) + L + f ( n ? 1) = ( n ? 1) f ( n ? 1)
2

两式相 得 f ( n ) = n 2 f ( n ) ? ( n ? 1) f ( n ? 1) 所 所
2
f (n) f ( n ? 1) = n ?1 n +1 f ( 2015) f ( 2014 ) f ( 2 ) 2014 2013 2012 1 2 1 ? ? f (1) = ? ? L ? 2015 = = f ( 2014 ) f ( 2013) f (1) 2016 2015 2014 3 2016 1008

f ( 2015 ) =

某次文艺汇演 要将 A B C D E F 这 个 节目编排成节目单 如 表 1 2 3 4 5 6 序 节目 如果 A B 两个节目要相邻 且都 排在第 3 置 那 节目单 的排序方式 有 种 答案 144 种

好题
1

递 15
λ∈?
? 3 ? ,1? ? 3 ?

若 a, b 是两个非零向

r r

且 a = b = λ a+b

r

r

r r

则b

r

r r a ? b 的夹角的取值范

围是 解
r r a = b =1

则 a+b =

r r

1

λ
12 + 12 ? 1

r r 设 a, b = θ
? 3 ? ,1? ? 3 ? ?3

则 余 定理得 cos (π ? θ ) =
? 1 1? cos θ ∈ ? ? , ? ? 2 2?

λ 2 = 1 ? 1 = ? cos θ 2 2λ 2

又λ∈? 所



? π 2π ? θ ∈? , ? 3 ? 1 11



r r r ? 2π 5π ? 菱形性质得 b, a ? b ∈ ? , ? ? 3 6 ?

2 n=

若 (x ?

)n 的 展 开 式 中 第

系数等于 6



答案 12

好题
1

递 16

函 数 f ( x ) = x2 + 2 x 则

集 合 A = {( x, y ) | f ( x ) + f ( y ) ≤ 2}
AI B 的元素构成的

B = {( x, y ) | f ( x ) ≤ f ( y )}

形的面

是 解
A = {( x, y ) | f ( x ) + f ( y ) ≤ 2} =

{( x, y ) | ( x + 1)

2

+ ( y + 1) ≤ 4
2

}

B = {( x, y ) | f ( x ) ≤ f ( y )} = {( x, y ) | ( x ? y )( x + y + 2 ) ≤ 2}

画出 行域 好拼成 个半圆 S = 2π 2 四个 承包 8 程 共有承包方式 种 两 各承包 2 答案 1680种

承包 3

承包 1

好题
1

递 17
uuu r 1 uuuu r AE = AB1 2

在棱长

1 的

方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中
uuu r uuuu r 使 EF + FC1 最 小

在面

ABCD 中 取

个点 F

则这个最小值

解 对

将 点

方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 补全成长方体
C2

点 C1 关于面 ABCD 的 即 所求点 F 使

连接 EC2 交

面 ABCD 于



uuu r uuuu r EF + FC1 最小

其最小值就是 EC2 计算 得 AC2 = 3, B1C2 = 5, AB1 = 2
EC2 = 14 2

连 接 AC2 , B1C2
?AB1C2



直角 角形 所
6

2

若 (1 + mx ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a6 x 6 且 a1 + a2 + a3 + L + a6 = 63

则实数 m 的值

答案 1 或-3

好题
1

递 18

知双曲线

线的两条渐 等于 解法 又点 P 所

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 的 右焦点 别 F1 , F2 过 F1 的直线 别交双曲 a2 b2 线于点 P, Q 若点 P 是线段 F1Q 的中点 且 QF1 ⊥ QF2 则 双曲线的离心率 ? a 2 ab ? 从而有 P ? ? , ? ? c c ?

题意 F1 P = b
F1Q 的中点

F1 ( ?c, 0 )



? 2a 2 2ab ? Q?? + c, ? c ? ? c

? 2ab b ? 2a 2 = ?? + c ? 整理得 4a 2 = c 2 所 e = 2 c a? c ? 解法 知 OP 是线段 F1 P 的垂直 线 又 OQ

是 Rt ?F1QF2 斜边中线 所
∠F1OP = ∠POQ = ∠QOF2 = 60o

解法 设 Q ( am, bm ) , m > 0 uuuu r QF2 = ( c ? am, ?bm ) uuur uuuu r QF1 ⊥ QF2 ? ( ?c ? am, ?bm )( c ? am, ?bm ) = 0 所 所
Q ( a, b ) ? a?c b? P? , ? ? 2 2? b b a?c =? ? 即 c = 2a 2 a 2

所 e=2 uuur 则 QF1 = ( ?c ? am, ?bm ) 解得 m = 1



e=2

2 现有 张卡片 现从 的取法数 答案 18

个盒子 其中 个盒子中都装有标 别 1 2 3 4 5 6的 个盒子中依次各取 张卡片使得卡片 的标 恰好成等差数列

好题
1

递 19
uuu r uuu r OA = 2 OB = 4 uuu r uuu r OA? OB = 0

知O
uuur uuu r

标原点

面向

uuu r uuu r uuur OA, OB, OC 满 足

( 2OC ? OA)?(OC ? OB ) = 0

uuur uuu r

则 对 任 意 θ ∈ [ 0, 2π ] 和 任 意 满 足 条

的向

uuur OC

uuur uuu r uuu r OC ? cos θ ? OA ? 2sin θ ? OB 的最大值

解 则

建立直角 标系 设 C ( x, y ) , A ( 4, 0 ) , B ( 0, 2 )

( 2OC ? OA)?(OC ? OB ) = 0

uuur uuu r

uuur uuu r

得 x2 + y2 ? 2 x ? 2 y = 0

uuur uuu r uuu r OC ? cos θ ? OA ? 2sin θ ? OB =

( x ? 4 cos θ )2 + ( y ? 4sin θ )2


2

于圆 ( x ? 1) + ( y ? 1) = 2
2 2

点 圆 x 2 + y 2 = 16
an = 2n ?1 + 1

点连线段的最大值即

2 2 +4

知数列{ an }的通
2 n + 3n



0 1 3 n 则 a1Cn + a2 Cn + a3Cn + L + an +1Cn =

答案

好题
1

递 20
a, b

知实数 a, b, c 成等差数列 点 P ( ?3, 0 ) 在动直线 ax + by + c = 0
M

时 零



射影点 解 因

若点 N 的 标 整理

( 2,3) 则 MN 的取值范围是

2b = a + c

实 数 a , b, c 成 等 差 数 列
?x = 1 即? ? y = ?2

方 程 ax + by + c = 0 变 形

2ax + (a + c) y + 2c = 0

a ( 2 x + y ) + c( y + 2) = 0



?2 x + y = 0 ? ?y + 2 = 0

因 直线 ax + by + c = 0 过定点 Q (1, ?2 )
PQ = 2 5

画出 象 得 ∠PMQ = 90o 点M 在
PQ

直径的圆



线段 MN 的长

满足 FN ? 5 ≤ MN ≤ FN + 5 即 5 ? 5 ≤ MN ≤ 5 + 5
2

如果 面构成

条直线 个





行 在



直线 面构成

行线面组

个长方体中

两个顶点确定的直线 的 个 答案 48

含有四个顶点的

行线面组 的个数是

好题
知函数是定 在R 的偶函数

递 21
?5 2 ?16 x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) ? f ( x) = ? x ?? 1 ? + 1( x > 2 ) ? ? ? ?? 2 ?

1

当x≥0时

若关于 x 的方

程? ? f ( x )? ? + af ( x ) + b = 0, a, b ∈ R 是
2

有且仅有 6 个

实数根

则实数 a 的取值范围


t1 =

设 t = f ( x)
5 5 ,1 < t2 < 4 4

问题等

于 g ( t ) = t 2 + at + b = 0 有 两 个 实 根 t1 , t2

0 < t1 ≤ 1,1 < t2 <

5 或 4



? ? a 5 ? g ( 0) > 0 ?1 < ? < 2 4 ? ? 9 5 9 ? ? g 1 ≤ 0 ? ? < < ? 1 或 1 > g h a ? ( ) ? ( ) 0 h?? <a<? 4 2 4 ? ? 5 5 ? ? ? ? ?g ?g ? ?>0 ? ?=0 ? ? ? ?4? ? ?4? ? 5 9 9 < a < ? 或 ? < a < ?1 2 4 4 1
3


2

在( x +

x

)24 的展开式中

x 的幂的指数是整数的

共有

答案 5

好题
1

递 22
F1 , F2

知椭圆 C1 :

x2 y2 + =1的 3 2

右焦点

直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴 线
l2 的 交 点 的 轨 迹

动 若

直 线 l2 垂 直 于 l1 于 点 P 解 题意 C2 : y 2 = 4 x

线 段 PF2 的 垂 直

曲 线 C2

A (1, 2 ) , B ( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) 是 C2

的点 且 AB ⊥ BC

则 y2 的取值范围是

设 l AB : x = m( y ? 2) + 1 所
y1 = 4m ? 2

入 C2 : y 2 = 4 x

得 y 2 ? 4my + ( 8m ? 4 ) = 0
2

x1 = m ( 4m ? 4 ) + 1 = ( 2m ? 1)

设 lBC : x = ? 所 所
2

1 2 ( y ? 4m + 2) + ( 2m ? 1) m 4 m

入 C2 : y 2 = 4 x

得 y2 +

4 8 2? ? y + ?16 + ? 4 ( 2m ? 1) ? = 0 m m ? ?

y1 + y2 = 4m ? 2 + y2 = ? y2 = ?

4 ? 4m + 2 ∈ ( ?∞, ?6] U [10, +∞ ) m

5 人排成

排照相 要求

排在两端

的排法共有________种 (用数

作答)

答案 72

好题
1

递 23
12 的等差数列

数列 {an } 是 则

?

2 的等 3

数列

{bn } 是首



知 a9 > b9 且

a10 > b10

结论中 定成立的是
b10 > 0 b9 > b10 2 ? 的等 3 a9 > a10

请填 所有

确选 的序

a9 a10 < 0



因 数列 {an } 是

数列 所 该数列的奇数

偶数 异



当 a1 > 0 时 当 a1 > 0 时 故知

a2 k ?1 > 0, a2 k < 0 a10 < 0

当 a1 < 0 时 所

a2 k ?1 < 0, a2 k > 0



a9 a10 < 0 是

确的

又 a10 > b10

b10 < 0

结合数列 {bn } 是首
b9 > b10 a9 < 0

12 的等差数列

时数列的 差 d < 0

数列 {bn } 是递 的

当 a1 < 0 时 故知 综
2

又 a9 > b9



b9 < 0

结合数列 {bn } 是首
b9 > b10

12 的等差数列

时数列的 差 d < 0

数列 {bn } 是递 的


3

定是成立的
M,

设 5x ? x n 的展开式的各 系数之和

式系数之和

N

若 M-N=240, 则展

开式中 x 的系数 答案 150

好题
1

递 24
B = {( x, y ) | y = 2a ( x + b )}
2

知集合 A =

{( x, y ) | y = x

2

+ 2bx + 1

}

其中 a < 0, b < 0 的 形的面



AI B 是 单 元 素 集 合

则集合

{( x, y ) | ( x ? a )

+ ( y ? b) ≤ 1 对
2

}



2 ? ? y = x + 2bx + 1 ? x 2 + ( 2b ? 2a ) x + (1 ? 2ab ) = 0 ? ? ? y = 2a ( x + b ) 2

? = ( 2b ? 2a ) ? 4 (1 ? 2ab ) = 0 ? a 2 + b2 = 1



? ?a 2 + b2 = 1 得知 ? ? ? a < 0, b < 0

圆心 ( a, b ) 对
2

的是四 之 单 圆 的 形是 这四 之

? MPN

红色 的点 圆心
? ODE

时 ( x, y ) | ( x ? a ) + ( y ? b ) ≤ 1 所对
2

{

}



? MPN ? ABO

1

半径的圆面 从 到 之 圆
AOEF

动的结果如 所示 是两个半圆



个四

即 中被绿实线包裹的部
= 2π



S = 2?

π
2

+

π ? 22
4

2 ”

2010

浙江高考 17 有 4 目

学在

天的

午参加“身高 体 学 其余 目

” “立定跳

“肺活 ” “握力”

“ 阶”五个 目的测试

午各测试 个

目 且

复 若 午 测“握力” 人 则

午 测“ 阶” 目

午都各测试

的安排方式共有__________________种 用数 作答 肺活 肺活
4 4

解 设有 a, b, c, d 四个 学参加测试 午 身高 立定跳 午 身高 立定跳 午 自 类 所 两类 早 测 类 阶 握力 阶的 午 学 测握力 午测了握力 那 四个 那 个 学就相当于 自 个人 置的问

午测试的种类有 A 种 早 阶的 测 学 置的问题 有 2 类选择 学相当于四个人

题 有 9 类选择 共有 A44 ( 2 + 9 ) = 264 种

好题
1
Q

递 25
2

若在给定直线 y = x + t 若 在定点 M 直线 y = x + t

任取

点P

从点 P 向圆 x 2 + ( y ? 2 ) = 8 引 则 t 的取值范围是



线



恒有 PM = PQ



任意 点 P ( x0 , x0 + t )

2 过点 P 作圆的 线长 PQ = x0 + ( x0 + t ? 2 ) ? 8 2

设 M ( m, n )

则 PM =

( x0 ? m )

2

+ ( x0 + t ? n )

2

题知 整理得

2 x0 + ( x0 + t ? 2 ) ? 8 = ( x0 ? m ) + ( x0 + t ? n ) 2 2

2

( 2n ? 4 ) t = ( 4 ? 2m ? 2n ) x0 + m2 + n 2 + 4 又 M ( m, n ) 定点 P ( x0 , x0 + t ) 的任意性 所 所 ( 2n ? 4 ) t = m 2 + n 2 + 4
所 所
2
t= n 2 ? 2n + 4 4 = ( n ? 2) + +2 n?2 n?2

m+n?2 = 0

t ∈ ( ?∞, ?2] U [ 6, +∞ )

在? x ?

? ?

1 ? ? 展开式中 2x ?

10

含 x 的负整数指数幂的 共有

答案 4

好题
1

递 26

设 a + b = 2, b > 0

则当 a =



a 1 + 取得最小值 2a b



a a+b a a a b a b a a 1 + = + = + + ≥ +2 ? = +1 b 4a 4a b 4a 2a b 4a 4a b 4a a 5 1 + ≥ 2a b 4 a a+b a 1 1 ? ?b ? a ? 3 + = + = ? +? + ?≥ 2a b 4a 4 ? 4a b ? 4 b

当a > 0时 当a < 0时 所
2

当且仅当 b = ?2a 时取等

a = ?2, b = 4 时取得最小值

2008

浙江高考 16 用 1 2

3 4 5 6 组成

数 没有 复数

要求任何相

邻两个数 的奇偶性 答

且 1 和 2 相邻 这样的

数的个数是_________ 用数 作

2 2 ? A2 = 8 种方案 再向这排好的 4 个元素中插 解 依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有 2 A2 1 入 1 和 2 捆绑的整体 有 A5 种插法



2 2 1 的安排方案共有 2 A2 ? A2 ? A5 = 40 种.

好题
1

递 27
则函数 f ( x ) 在 R 的最小值

设 x∈R

f ( x ) = max { x 2 , x 2 + 2 x + 2} + min { x + 1,3 ? 3 x}



? ? x 2 + x + 1, x < ?1 ? 1 ? f ( x ) = max { x 2 , x 2 + 2 x + 2} + min { x + 1,3 ? 3x} = ? x 2 + 3x + 3, ?1 ≤ x ≤ 2 ? 1 ? 2 x ? x + 5, x > ? ? 2

画出 象 得当且仅当 x = ?1 时函数 f ( x ) 取到最小值 1
2

若 ( x + ) n 展开式的

1 x

式系数之和

64 则展开式的常数

答案 20

好题
1

递 28
? x+ y? ? x? y? f ( x) + f ( y) = 4 f ? ?f? ? ( x, y ∈ R ) ? 2 ? ? 2 ?

知 函 数 f ( x ) 满 足 f (1) =

1 4



f ( ?2011) =



x = y =1

则 f (0) =

1 2

y = ?x
y = x+2

则 f (?x) = f ( x) 则 f ( x ) + f ( x + 2 ) = 4 f ( x + 1) f ( ?1) = f ( x + 1)

而有 f ( x ) = f ( x + 6 ) 所
2
f ( x ) 的周期

6 所

f ( ?2011) = f ( 2011) = f (1) =

1 4

四川高考

方程 ay = b 2 x 2 + c 中的 a, b, c ∈ {?3, ?2,0,1,2,3} 的抛物线共有________条

且 a , b, c 互



在所

有这些方程所表示的曲线中 解法 将方程变形

y=

b2 2 c x + a a

若表示抛物线 则 a ≠ 0, b ≠ 0



b = ?3, ?2,1, 2,3 五种情况 利用列举法解决
1 当 b = ?3 时

a = ?2, c = 0,1, 2,3 或 a = 1, c = ?2,0, 2,3 或 a = 2, c = ?2,0,1,3 或 a = ?2, c = 0,1, 2, ?3 或 a = 1, c = ?2,0, 2, ?3 或 a = 2, c = ?2,0,1, ?3 或

a = 3, c = ?2,0,1,2
2 当b = 3时

a = ?3, c = ?2,0,1, 2
两种情况有 9 条 复 故共有 16 + 7 = 23 条
3

理 当 b = 2 或 b = ?2 时 共有 16 条

有 23 条

4 当 b = 1时

a = ?3, c = ?2,0,2,3 或 a = ?2, c = ?3,0,2,3 或 a = 2, c = ?3, ?2,0,3 或

a = 3, c = ?3, ?2,0, 2
综 解法

共有 23 + 23 + 16 = 62 种

a, b, c ∈ {?3, ?2,0,1,2,3}

6 选 3 全排列

3 A6 = 120 种

这些方程表示抛物线 则 a ≠ 0, b ≠ 0

2 要 去 2 A5 = 40 种

又 b = ±2 和 b = ±3 时 所

方程出现 复 用

计算原理 计算 复次数

3 × 3 × 2 = 18

的抛物线共有 120 ? 40 ? 18 = 62 种

好题
1

递 29
则 a 的取值范围是

知当 x ∈ [1,3]

等式 2a ? x ≥ a ? 1 恒成立 象 类讨论 解得 a ≤
1 2

解法 当 2a ≤ 1 当 2a ≥ 3

结合 f ( x ) = 2a ? x 的 即a ≤ 即a ≥
1 时 2 3 时 2 1 2

a ? 1 ≤ 1 ? 2a a ? 1 ≤ 2a ? 3 3 时 2

解得 a ≥ 2 解得
1 < a ≤1 2

当 1 < 2a < 3 综 解法 知

即 <a<

a ?1 ≤ 0

a ≤1或a ≥ 2

当 a ≤ 1 时显然成立
? x +1 ? a≤? ? 或 a ≥ ( x ? 1)max ? 3 ? min 2 或a ≥ 2 3

当 a > 1 时 有 2a ? x ≥ a ? 1 ? x ? 2a ≥ a ? 1 或 x ? 2a ≤ 1 ? a 而有
a≤

所 综
2

a ≤1或a ≥ 2

若 ( x + 1) n = x n + L + px 2 + qx + 1(n ∈ N *), 且p + q = 6, 那

n=

答案 3

好题
1

递 30
f ( x ) = x2 + ( 2 ? a ) x
其中 a ≥ 0 若

知 f ( x ) 是定

在R

的奇函数

当x>0时

对任意的 x ∈ R 恒有 f x ? 2 a ≤ f ( x ) 解 当? 当?

(

)

则实数 a 的取值范围是

2?a ≤0 2

即0≤ a ≤ 2 时 则

f ( x ) 是增函数 所
象 知 两个自变

f x ? 2 a ≤ f ( x ) 恒成立
的 祝你新 快乐阖家幸福 快乐阖家幸福 快乐阖家幸福 快乐阖家幸福 快乐阖家幸福 乐阖家幸福 阖家幸福 家幸福 幸福 福 你新 新

(

)

2?a >0 2

即a>2时 小于 所

差距 2 a

少要

右两个零点间的差距 2 ( a ? 2 )

即 2 a ≥ 2 ( a ? 2) 综 知

2<a≤4

0≤a≤4

2

祝你新

快乐阖家幸福







所示形式排列





读起 种

只允许逐

沿水 向右或竖直向 方向读 则读完整 话的 答案

读法共有

29 = 512 种

好题
1

递 31
则实数 a 的取值

设函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + a

若函数 f ( f ( x ) ) = f ( x ) 有且只有 3 个实根

范围是 解
f ( x) = t

则 t + t + a = 0 有两个 等实根 t1 , t2
2

?1 ? 4a > 0 ? 则 ?t1 + t2 = ?1 ?t t = a ?12

g ( x ) = x2 + 2 x

若使函数 f ( f ( x ) ) = f ( x ) 有且只有 3 个实根 个 共点 所 必有

只需使 g ( x ) = x 2 + 2 x 的 过 g ( x ) = x 2 + 2 x 的顶

象 点 所
2

直线 y = t1 ? a, y = t2 ? a 恰有 妨设 t1 ? a = ?1 而 t2 ? a > ?1
t2 = ? a t1t2 = ( a ? 1)( ?a ) = a

条直线

故有 t1 = a ? 1



a=0

某市春节晚会原定 10 个节目 导演最 决定添加 3 个新节目 但是新节目 排在最 种 个 并且

排在第



排好的 10 个节目的相对 序 变 则该晚会的节目单的编

排总数 答案 990

好题
1

递 32
单调递增 那 实数 a 的取值范围

若 函 数 f ( x) =

1 在区间 x 2 ? ax ? a

1? ? ? ?2, ? 2 ? ? ?

是 解 这是 y =
1 u
u = x 2 ? ax ? a 函数复合

1? ? u = x 2 ? ax ? a 在 ? ?2, ? ? 2? ?

递 且恒

或恒负

1 ?a 1 ?a ?2 ≥ ? 2 1 ? ?2 ≥ ? 2 ? ?1 ≤ a < 或 ? ?? ? 2 2 ?? ? 1 ? ? a ? ? ? 1 ? ? a > 0 ?( ?2 ) 2 ? a ? ( ?2 ) ? a < 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 2 ?

2



? 2 ? 式 ? 3x 2 ? 3 ? (n ∈ N * ) 展开式中含有常数 x? ?

n

则 n 的最小取值是

答案 7

好题
1

递 33
函数 y = lg kx 2 + 4 x + k + 3 的定

知函数 y = 6 + x ? x 2 的定 实数 k 的取值范围是



A

(

)



B



B ? A时



A = [ ?2,3]

kx 2 + 4 x + k + 3 > 0 的解集

B

又B? A



? 42 ? 4k ( k + 3 ) > 0 ? 3 ? 必有 ?5k ? 5 ≤ 0 ? ?4 < k ≤ ? 2 ?10k + 15 ≤ 0 ? ?


2

要注意函数的定 域 能 空
2011

浙江高考 9 有 5

的书 其中语文书 2 层 置 则

数学书 2

物理书 1

将其随机地并排摆放到书架的 用数 作答 解法 设书
1

科目的书都 相邻的情况有_________种

A1 A2 B1 B2C
或最右 5 或4 则剩

12345

若 C 在最 若C 在 2 若C 在 3 所 解法 第 第

则剩 四 书有 ABAB or BABA 形式

共有

2 2 2 × 2 × A2 × A2 = 16 2 2 四 书有 ABAB or BABA 形式 共有 2 × 2 × A2 × A2 = 16

2 2 则有 4 × A2 × A2 = 16

共有 48 种 完成 先 A1 B1C 类 无 ABA 型 类 有 ABA 型
3 书全排列 共 A3 种

将 A2 , B2 插入

两类

则有 2 × 3 = 6 种插法 则有 2 × 1 = 2 种插法

所 解法

共有 A ( 2 + 6 ) = 48 种
3 3
5 2 2 2 2 2 3 A5 ? A2 A2 A3 × 2 ? A2 A2 A3 = 48

好题
1

递 34
AO = 2, BM = 1

知? O

AB

直径

半径

2

点 O, M 都在线段 AB

过M 作

互相垂直的 解法

GE 和 FD

则 GE ? FD 的取值范围是 则 ∠DMA =

? ? π ?? 如 所示 设 ∠EMA = α ? α ∈ ?0, ? ? ? 2?? ? OP = cos α

π
2



ON = sin α



GE ? FD = 2 4 ? sin 2 α ? 2 4 ? cos 2 α = 4 12 + sin 2 α ? sin 4 α sin 2 α = t ∈ [ 0,1]



? 1 ? 49 ? GE ? FD = 4 12 + t 2 ? t 4 = 4 ? ? t ? ? + ∈ 8 3,14 ? ? 4 ? ? 2?

2

解法 所

GE ? FD = 2 4 ? ON 2 ? 2 4 ? OP 2 = 4 12 + ON 2 ? OP 2 GE ? FD = 4 12 + ON 2 (1 ? ON 2 ) = 4 12 + ON 2 ? ON 4

其中 ON 2 + OP 2 = OM 2 = 1

又 ON ∈ [ 0,1]
2



? GE ? FD ∈ ? ?8 3,14 ?
3 3

知展开式 ( x 2 ? x ? 6 ) ( x 2 + x ? 6 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a12 x12

则 a1 + a5 + a9 =



(x

2

? x ? 6 ) ( x 2 + x ? 6 ) = ( x 4 ? 13x 2 + 36 )
3 3

3

打开 没有奇次



a1 + a5 + a9 = 0

好题
1

递 35
则 f ( a ) + f (b) + f (c ) 的

知函数 f ( x ) = ?

? x 2 + 4 x, x ≥ 0 ? 2 ? ? ? x + 4 x, x < 0

且 a + b > 0, b + c > 0, c + a > 0


A



B

恒 负

C



0

D

无法确定

解 所 所 所
2

易判断 f ( x ) 是奇函数 且在 R
a + b > 0, b + c > 0, c + a > 0

单调递增的函数

得 a > ?b, b > ?c, c > ?a

f (a) > f (?b), f (b) > f (?c), f (c) > f (? a) f (a) + f (b) > 0, f (b) + f (c ) > 0, f (c) + f (a) > 0 f ( a ) + f (b) + f (c) > 0



所示是 2008 连通的色块构成

京奥 如

会的会徽 其中的“中 架桥 如果用 种

印”

体 四 将其

个互

用线段在

穿越其他色块的条

中任意两个色块连接起来 块连接起来 解法 第 第 类 类 考虑 A

条线段将这四个色

的连接方法共有
B C D 四块区域

条线连结共有两类 但注意 ABCD

1 块区域和 块区域连结 共有 C4 =4种

四块区域依次连结 种情况 所

即 ABCD 全排列 共有
4 A4 = 12 种 2

DCBA 是

综 解法 即

共有 16 种 把问题抽象 故有 C ?4 = 16
3 6

方形四个顶点之间连线共有 6 条 只需除去构成 角形的 条连线

任取其中的

条将四个点连结

好题
1

递 36
的增函数 且 f ( ax + 1) ≤ f ( x ? 2 ) 对任意的

知定

在R

的偶函数 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 则 a 的取值范围是

?1 ? x ∈ ? ,1? 恒成立 ?2 ?



题意

?1 ? f ( ax + 1) ≤ f ( x ? 2 ) 对任意的 x ∈ ? ,1? 恒成立等 ?2 ?

于 ax + 1 ≤ 2 ? x 对任意的

?1 ? x ∈ ? ,1? 恒成立 ?2 ?

?1 3 ? a +1 ≤ 2 2 ? ? a +1 ≤ 1 ?

解得 ?2 ≤ a ≤ 0

2

在 (1 ? x ) ( 2 ? x ) 的展开式中
6

x 3 的系数是

答案

55

好题
1

递 37
则实数 a 的取值范围是 个

若函数 f ( x ) = x 2 ? 2a x ? a ? 2ax + 1 有且仅有 3 个零点
t = x?a

解法

则 y = t 2 ? 2at + 1 ? a 2 ( t ≥ 0 ) 其中 个
0

则 y = t 2 ? 2at + 1 ? a 2 ( t > 0 ) 有两个零点 大于 0 所 解法 等 合
2
1 ? a2 = 0

解得 a = ±1

验证
2

知a =1
x ? 2a x ? a ? 2ax + 1 = 0 ? x 2 ? 2ax + 1 = 2a x ? a h( x) = 2a x ? a 恰有

于 g ( x) = x 2 ? 2ax + 1 象 得1 ? a2 = 0 有



共点



且a > 0 共边的 小



a =1

用红 黄 蓝 种颜色去涂 中标 则符合条 的所有涂色方法有 种

1 2 3 …

9 的 9 个小 方形 如

使得 的颜

任意两个相邻 色 解

方形所涂颜色都 相

且“3

5 1 4 7

7” 2 5 8

数 涂相
3 6 9

“3 5 7” 数 涂相 的颜色 共有 3 种选择

2 涂色有 2 种 24

色有 1 种 1 有 2 种

24 异色有 1 种 1 有 1 种

故涂完 1 2 4 有 2 × ( 2+1) =6 种 理涂完 6 7 8 综 有6种 共有 3 × 6 × 6=108 种

好题
1

递 38
则实数 a 的取值范围是

方程 ax ? 1 = x 的解集

A

若 A ? [ 0, 2]

解法 当 a =1时

ax ? 1 = x ? ( a 2 ? 1) x 2 ? 2ax + 1 = 0 ( x ≥ 0 ) ?1 ? A = ? ? ? [ 0, 2] ?2? A = ? ? [ 0, 2]

当 a = ?1 时 当
x1 =

a ≠ ±1 时 1 1 , x2 = a +1 a ?1

(a

2

? 1) x 2 ? 2ax + 1 = 0

的 解

要使 A ? [ 0, 2]

则需
1 ≤2 a +1 1 ≤2 a ?1

? 1 ? 1 ? 1 ? <0 ? 0< <0 <0 ? ? ? ?a +1 ? ?a +1 ? a ?1 或? 或? 或? ? ? 1 < 0 ?0 < 1 ≤ 2 ?0 < 1 ≤ 2 ?0 < ? a ?1 ? ? ? a ?1 a +1 ? ? ? ?

解之得 a < ?1 or ? 综 得 a ≤ ?1 or ?

1 3 ≤ a < 1 or a ≥ 2 2 1 3 ≤ a ≤ 1 or a ≥ 2 2

解法

ax ? 1 = x 等

于 ax ? 1 = x 或 ax ? 1 = ? x ( x ≥ 0 )
y = ?x 的

别作出 y = ax ? 1 知 解法

y=x

象如 所示

a ≤ ?1 or ? ax ? 1 = x 等

1 3 ≤ a ≤ 1 or a ≥ 2 2

于 a ?1 =
1 x

1 1 或 a + 1 = ( x ≥ 0) x x

别作出 y = a ? 1, y = a + 1, y =

象如 所示





1 ? 1 a +1 ≥ ? ? ? 2 ?a + 1 ≥ 或? 2 或 a +1 ≤ 0 ? ? ?a ? 1 ≥ 1 a ? 1 ≤ 0 ? ? 2 ? 1 3 ≤ a ≤ 1 or a ≥ 2 2

解得 a ≤ ?1 or ?

解法四 当 a = 0 时显然成立 当a ≠ 0 时 别作出函数 y = ax ? 1 , y = x 的 象如 所示



y = ax ? 1 的

象最 点 ? , 0 ? 只能落在横轴的实线部

?1 ?a

? ?



得 a ≤ ?1 or ?

1 3 ≤ a ≤ 1 or a ≥ 2 2

2

(4 x 2 ? 2 x ? 5)( x 2 + 1)5 的展开式中

含 x4

的系数是

答案

30

好题
1

递 39

a ? 2c 的取值范围是 b

知 个实数 a, b, c 齐次
b ≠0时 a c = x, = y b b

当 c > 0 时满足 b ≤ 2a + 3c 且 bc = a 2
bc = a 2 知 b ≥ 0

解法 因

思想
b>0



?1 ≤ 2 x + 3 y ?1 ≤ 2 x + 3x 2 1 ? 则 ?y > 0 ?? ? x ≤ ?1 or x ≥ 3 ?x ≠ 0 ? 2 ?y = x

1? ? z = x ? 2 y = x ? 2 x 2 ∈ ? ?∞, ? 9? ?

解法
t=

b= a ∈ [ ?1,3] c

a2 a 2 ≤ 2a + 3c ? ( a ? c ) ≤ 4c 2 ? ?1 ≤ ≤ 3 c c

则 知

a ? 2c t ? 2 ?1? 1 ?1 1 ? 1 1 = 2 = ?2 ? ? + = ?2 ? ? ? + ≤ b t t t ? ? ?t 4? 8 9

2

2

类题 是
2.

1.

数 a, b, c 满足

5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a

c ln b ≥ a + c ln c



b 的取值范围 a

知 数 a, b, c 满足

3a + c ≤ 2b ≤ 4 ac



a+b+c 的取值范围是 a ?b

3.



数 a , b, c 满 足

a ≤ b + c ≤ 3a

3b 2 ≤ a ( a + c ) ≤ 5b 2



b ? 2c 的取值范围 a


2

安徽高考 10 6

学在

聚会活动中 行纪念品的交换 任意两 学互赠 份纪念品
2或3 2或4

学之间最多

交换 次
1或3

行交换的两
1或4

知6

学之间共 行了 13 次交换

则收到 4 份纪念品的 学人数
A B C D


5次

任意两个 学之间交换纪念品共要交换 C62 = 15 次 就是得到 5 份纪念品 涉及

如果都完全交换

个人都要交换 个人 则收到 4

现在 6 个 学总共交换了 13 次 少交换了 2 次 这 2 次如 所 答案
2或4



个人 则收到 4 份纪念品的 学人数有 4 人 如果涉及

份纪念品的 学人数有 2 人

好题
1

递 40
别取 D, E 两点 使沿线段 DE 折叠
P

在边长

1的

角形纸片 ABC 的边 AB, AC 好 落 在 边 BC 则 对 设 性

角形纸片 解 设 AD = x

顶点 A

在这种情况

AD 的 最 小 值

∠ADE = α

知 DP = x

∠PDE = α BD = 1 ? x
∠BDP = 180o ? 2α

所 所
x=

∠DPB = 2α ? 60o

在 ?BDP 中
3

定理得

sin ( 2α ? 60o )

1? x

=

x sin 60o

3 + 2sin ( 2α ? 60o )

又 α ∈ ( 0o ,90o )
2

所 当 2α ? 60o = 90o

即 α = 75o 时 xmin = 2 3 ? 3 则所有 能出现

陕西高考 两人 行 视 赛场数 少 3 场
3 场时 情况 4 场时 若 赢 则前

球 赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负 情形 共有 多5场 场中 赢 2 场 最 共有 6 种情况 种

的情形 各人输赢局次 解法 当 当 当 综 解法

或 连赢 3 场 共 2 种 场 赢 共有 C32 = 3 种情况

理若 赢

有 3 种情况

5 场时 前 4 场

各赢 2 场 最 赢的人定

场胜出的人赢 共有 2C42 = 12 种 胜两负 没打的 赛就算输
2 有 C5 = 10 种结果

共有 20 种情况 将 5 场 赛都 完 最终的胜利者从 5 场 赛 选 2 场输即

则问题转

所 解法 罗列 束

两人共有 2C52 = 20 种 设 赢=1 输=0

按照第 轮 赢或 输两种情况 类 列树状 赢 例 出现 个 1 或 个 0 结

树梢 端共有 10 个 所 共有 20 种

好题
1

递 41
g ( x ) = x 2 ? 2 x + 2m ? 1

知 m∈R

函 数 f ( x) = ?

? ? 2x + 1 , x < 1 ? ?log 2 ( x ? 1) , x > 1

若 函 数

y= f ? ? g ( x )? ? ? m 有 6 个零点

则实数 m 的取值范围是 于 f ( t ) = m 恰有 个实根且对



g ( x) = t

则函数 y = f ? ? g ( x )? ? ? m 有 6 个零点等

g ( x ) = t 有 6 个实根

函数 f ( x ) = ? 如

? 2x + 1 , x < 1 ? ? ?log 2 ( x ? 1) , x > 1

y=m m +1 2

象有 个交点 其横 标 别

t1 , t2 , t3

所示 其中最小的根 t1 = ?

结合 象 知 要满足 g ( x ) = t 有 6 个实根需使 t1 = ?

m +1 > g ( x )min = 2m ? 2 2

且m > 0

解得 0 < m <
2

3 5

集合 A = x | x = a1 × 103 + a2 × 102 + a3 × 10 + a4

{

}

其中 ai ∈ {1, 2,3, 4} ,1 ≤ i ≤ 4, i ∈ N



集合 A 中满足条 解 两个数 第 第 第 第 第 因 题 理解

“ ai 中 a1 最小 且 a1 ≠ a2 , a2 ≠ a3 , a3 ≠ a4 , a4 ≠ a1 ”的元素有



涂色问题

四个格子

相邻两格





且第 格数 最小
1 第 格相 填 1 则第四格有 C3 种

1 格填 1 则第 格有 C3 种选择 第 格填的数

选择 因 共 9 种选择
1 格填 2 则第 格有 C2 种选择 第 格填的数 1 第 格相 填 2 则第四格有 C2 种

选择 因 共 4 种选择 格填 3 则第 格有 1 种选择填 4 第 格填的数 格填 1
1 2

第 格相 填 3 则第四格有 1 第 第 格 格
1 有 C2 种选择

种选择填 4 因 共 1 种选择 则第 则第
1 格有 C3 种选择

第 第

格填的数 格填的数

则第四 则第四

格有 C 种选择 因 共 12 种选择 格填 2
1 格有 C2 种选择 1 有 C1 种选择

格有 1 种选择 因 共 2 种选择 共有 9 + 4 + 1 + 12 + 2 = 28 种

好题
1

递 42
象过点 (1, 0 ) 且对任意的 x ∈ R 都有 个 等式 则

知函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的

? x ? 3 ≤ f ( x ) ≤ 2 x 2 + 3x ? 1 成立

若函数 y = f ( x ) ? f ( x ) ? 2mx ? 2m 2 有

的零点

实数 m 的取值范围是 解 题夹逼形式知
? x ? 3 = 2 x 2 + 3x ? 1

解得 x = ?1 所
a ? b + c = ?2

当 x = ?1 时 又 f (1) = 0 所 再

?2 ≤ f ( ?1) ≤ ?2

即 f ( ?1) = ?2

即a+b+c = 0

b = 1, c = ?1 ? a ? x ? 3 ≤ ax 2 + x ? a ? 1 ≤ 2 x 2 + 3 x ? 1 对任意的 x ∈ R 恒成立

即 ax 2 + 4 x + 2 ? a ≥ 0 且 ( a ? 2 ) x 2 ? 2 x ? a ≤ 0 对任意的 x ∈ R 恒成立
?16 ? 4a ( 2 ? a ) ≤ 0 ? ?4 + 4 ( a ? 2 ) a ≤ 0 ? ?a > 0 ?a ? 2 < 0 ?



解得 a = 1



f ( x ) = x2 + x ? 2

函数 y = f ( x ) ? f ( x ) ? 2mx ? 2m 2 有



的零点
? 2mx + 2m 2 , x ∈ ( ?∞, ?2] U [1, +∞ ) ? 有 2 2 ? ? ?2 x ? ( 2 + 2m ) x ? 2m + 4, x ∈ ( ?2,1)

即 y = x 2 + x ? 2 ? x 2 ? x + 2 ? 2mx ? 2m 2 = ?



零点

则 必 有 2mx + 2m 2 = 0 在 x ∈ ( ?∞, ?2] U [1, +∞ )





且 ?2 x 2 ? ( 2 + 2 m ) x ? 2 m 2 + 4 = 0 在

x ∈ ( ?2,1)

有两解 有 解得 ? m ≤ ?2 或 ? m ≥ 1 有 两 解 转

2mx + 2m 2 = 0 在 x ∈ ( ?∞, ?2] U [1, +∞ )

即 m ≥ 2 或 m ≤ ?1
?2 x 2 ? ( 2 + 2m ) x ? 2m 2 + 4 = 0 在 x ∈ ( ?2,1)
2 x 2 + 2 x + 4 = 2mx + 2m 2 有两解



次函数
2

次函数相 的临界状态
1± 2 7 3

? = ( 2 + 2m ) + 8 ( 4 ? 2m 2 ) = 0 解得 m =

结合 象得 m ∈ ? 2, ?
2

? 1+ 2 7 ? ?1? 2 7 ? U? , ?1? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ?

若 ? x2 + ? x
?

? ?

1?

n

(n ∈ N ) 的
*

展开式中第 5
12

常数

则n =

1 答案 T5=Cn4(x2)n 4·( )4=Cn4x2n x

2n

12=0 得 n=6

好题
1

递 43
l2 : y = ? x + 1 的距离



面直角

标系 xoy 中

若动点 P ( a, b ) 到直线 l1 : y = x



d1 , d 2 满足 d1 + 2d 2 = 2 2

则 a 2 + b 2 的最大值



d1 =

a ?b 2 a ?b 2

, d2 = +

a + b ?1 2 =2 2

d1 + 2d 2 =

2 a + b ?1 2

得 a ? b + 2 a + b ?1 = 4

画出 行域如
a +b
2 2

是个 行四边形 ABCD 行四边形 ABCD
? 3 5? ? ? ?5 ? 3? ?



的点 P ( a, b ) 到原点的距离的 方

故当 P ( a, b ) 取 A ? ? , ? 或 B ? , ? ? 时 2 2 2 2
2 0 1 2 3 4 5

(a

2

+ b2 )

max

=

17 2

个数

组成_______个数

复且 2 3 相邻的四 数

答案 60

好题
1

递 44
2

对于实数 a, b
y= ? ?





?

a ?b = ( a ? b )

知实数 x1 , x2 满足

( x1?x2 ) + ? x1 + ( x1 ? x2 )
1 x
2

1? 2 ? ? 1 ? x2 x1 ?

则 y 的最小值
? ? ? ?
2

解 等

y=

?? 1? 2 +? ? ? x1 + x ? ? 1 ? x2 1 ? ? ?

于 y = x+

的点 P ( x1 , y 1 )

y = 1 ? x2

的点 Q ( x2 , y 2 ) 连线段的最小值

就等

于圆心 O ( 0,0 ) 所

y = x+

1 x
2

的点 P ( x1 , y 1 ) 连线长 的最小值

1

? 1? 1 OP = x12 + ? x1 + ? = 2 x12 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 2 x x ? 1 ? 1 ymin = 2 2 + 2 ? 1
3 n +1 23

当且仅当 x1 = 1 时
2

若C

=C

n+ 6 23

(n ∈ N ? 远且(3 ? x) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n

则 a0 ? a1 + a2 ? L + (?1)n an = 答案 256

好题
1 在面 2 的 ?ABC 中 uuu r uuu r uuu r2 PC ?PB + BC 的最小值是
E, F

递 45
点 P 在 直 线 EF 则

别 是 AB, AC 的 中 点



取 BC 的中点

D

连接 PD

uuu r uuuur uuur uuuur uuu r uuu r uuu r 2 uuu r 2 BC 2 uuu r 2 uuu r 2 3BC 2 AD 2 3BC 2 则 极 恒等式得 PC ?PB + BC = PD ? + BC = PD + ≥ + 4 4 4 4 uuu r uuu r 时当且仅当 PD ⊥ BC 时取等 uuur uuuur uuur 2 uuuur 2 uuu r uuu r uuu r 2 AD 2 3BC 2 AD 3BC PC ?PB + BC ≥ + ≥2 =2 3 ? 4 4 4 4

2

某高校外语系有 8

志愿者 其中有 5

男生 3

女生 现从中选 3 人参加某 的选法共有 种



的翻译 作 若要求这 3 人中既有男生 又有女生 则 答案 45 种

好题
1

递 46

知 f ( x ) = ( x ? 1)

2

g ( x ) = 4 ( x ? 1)

2

{an } 满足 a1 = 2

( an +1 ? an ) g ( an ) + f ( an ) = 0

{bn } 满足 bn = 3 f ( an ) ? g ( an +1 )


{bn } 的最小值

( an +1 ? an ) ? 4 ( an ? 1) + ( an ? 1)

=0

故 ( an ? 1)( 4an +1 ? 3an ? 1) = 0 因

an

恒等于 1 故 4an +1 ? 3an ? 1 = 0
3 ( an ? 1) 4
n ?1

an +1 ? 1 = ?3? an = ? ? ?4?

+1 ?3? ? ?
2n?2

从而 bn = 3 ? ? ? 4
?3? ? ? ?4?
n ?1

n ?? 3 ? 2 n ? 2 ? 3 ?n ?1 ? ?3? ? 4 ? ? = 3 ?? ? ?? ? ? ?4? ?4? ? ? ?? 4 ? ?

=t

则 bn = 3 ( t 2 ? t ) = 3 ?? t ? ? ? ? ? ?? 2 ? 4 ? ?

??

1?

2

1?

当? ? 4

?3? ? ?

3 ?1

=

9 离对 16

轴t =

1 最 2

故 ( bn ) min = b3 = ?

189 256
和第 r + 2 的 式

2 (1 ? x ) 的展开式中 x 2 的系数是 系数相等 则 r 等于 答案 10 2
2 10

如果展开式中第 4r

好题
1
1 ? 2

递 47
相等的实根 且两根均大于

知 a , b, c

整数

关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个

则 a + b + c 的最小值

?a b ?4 ? 2 + c > 0 ? 1 ? b >? 解法 所 b < a b 2 > 4ac > 4bc 所 b > 4c ?? 2 2 a ? ?b 2 ? 4ac > 0 ? ? 又 a ? 2b + 4c > 0 所 a + 4c > 2b > 8c 所 a > 4c 所 有 a > b > 4c 要 使 a + b + c 最 小 需 使 a , b, c 能地小 于 a , b, c 整数 a>b>4 b2 则 2b ? 4 < a < 4 25 取b = 5 6 < a < 无解 4 取 b = 6 8 < a < 9 无解 49 取 b = 7 10 < a < 取 a = 11 检验满足题意 时 a + b + c = 19 4 若取 c ≥ 2 则 a > b > 8 a + b + c ≥ 21 > 19 故当 a = 11, b = 7 时 ( a + b + c )min = 19 ?a b ?4 ? 2 + c > 0 ?a ? 2b + 4c > 0 ? 1 ? b ? 解法 ? > ? ? ? ?a > b 2 ? 2a ? a > 4c ? ?b 2 ? 4ac > 0 ? ? 要使 a + b + c 最小 需使 a, b, c 能地小 ?a > 4 ?a > b ? 则? ? a > 2b ? 4 2 ? ?b > 4a 知当 a = 11, b = 7 时



取 c =1



于 a , b, c

整数



取 c =1

画出 行域

b

横轴

a

纵轴

( a + b + c )min

= 19

2 有 3辆 的 交车 3 机 6 售票员 所有的 作安排方法数有________ 用数 作答 答案 540

辆车配备

机 2

售票员 则

好题
1

递 48
则 x 2 + y 2 的最小值是

知 x, y 满足 x + y =
x+ y =

( x ? 1)
2

2

+ ( y ? 1)
2

2

解法 这

( x ? 1)

+ ( y ? 1) 得 xy + x + y ? 1 = 0

出现了两数之 和两数之和 要得到两数的 方和 所 于 xy ≤
x2 + y2 x+ y ≤ 和 2 2 x2 + y 2 2

用基

等式

所 解法 所

2

x2 + y 2 x2 + y 2 + ≥1 2 2

解得 x 2 + y 2 ≥ 6 ? 4 2 用换元法 设 x = a + b, y = a ? b

这 介绍 种好方法 出现 xy
a 2 ? b 2 + 2a ? 1 = 0
2 2

即 ( a + 1) ? b = 2 ?
x2 + y 2 = 2 ( a2 + b2 )

( a + 1)
2

2

?

b2 =1 2

双曲线 标原点连线距离的 方的 2 倍
x 2 + y 2 的最小值 6?4 2

视 双曲线 的点

所 解法 所

当且仅当 a = 2 ? 1 时

即 x = y = 2 ?1 时

a 2 ? b 2 + 2a ? 1 = 0 得 b 2 = a 2 + 2a ? 1 ≥ 0
2

解得 a ≥ 2 ? 1 或 a ≤ ? 2 ? 1

1? ? x 2 + y 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) = 4a 2 + 4a ? 2 = 4 ? a + ? ? 3 ≥ 6 ? 4 2 2? ?

变式题 解 因

2011

浙江省高考

设 x, y

实数

若 4 x 2 + y 2 + xy = 1

则 2 x + y 的最大值

题有多种解法 这 有 xy

利用换元来做

所 设 2 x = a + b, y = a ? b

则条 变

5a 2 3b 2 + =1 2 2

求 2 x + y = 2a 的取值范围

视 椭圆用 角换元做

a=

2 cosθ 5



2a = 2

? 2 10 2 10 ? 2 cos θ ∈ ? ? , ? 5 5 5 ? ?

变成规划问题求 线做

3b 2 5a 2 =1? ≥0 2 2



?

10 10 ≤a≤ 5 5
的系数



? 2 10 2 10 ? 2 x + y = 2a ∈ ? ? , ? 5 5 ? ?

2

( x ? 2 y )10 的展开式中 含 x 6 y 4

答案 840

好题
1

递 49
少有 个零点 则



次 函 数 f ( x ) = ax 2 + (2b + 1) x ? a ? 2 ( a, b ∈ R , a ≠ 0 ) 在 [3, 4] 次方程 ax 2 + (2b + 1) x ? a ? 2 = 0 在 [3, 4]

a 2 + b 2 的最小值



关于 x 的

有实根 设 a 2 + b 2 = r 2 ( r ≥ 0 )
a 2 + b2 = r 2 ( r ≥ 0 ) 有

问题等 于关于 a, b 的直线 a ( x 2 ? 1) + 2bx + x ? 2 = 0
x?2

共点



(x

2

? 1) + 4 x 2
2

≤ r 在 [3, 4]

能成立 即 r ≥

( x ? 2)

2 2

(x

2

? 1) + 4 x
2

=

x?2 在 [3, 4] x2 + 1

能成立



g ( x) =

x?2 x2 + 1

设 x ? 2 = t ∈ [1, 2]

则 g (t ) =

t 1 在 t ∈ [1, 2] = t 2 + 4t + 5 t + 5 + 4 t

单调递增

所 所
2

g (t ) ≥

1 10 1 100

a 2 + b2 = r 2 ≥

当前仅当 x = 3 时取得等 女 球选手 时 均 成两组 行混合双打表演赛

把 4



球选手和 4

的 赛 配方法有 答案 72

种 混合双打是 1 男 1 女对 1 男 1 女 用数 作答

好题
1

递 50
r 则 c 的最大值

知 a = b =1

r

r



r r r r r r c 满足 c ? a + b = a ? b

(

)

解法

r r r r r r r r r r c a+b a ?b c ? a +b = a ?b ? ? = 2 2 2

(

)

(

)

几何意 心

理解
r r a?b = AD 2

uuu r r 设 OA = a

uuu r r OB = b

取 AB 中点

D



r c 的终点 C 在 2

D



半径的圆

动 所

r uuur uuur c 的最大值就是 2 OD + AD

(

)
D C

又因

uuur 2 uuur 2 OD + AD = 1
2 2



uuur uuur OD + AD ≤ 2 r r 即a ⊥b时 r c

B

uuur uuur 当且仅当 OD = AD =

max

=2 2

解法

r r r r r r r r c ? a +b ≤ c? a +b = a?b

O

(

)

A



r r r r r r r2 r r2 r2 r2 c ≤ a ?b + a +b ≤ 2 a ?b + a +b = 2 2 a + 2 b ≤ 2 2 r c =2 2 1 的系数 则数列 { } 的前 n an

r r 当且仅当 a ⊥ b 时

max

2

an 2n n +1

f n ( x) = (1 + x) n +1 的展开式中含 x n ?1



答案


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